菲尔兹奖得主再次突破数论难题：多少整数能写成2个有理数立方和？结论直接影响“千禧难题”之七
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Pine 萧箫 发自 凹非寺
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困扰数学界几个世纪的难题，终于有重大突破了！
这个难题如果被解决，会直接影响到一个著名未解之谜的求解——贝赫和斯维讷通-戴尔猜想。
贝赫和斯维讷通-戴尔猜 想 是数学界顶尖的7大千禧难题之一，有人为了证明它，悬赏过 最高100万美元 的奖金。
所以，究竟突破了什么难题？
求解一共有多少整数，能被写成2个有理数 （整数和分数统称） 的立方和。
例如整数13，就可以被“拆”成有理数7/3的立方、以及有理数2/3的立方总和：
看起来似乎不难，但数学家们在这几百年来关于它提出的各种猜想，却没有一个被真正、彻底地证实。
普林斯顿高等研究所的数学系教授Peter Sarnak对此感叹：
分析两个数的立方和，意味着研究的族 （family，集的同义词） 非常小，族越小意味着问题越难。 我只能说这个问题很难、 特别难，答案几乎“遥不可及”。
但对于学界而言，这个问题的求解又至关重要。
它不仅是解决很多纯数学问题的核心突破口，在应用数学如密码学领域也颇受重视。
无证明，不数学。现在3位数学家再次朝这一难题发起挑战，并成功突破了关键瓶颈之一。
所以这个数学问题究竟难在哪里，数学家们又究竟如何取得了这一突破？
选择与三次方“死磕”
我们先来回看一下这个要解决的难题：
究竟有多少个整数，可以表达成有理数 三次方 和的形式？
这时可能会有盆友好奇，为什么数学家们要死磕三次方的和，而不是平方、四次方、五次方……呢？
答案也很简单——它更难，也更有用。
具体原因有以下三点：
其一 ，除了三次方之外，无论是小于它的二次方、还是大于它的N （N＞3） 次方，有些问题已经被解决过了。
就拿二次方来说，已经有非常具体的方法来判断哪些整数能成为 两个有理数的平方和 。这个方法是在17世纪早期，数学家阿尔伯特·吉拉德 （Albert Girard） 和皮埃尔·德·费马 （Pierre de Fermat） 提出的，如果不符合这一条件，则整数不能用有理数二次方和表示。方法具体如下：
首先，将挑选的数字分解成质数幂的形式。以整数490为例，它可以被分解成下面这种形式：
这里7除以4余3，它的指数为2，符合偶数的要求，因此整数490可以用两个有理数平方和表示：
△ 蓝色数字可以写成两个有理数立方之和
这样的话，大约就有59%的整数能被2个有理数立方和表示，甚至有数学家猜想这个数值能被推广到所有整数范围中。
其三 ，数学家们研究这个问题也不仅仅是为了有一个新的整数划分方式，它还和数论中的“热门研究领域” 椭圆曲线 有关。
△ 椭圆曲线方程
立方和问题 ，就是椭圆曲线中的一个特例。椭圆曲线具有极其复杂的结构，这使它成为纯数学和应用数学等许多领域的中心，在密码学中也有很大的用处。
△ 椭圆曲线，图源维基百科
如开头提到的贝赫和斯维讷通-戴尔猜想，就是椭圆曲线领域的一个核心问题。
如果这一猜想成立，便能推断出符合上面1~100整数表现 （即蓝色数字图） 的结论：在1000万个数字中，约有59%是两个有理数立方的总和。
不过，上面提出的这么多推断，绕来绕去也都只停留在猜想层面。
过去的几百年里，不少数学家试图揭开这个谜题，但要么无法得出结论，要么无法证明自己的推断是正确的。
它不像指数为2时，整数可以轻松被证明能否被拆解为两个有理数平方和 （方法如上） ，毕竟指数为3时，没有确切的方法可以证明整数能否被拆解。但尝试一个个“暴力拆解”整数又是不现实的。
因为在整个拆解过程中，涉及到的计算量 巨大 。毕竟相较于拆成两个整数立方和，拆成两个分数立方和的难度要大得多……
举个栗子🌰，整数2083虽然可以被拆解成两个分数的立方和，但光是这两个分数的分母，就 长达40多个数字 ！这还仅仅是一个整数的计算量，更别提挨个儿计算其他整数了。
现在，终于有3位数学家成功突破了这个问题的瓶颈，第一次给出了可以拆解成两个有理数立方和的整数比例：
9.5%~83% 。所以这一范围究竟是怎么得出的？
如何圈定这一范围？
正如上面所说，椭圆曲线的结构极其复杂，这也使得它的 直接求解 变得非常困难。于是这3位数学家开始思考：为何不试试将它与更容易处理的东西联系起来呢？
这一想就想到了 矩阵 。这3位数学家中的1位，曾在今年4月证明过一个理论：
如果一个立方和方程存在有理数解 （rational solutions） ，那么至少存在一个2×2×2×2的 四维矩阵 与它对应。
依据这个理论，如果能想办法计算出整数的2个分数立方和方程是否有对应的四维矩阵，就有办法求解出不可能被表示成有理数立方和的整数范围。
具体的求解过程，涉及两方面的理论：
一部分是 几何数论 ，涉及计算不同几何图形在坐标系中的格点 （lattice points） ；另一部分则是 解析数论 ，与哈代-李特尔伍德圆法 （定理） 相关。
最终他们求解出的结果是，大约有 1/6 的整数不存在对应的四维矩阵，换言之，这1/6的整数完全不可能被表示成2个有理数立方和的形式。这样就确定了这个范围的最大 上限 ——至多有5/6 （约83%） 的整数可能被表示成有理数立方和。
所以求解下限的话，将定理反过来不就行了？
并非如此。
毕竟这个理论的 逆定理 并没有被证明成立，即“如果一个整数能找到对应的四维矩阵，则它也能被表示为2个有理数的立方和”。为此，三位数学家求助了椭圆曲线领域中对逆定理颇有研究的2位专家，分别是来自德克萨斯大学奥斯汀分校的Ashay Burungale和普林斯顿大学的Christopher Skinner。
而2/21 （约9.5%） 这个数值，也正是这一整数范围的 下限 。
但毕竟是特殊情况，所以3位数学家认为，9.5%~83%这个整数范围还能被进一步缩小。
接下来，他们打算进一步提升下限9.5%的数值，以接近逆定理完全成立下的5/12 （约41%） 。领域内的学者认为，这一成果突破，表明数学家们距离贝赫和斯维讷通-戴尔猜想的证明又前进了一大步。
作者之一为菲尔兹奖得主
这次研究之前，3位数学家已经在数论领域有过几次合作了。
其中，Ari Shnidman和Manjul Bhargava早在2012年就有过数论领域的合作，而Manjul Bhargava又是Levent Alpöge在普林斯顿大学读博期间的导师。
Levent Alpöge，哈佛大学初级研究员，本科毕业于哈佛大学数学系，并获得了物理系硕士学位，随后他获得普林斯顿大学数学系的硕士、博士学位。
他曾于2015年获得摩根奖，这个奖项每年颁给数学研究出色的大学生。
Ari Shnidman，以色列希伯来大学数学系的高级讲师，研究兴趣是包括算数统计学、算数几何等在内的数论方向。
Manjul Bhargava，普林斯顿大学数学系教授，本科毕业于哈佛大学，博士毕业于普林斯顿大学，研究方向是几何数论。
他于2014年获得 菲尔兹奖 ，获奖理由是在几何数论领域做出的突出贡献，包括开辟新方法来计算“小”秩 （“小”指最多不超过5） 的环数和估计椭圆曲线平均秩的界等。
值得一提的是，其中他研究的关于“椭圆曲线三次方程的有理数解”也是获奖原因之一，这次研究的 两个有理数的立方和 问题，就是其中的一种特殊求解情况。这次突破有不少理论基础，就建立在Manjul Bhargava之前做过的工作上。
论文地址：https://arxiv.org/abs/2210.10730
参考链接：
[1]https://www.quantamagazine.org/mathematical-trio-advances-centuries-old-number-theory-problem-20221129/
[2]https://swc-math.github.io/aws/2009/09BhargavaNotes.pdf
[3]http://math.huji.ac.il/~shnidman/
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