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刘谦春晚魔术中全网未讨论的数学问题

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刘谦在今年春晚的第一个魔术表演中隐含着数学问题，但鲜见科普文章提及。实际上，这里的问题或许更受数学家们关注。

撰文 | 南山莲子
刘谦在春晚表演的第二个“魔术”，其实就是数学原理的应用。相关的解释已有不少。
这类利用数学原理进行表演的扑克游戏有不少。如袁亚湘院士就曾在央视表演过一些数学扑克魔术。
看刘谦春晚魔术不过瘾？院士给您讲解数学魔术
刘谦在今年春晚的第一个魔术表演中也有数学现象。但鲜见有普及文章提及。实际上，其中的数学问题或许更受数学家们关注。
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让我们回顾下。
刘谦在第一个魔术表演开始时夸张地说，
这位先生和这位小姐，从三天前就开始洗牌，洗到现在还停不下来。让我来反问下，您打算洗到什么时候？满意了吗？
随后刘谦表演了短时间内洗出四条龙（假设一副扑克牌有52张），而且最后一条龙还暗合现场时刻。
一副52张扑克牌的扑克有52!种排法。所以得到四条龙的特定排法的概率为
这是一个极其微小的概率。数学家李特伍尔德曾如此定义奇迹：“奇迹就是发生的概率小于一百万分之的概率的事件。”在这个意义上，春晚观众确实如刘谦所说，见证了奇迹。
虽然搞笑，但不妨启发人们思考如下重要问题：
如何洗牌？洗多久能洗好？哪种洗牌方法需要时间最少？
完美洗牌
有赌博必然有洗牌。因而也产生了很多洗牌的方法。
下面仅考虑一种所谓的完美洗牌。这是一种交错洗牌法。又分为内洗法和外洗法。
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首先，将一副牌分成相等的两摞。
外洗法使牌交替放置成如下顺序：第一摞的第一张牌、第二摞的第一张牌、第一摞的第二张牌、第二摞的第二张牌，……。
内洗法：先交换两摞牌的位置，再按外洗法的方法排列牌。
示例如下：
假设你的牌组有12张牌，由上到下如下排列：
A，2，3，4，5，6，7，8，9，J，Q
从中间将其分成两摞：
第一摞是
A，2，3，4，5，6；
第二摞是
7，8，9，J，Q
所谓外洗法就是把牌按如下顺序排列牌：
A，7， 2， 8， 3，9，4，10， 5， J， 6，Q
而内洗法是先把这两摞牌交换，其后再按外洗法的方式交错洗牌，得牌序如下：
7，A， 8， 2，9， 3，10， 4，J， 5， Q， 6
洗牌群
将一副扑克牌的52张牌分别标记为
这种标记方法是不记录牌的点数和花色，相当于仅仅记录各张牌的位置，只不过将最上面的牌标号为0，这是为了后面的数学处理（模运算）方便。
一次洗牌就是这52个数字的排列。前面已经介绍，总的排列数为。全体排列组成一个排列群。
如果仅考虑一副只有6张牌
的牌组。
6张牌共有
种排列方法。
但我们可以只考虑由外洗、内洗所能得到的牌的排列方式。
先只考虑外洗法。可以得到的排列如下：
  1. 分成两摞：
外洗可得：
  1. 再分成两摞，可得
外洗可得：
  1. 再分成两摞，可得
外洗可得：
  1. 再分成两摞，可得
外洗可得：
由此可见，经过4次外洗，可以回到原先的顺序。
还可知道，由外洗可得4个排列：
类似地，也可以考虑内洗，经过有限次内洗，也可以回到原先的顺序。
还可以考虑全体内洗、外洗所得的排列，如此得到的排列的全体，被称为完美洗牌群。
完美洗牌群是全体排列组成的一个群的子群。
一个最简单情况是两张牌的情形。设有0,1两张票。全体排列如下：
设原始顺序为，则外洗只能得到它自己。如果考虑内洗，则所得完美洗牌群就是全体排列组成的群。
考虑完美洗牌群的大小是一个有趣的问题。
如果只有6张牌，总共有
种排法。但完美洗牌群只有24种排法。
类似地，若一共有10张牌，则洗牌群共有1920种排列。若一共有14张牌，则洗牌群共有 320,000中排列。若一共有26张牌，则洗牌群共有超过25万亿种排列。
上述例子暗示，如果增加牌的张数，则洗牌群的数目按指数增加。
然而，如果牌的张数是2的指数次，则洗牌群的数目按指数减少。例如，若牌的张数为张，则洗牌群的大小为。若牌的张数为张，则洗牌群的大小为。
洗多少次
从前面一副牌是6张牌的例子可以看出，若只用外洗法，则只要4次就可以复原。
那么，对一副52张牌的扑克牌，用外洗法，多少次后就复原了？
设52张牌排列如下：
分成两堆，上面那堆为
下面那堆为
交错洗牌得
可见，第一堆中原来位置在处的牌被放到新堆的处。例如，2在第一次外洗后，被放到4位置。类似地，位置在（）处的元素在新的堆中排在位置处。
利用模算法，一次外洗将换到处；
两次外洗将换到;
等等。
从而，若次外洗可以将换到处，则应有
求解上述方程，可知
这是因为我们有下表
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也就是说，外洗8次相当于什么也没做。
洗牌还有很多数学问题，上面仅仅简单介绍了一点基础。有兴趣的网友可以进一步阅读相关资料。

本文经授权转载自微信公众号“和乐数学”。

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