减肥过程的数学模型建立及对科学有效减肥计划的探讨

大模头2024年03月07日约 9 分钟

编者按：

前段时间，贾玲一年时间内减肥100斤的话题屡次登上热搜，引得一众网友纷纷燃起了“减肥”的雄心壮志！但也有网友会问：几个月内暴瘦这么多，不知道身体能否承受？不过从采访来看，贾玲这次减肥是个“综合工程”，不但执行了长期健身计划，还配合了饮食的改变。

贾玲的经历告诉我们，单纯依靠节食减肥是不科学的。那么，对于体重超标的人来说，如何才能科学且有效地减肥呢？本文将从数学模型的角度描述减肥的过程，并探讨科学有效的减肥计划。

模型

体重变化主要取决于人体摄入和消耗的热量。如果摄入的热量少于消耗的热量，体重便会下降；反之，如果摄入的热量多于消耗的热量，体重则会增加。大多数人都有相对稳定的饮食习惯，他们的身体会调整到平衡体重。在这个体重下，人体每天消耗的热量与摄入的热量大致相等。

要分析体重变化，必须明确哪些因素会影响我们日常的热量消耗。影响热量消耗的因素众多，包括体重、身高、年龄、性别和活动水平等。不考虑活动水平，人在静息状态下（仅维持心跳、呼吸等基本生理活动时）所消耗的热量被称为基础代谢率（BMR）。Mifflin St Jeor 公式^[1]是估算 BMR 的一种准确方法：

其中 w 、h、a 分别代表一个人的体重、身高和年龄。s 为性别参数，对于男性 s = +5，女性为 s = -161以甲。以甲女士（虚构人物）为例，其减肥前的体重为 w = 110 kg，身高 h = 166 cm，年龄 a = 41 岁。将这些参数代入上式，可以计算出甲女士的基础代谢率为 1771.5 kcal/day。

然而，正常人不会整天静卧不动。进行工作、学习、家务或锻炼等活动都会增加热量的消耗。这时，需通过“活动因子”来修正每日总热量消耗的计算：

活动因子 f ≥ 1，数值越高表示运动强度越大。不同运动强度的活动因子对应值见下表^[2]。

通过该表，我们可以根据个人的运动习惯和强度，选择合适的活动因子来估算日常总热量消耗。假设甲女士在减肥前并不经常运动，属于轻度运动者，其活动因子 f = 1.3。据此，我们可以计算出甲女士在减肥前每天的热量消耗大约为：

要保持 110 kg 的体重，甲女士每天需要摄入大约 2303.0 kcal 的热量。如果每天摄入的热量少于这个数值，她的体重就会减少；反之，如果每天摄入的热量超过这个数值，她的体重就会增加。1kg 脂肪大约等同于 7700 kcal 的热量^[3,4]，也就是说每少摄入 7700 kcal 的热量，体重就会降低 1 kg；相反，每多摄入 7700 kcal 的热量，体重就会增加 1 kg。

基础模型

根据前文分析，若某人的饮食摄入和运动强度保持相对稳定（即每日摄入热量和活动因子为固定值），那么在一段时间内（不考虑年龄 a 的增长），此人的体重变化可以通过以下微分方程^[5]来描述：

这里的 t 表示以天为单位的时间, D 是每日摄入热量。通过令 dw(t)/dt = 0，可以得到在特定的 D 和 f下的平衡体重：

平衡体重的计算公式告诉我们：可以通过调整 D 和 f的值，来改变一个人的平衡体重。这为我们制定保持体重或减肥计划提供了指导。应用分离变量法并考虑到初始体重 w(0) = w₀ ，可以解得上述微分方程的解：

上式不仅给出了特定时间 t 下的体重 w(t) ，还给出了体重随时间的变化与初始体重和平衡体重之间的关联。

以甲女士为例，她在减肥前的（平衡）体重为 w₀=w_∞ = 110 kg，身高 h = 166 cm，年龄 a = 41 岁，摄入热量 D = 2303 kcal/day，日常活动因子 f = 1.3。甲女士可以通过减少每日摄入热量或提高活动因子，从而达到减肥目标。

例如，如果甲女士将摄入热量 D 从 2303 kcal/day 降至 1907 kcal/day，并将活动因子f从 1.3 提高至 1.5，那么她的平衡体重也会从原来的 110 kg 降低至：

相应地，她的体重随时间的变化可表示为：

如图 1 中绿线所示，根据模型，一年后她的体重预计会降至 85 公斤左右。理论上，她的体重只能无限接近却永远到达不了 60 kg 的平衡体重。如果甲女士想在一年内减至 60 kg，她需要进一步降低每日摄入热量或（和）更大幅度提高活动因子。

图 1: 体重随时间的变化及平衡体重

图 1 中还展示了其它两种不同 D 和 f 组合下的体重变化情况。

优化模型

虽然基础模型能够预测在固定的每日摄入热量和活动因子下的体重变化，但它并不能提供在特定时间内达到目标体重的具体减肥计划。此外，基础模型忽略了年龄随时间的变化，这对长期减肥计划而言是不够精确的。

在优化模型中，体重 w(t) 、年龄 a(t) 、每日摄入热量 D(t) 和活动因子 f(t) 都被视为时间的函数。通过以下微分方程来描述个人体重的变化：

其中 a(t) = a₀+t/365，a₀是起始（ t= 0 时）年龄。

图 2: 摄入热量和活动因子函数形式

制定科学合理的减肥计划就是要对每日摄入热量D(t) 和活动因子 f(t) 进行优化。为简化起见，我们假设D(t) 和f(t) 为时间的分段线性函数，如图 2 所示。

每日摄入热量 D(t) 由减肥前的 D₀ 经过 Γ₁天下降到 D_min，然后维持 Γ₂天，再经过 Γ₃ 上升到 D_∞。类似的，活动因子 f(t) 由 f₀ 经过 T₁天上升到 f_max，然后维持 T₂天，再经过 T₃天下降到 f_∞。如果某人希望在 Z 天的时间内，将体重由 w₀减至 w_z ，则一个有效的减肥计划应满足以下三个条件：

在规定的时间内减重至目标体重，即 w(Z)= w_z。在减肥计划结束后应避免体重反弹，这要求最终的每日摄入热量 D_∞ 和活动水平 f_∞ 对应的平衡体重应等于目标体重，即 w_∞ = w_z。
每日摄入热量 D(t) 和活动因子 f(t) 的调整应平稳连续。例如，对于饮食量大的人，不应立即大幅减少食量，这就要求 Γ₁ 足够大；对于不习惯运动的人，也不宜突然进行高强度运动，这就要求 T₁ 足够大。同理，Γ₃ 和 T₃ 也应足够大。
减肥计划应根据个人情况定制。不同的人对改变饮食和运动的适应能力不同，因此需要根据个人适应能力设定最小每日摄入热量 D_min 和最大活动因子 f_max。

为此，在制定减肥计划时，首先根据个人适应能力和目标体重确定合适的 f_max、D_min、D_∞ 和 f_∞ ，使得 D _∞和 f_∞对应的平衡体重刚好为目标体重：

至此，只要给定 Γ_i 和 T_i（i=1，2，3）就可以通过数值方法解微分方程来预测 Z 天后的体重 w_(Z)。为了找到满足需求的最佳决策变量 Γ_i和 T_i我们构建了以下非线性最小化问题：

上式目标函数前一项中的 α 是一个非常大的数，以确保减肥计划结束后的体重 w(Z) 非常接近于目标（平衡）体重 w_∞（第一个条件）；目标函数后一项则用来确保 Γ₁、Γ₃、T₁ 和 T₃ 都足够大（第二个条件）。

以甲女士为例，她开始减肥时的体重为 w₀ = 110 kg，摄入热量为 D₀= 2303 kcal/day，活动因子 f₀ = 1.3。甲女士的目标是在一年（ Z= 365 天）内减至 w_z= 60 kg，并保持这一体重，因此减肥后的平衡体重也应是 w_∞ = 60 kg。假设甲女士在达成目标后继续保持适度运动，即 f_∞ = 1.5，为维持 60 kg 的平衡体重，她的摄入热量应控制在 D_∞= 1900 kcal/day。根据甲女士个人的适应能力，我们可以选择适宜的最小每日摄入热量 D_min 和最大活动因子 f_max：

抗饿不抗累：选择较低的 D_min 和 f_max ，例如 D_min = 3/8 D₀ = 864 kcal/day , f_max = 1.7。
不抗饿抗累：选择较高的 D_min 和 f_max，例如D_min = 5/8 D₀= 1439 kcal/day，f_max= 1.9。
抗饿累适中：选择适中的 D_min 和 f_max ，例如 D_min = 4/8 D₀= 1151 kcal/day，f_max = 1.8。

通过求解非线性最小化问题，我们为以上三种不同情况设计了各自的最优减肥计划。这些减肥计划的具体细节如图 3 和 4 所示。结果表明，三种减肥计划中的每日摄入热量 D(t) 和活动因子 f(t) 在整个减肥期间都保持着平稳而连续的变化（图 3）。

图 3: 三种情况下模型给出的最优减肥计划

与此相对应的体重变化曲线也呈现平滑下降，并在减肥计划结束时趋于稳定（图 4）。

图 4: 三种情况下最优减肥计划对应的体重变化

值得注意的是，在“抗饿累适中”情况下，模型给出的D(T) 、f(t) 和 w(t) 的变化曲线均介于其它两种情况的之间。这些结果完全符合我们对于科学合理减肥计划的预期。

结论

本文通过微分方程模型描述了基础代谢率、活动因子和摄入热量与体重变化之间的关系，并通过求解非线性最小化问题为减肥提供了科学有效的计划。文章首先建立了一个基础模型，该模型描述了基础代谢率、活动因子和摄入热量与体重变化之间的关系，并给出了体重随时间变化的解析表达形式。基础模型将活动因子、每日摄入热量和年龄视为常数，通过模拟不同参数下的体重变化，展示了平衡体重的概念。

在此基础上，本文又建立了优化模型，将活动因子、每日摄入热量和年龄视为时间的函数，以更加准确地描述体重随时间的变化。优化模型不仅考虑了个体对不同饮食和运动改变的适应性，还通过构建非线性最小化问题，为不同情况下的减肥提供了个性化和科学的方案。

本文的研究不仅对希望健康减重的个人具有重要的实际指导意义，而且为营养学和体重管理领域的专业人士提供了宝贵的参考。文章成功地将数学建模方法应用于减肥研究中，展示了科学减肥的可行性和有效性。

然而，需要强调的是，减肥计划应考虑到个人的健康状况、营养需求以及生活方式等综合因素，并在专业医疗人员的指导下进行，以确保减肥过程的安全性和可持续性。

总体来说，本文为科学减肥领域提供了一种新的视角，强调了通过数学模型来优化减肥过程的重要性和实用性。

参考资料:

[1]Basal metabolic rate — Wikipedia, the free encyclopedia,2023: https://en.wikipedia.org/wiki/Basal_metabolic_rate

[2]Enjeck Cleopatra. Predictive modeling of weight changes using differential equations, 2021: https://enjeck.com/blog/predict-change-differential-equations

[3]Max Wishnofsky and et al. Caloric equivalents of gained or lost weight. American Journal of Clinical Nutrition, 6:542–546, 1958.

[4]Steven B Heymsfield and et al. Energy content of weight loss: kinetic features during voluntary caloric restriction. Metabolism, 61(7):937–943, 2012.

[5]Jeffq. Modeling weight loss with differential equations, 2012: https://enjeck.com/blog/predict-change-differential-equations

作者：大模头