证明庞加莱对偶定理的常见方法对于初学者并不直观，本文介绍利用莫尔斯同调给出证明。莫尔斯同调的思想最初鲜为人知，但后来由其发展出的弗洛尔同调一直是前沿热点，成为数学许多领域的基本工具和研究对象，创造了丰硕的成果。
庞加莱对偶定理是同调论中最深刻的结果之一，其叙述如下：
在许多常见的代数拓扑教科书里（例如Hatcher和Spanier），这一定理的证明采用的是Mayer--Vietoris原则，即把流形切成若干比较简单的小块，对每一小块证明相应的对偶定理，再利用Mayer--Vietoris正合列和五引理把这些小块粘起来，得到全局的结论。这一证明写起来比较简洁，而且Mayer--Vietoris原则可以应用到许多其它定理中，但初学者难以从中获得几何直观。我们可以从多个不同的角度来理解，例如采用de Rham上同调。本文要介绍的则是莫尔斯同调[Morse homology]。为了行文方便起见，我们以下只考虑光滑流形。首先回顾一下莫尔斯理论中的一些基本概念。考虑一个维光滑流形以及其上的光滑函数。假设是上的一个点，如果存在在附近的局部坐标系，使得在处所有的偏导数都是，那么我们就说是的一个。如果在一个临界点处的所有的二阶偏导数组成的海瑟矩阵[Hessian matrix]非退化，那么这个临界点就。容易证明，以上两个定义跟局部坐标系的选取无关。如果一个光滑函数所有的临界点都是非退化的，那么这个函数就叫一个。莫尔斯（Marston Morse）证明了如下的引理[1]：假设是的一个非退化临界点，那么存在一个整数，，以及在附近的局部坐标系，使得的坐标为，并且可以表示为这个整数被称为临界点的指标。莫尔斯理论里的一个基本定理是，如果是一个光滑闭流形，是其上的一个莫尔斯函数，那么我们就可以从出发构造一个胞腔复形[cell complex]，使之与同伦等价，并且每个指标为的临界点对应于一个维胞腔。我们知道，如果一个拓扑空间有胞腔复形结构，就可以从中构造一个胞腔链复形[cellular chain complex]，其维链群由所有维胞腔自由生成，维链群到维链群的边缘映射则由维胞腔的粘贴方式决定。胞腔链复形的同调群同构于这个拓扑空间的奇异同调群。现在有一个自然的问题：既然从莫尔斯函数出发能构造胞腔复形，由胞腔复形又能计算同调群，那么能不能直接从莫尔斯函数出发来计算同调群呢？答案是肯定的。只要一个莫尔斯函数满足一定的条件，就可以直接构造一个链复形，其维链群由所有指标为的临界点自由生成，维链群到维链群的边缘映射则可以通过数临界点之间的梯度流的流线[flowline]的个数来定义。具体而言，如果是一个指标为的临界点，而是一个指标为的临界点，那么在中的系数就是到的梯度流线的“个数”。这个链复形的同调群，通常称为莫尔斯同调，跟流形的奇异同调群同构。利用莫尔斯同调，可以给庞加莱对偶定理一个直观的证明。首先，如果是一个莫尔斯函数，那么也是一个莫尔斯函数。如果在一个临界点附近可以表示为那么在附近可以表示为这表明的指标为的临界点恰好是的指标为的临界点。所以作为阿贝尔群，跟同构，自然也跟的对偶群同构。其次，假设有一条的梯度流线，从（指标为的）临界点出发，到（指标为的）临界点终止，那么把这条梯度流线的方向逆转，就得到一条的梯度流线，从（指标为的）临界点出发，到（指标为的）临界点终止。利用这一观察，如果我们（在前一段中的群同构下）把到的边缘映射等同于一个从到的映射，那么可以证明后一映射正是到的边缘映射的对偶映射。看到这里，有的读者或许会问：庞加莱对偶要求流形是可定向的，这个证明在哪里用到了流形的定向？答案是在定义边缘映射的时候。我们说过，边缘映射由临界点之间的梯度流线的个数给出，但这个计数其实是带符号的。我们对每一条梯度流线赋予一个正负号，具体值跟流线两端临界点处的流形定向有关。算出来的“梯度流线的个数”其实是所有相应的的和。如果采用系数，那么符号就无关紧要，我们便得到任意闭流形的系数下的庞加莱对偶。莫尔斯同调的思想最早出现于1949年，在托姆（René Thom）所发表的第一篇数学论文[2]中。但这一工作鲜为人知，没有产生太大的影响。斯梅尔（Steven Smale）在1960年独立得到了类似的想法，并用它证明了五维以上广义庞加莱猜想[3]。后来米尔诺（John Milnor）在介绍斯梅尔工作的讲义[文献4]里作了进一步阐述，比较明确地定义了莫尔斯同调。事实上，米尔诺的讲义里就利用莫尔斯同调给出了庞加莱对偶的一个证明。尽管有着三位菲尔兹奖得主的加持，莫尔斯同调在很长一段时间里并没有引起人们的重视。究其原因，可能在当时的拓扑学家看来，莫尔斯同调只是一种计算同调群的方法，虽然能提供一个新的看问题的角度，但总体而言并不比胞腔同调更方便。直到上世纪八十年代，第四位菲尔兹奖得主威腾（Edward Witten）独立发现了莫尔斯同调[5]，并把它同Hodge理论以及物理中的超对称联系起来，才让莫尔斯同调重新回到数学家的视野中。正因如此，文献里往往将莫尔斯同调里的链复形称作莫尔斯-斯梅尔-威腾复形。当然这三个人名加上托姆的其余组合也很常见，例如莫尔斯-威腾复形或者托姆-斯梅尔复形。受威腾工作的启发，弗洛尔（Andreas Floer）把莫尔斯同调的构造运用于无穷维流形上的莫尔斯函数[6,7]。在这种情形下，临界点的指标甚至可能是无穷大。但弗洛尔意识到，为了定义同调，只要临界点之间的相对指标是有限数就行了。此时莫尔斯函数的梯度流线往往由一个适当的偏微分方程给出，定义边缘映射就需要研究该偏微分方程的解的模空间，而上世纪八十年代多个数学领域中的里程碑式成果为这类模空间的研究提供了丰富的工具。弗洛尔和他的后继者们把这一想法运用于辛几何和规范场论，定义了形形色色的同调理论，统称为弗洛尔同调。弗洛尔同调自诞生以来一直是前沿研究的热点，在辛几何、切触几何、动力系统与低维拓扑的研究中取得了巨大的成功，成为这些领域里的基本工具和研究对象，被用来解决了许多困难的问题。并且它跟微分几何、代数几何、表示论、代数拓扑、量子场论等领域都有着密切联系。即便是图论这样的传统上跟弗洛尔同调没有太大关系的学科，近年来人们也找到了弗洛尔同调在其中的一些应用。相信弗洛尔同调仍然有许多瑰宝等待着我们去挖掘。[1] Marston Morse, Relations between the critical points of a real function of independent variables, Trans. Amer. Math. Soc., (3) 27(1925), 345--396.[2] René Thom,
Sur une partition en cellules associée à une fonction sur une variété. (French) C. R. Acad. Sci. Paris 228 (1949), 973--975.[3] Stephen Smale, Generalized Poincaré's
conjecture in dimensions greater than four, Ann. of Math. (2) 74 (1961), 391--406.[4] John Milnor, Lectures on the
h-cobordism theorem. Notes by L. Siebenmann and J. Sondow Princeton University
Press, Princeton, NJ, 1965. v+116 pp.[5] Edward Witten, Supersymmetry and Morse
theory. J. Differential Geometry 17 (1982), no.4, 661--692.[6] Andreas Floer, Morse theory for
Lagrangian intersections. J. Differential Geom. 28 (1988), no.3, 513--547.[7] Andreas Floer, An instanton-invariant
for 3-manifolds. Comm. Math. Phys.118 (1988), no.2, 215--240.倪忆，现任（美国）加州理工学院教授。他于1997年至2003年就读于北京大学数学科学学院，获本科和硕士学位；2007年获（美国）普林斯顿大学数学博士学位。
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