最古老的数学问题现在进展到哪一步了？

Cepelewicz2024年03月18日约 6 分钟

一个源自古埃及分数的古老问题：每个分数都能拆分成单位分数的和。但如果这个问题反过来，即任意一组整数的倒数和能否组成1，就没那么简单了。

撰文 | Jordana Cepelewicz

翻译 | 小聪

审校 | 利有攸往

最古老的数学问题现在进展到哪一步了？

一个新的证明让一个几十年前的结论焕发新的生机，这个结论就是：所有的整数都能用分数之和来表示。

数论学家一直致力于寻找隐藏的结构。当他们遇到一个不可避免的数字模式时，他们会对其进行测试，他们努力地——虽然经常失败——去探索在何种情况下一个给定的模式不会出现。

牛津大学的托马斯·布鲁姆（Thomas Bloom）最新的一项研究回答了一个可以追溯到古埃及的问题，彰显了上述这种数字模式的生命力。

达特茅斯学院的卡尔·波梅兰斯说：“这可能是数学上最古老的问题。”

这个问题涉及分子是1的分数，例如1/2，1/7，1/122。这些“单位分数”对于古埃及人来说非常重要，这是因为他们的数字系统中只包含这一类分数。他们只能把复杂分数表示成单位分数的和，例如3/4=1/2+1/4。

20世纪70年代，人们对这种加和的研究兴趣迎来了一个高潮。当时，保罗·埃尔多什（Paul Erdős）和罗纳德·格雷厄姆（Ronald Graham）提出了这样一个问题：设计一个不包含倒数相加和为1的子集的整数集有多难？例如，集合{2,3,6,9,13}就不满足条件，因为它包含子集{2,3,6}，这三个数的倒数相加和为1：1/2+1/3+1/6=1。

更确切地说，埃尔德什和格雷厄姆猜想，对整数集进行的任何足够大的正比例采样，都必须包含一个倒数相加为1的子集。如果初始集合满足对足够多的整数进行抽样的简单条件（这个条件也被称为“正密度”），那么即使这个集合里的数字故意选得很难找到这样一个子集，这个倒数之和为1的子集也一定会存在。

蒙特利尔大学的安德鲁·格兰维尔（Andrew Granville）说：“我只是觉得这是一个不可能的问题，任何正常人都不可能做到。我看不出来有什么明显的工具可以解决这个问题。”

布鲁姆（Bloom）对埃尔德什和格雷厄姆问题的关注源于一次课后作业：去年九月，他被要求向牛津大学的一个读书小组汇报一篇20年前的论文。

那篇论文的作者是一位名叫厄尼·克鲁特（Ernie Croot）的数学家，他解决了被称为着色版的埃尔德什-格雷厄姆问题。在着色版问题中，整数被随机分到不同颜色的桶中：一些放在蓝色的桶中，一些放在红色的桶中，以此类推。埃尔德什和格雷厄姆预测，无论使用多少种不同颜色的桶对这些数字进行分类，至少有一个桶中的数字集包含一个倒数相加之和为1的子集。

克鲁特从调和分析（一个跟微积分关系密切的数学分支）中引入了一个新的强有力的方法来证实埃尔德什-格雷厄姆猜想。他的论文发表在该领域的顶级期刊《数学年鉴》上。

佐治亚大学的乔吉斯·佩特里迪斯（Giorgis Petridis）说：“克鲁特的论点读起来令人愉悦，这不仅需要创造力、天赋，还需要很强的技术能力。”

然而，尽管克鲁特的论文令人印象深刻，它却无法回答密度版的埃尔德什-格雷厄姆猜想。因为克鲁特利用了着色水桶分类带来的便利性，而在实际数论中是没有这一简化条件的。

当把数字分到不同桶里的时候，克鲁特想要回避有很大质因数的合数。那些数的倒数加起来往往得到分母很大的分数，而不是简化为一些可以相加为1的简单的分数。因此克鲁特证明了如果一个集合包含足够多小质因数构成的数时，它就一定会包含一个倒数相加和为1的子集。

克鲁特证明了至少有一个桶总是满足这一特性，这足以证明着色版本的结果。但是更一般的情况下，数学家不能只是简单地选择用水桶来说明问题。他们可能需要在一个不包含小质因数的桶中寻找一个解，在这种情况下，克鲁特的办法就不奏效了。

“这是我无法回避的问题。”克鲁特说道。但是二十年之后，当布鲁姆准备向他的读书小组分享克鲁特的论文时，他意识到他可以从克鲁特介绍的方法中得到更多的东西。

布鲁姆说：“我想，克鲁特的方法实际上比它乍看起来强大得多，因此我想了几周，终于发现了它的强大之处。”

克鲁特的证明依赖于一种称为指数求和的积分方法，它是一个能够检测一个问题中有多少整数解的表达式。在我们讨论的这个问题中，它能够指出有多少子集包含单位分数加和等于1的情况。但是有一个问题：要精确求解这些指数和几乎是不可能的，即使是估算也会非常困难。

克鲁特的估算证明了他所处理的积分是正的，这一特性意味着在他处理的初始集合中至少存在一个解。

奥地利格拉茨理工大学的克里斯蒂安·埃尔肖尔茨（Christian Elsholtz）说：“他用近似的方法解决了这个问题，这已经足够了。”

布鲁姆对克鲁特的策略进行了调整，使其适用于质因数较大的数。但是这样做需要克服一系列的问题，这些问题使得证明指数和大于零（从而证明埃尔德什-格雷厄姆猜想）变得更加困难。

克鲁特和布鲁姆的方法其实都将积分分解成若干部分，并证明其中的主要项是正的并且足够大，其它项（一些可能是负的）太小可以忽略不计。

但是克鲁特忽略了那些质因数非常大的项，布鲁姆的方法则对这些项进行了很好地调控。因此，在处理那些可能会带来麻烦的数字时，有了更多回旋的余地。尽管这样，在证明一个给定项很小的时候，仍然可能遇到麻烦的数字，不过布鲁姆证明了这种情况是很少出现的。

不列颠哥伦比亚大学的格雷格·马丁（Greg Martin）说：“我们总是在估算指数和，但是当指数本身包含很多项的时候，就需要很乐观地去相信我们总能找到一种估算方式证明它是大的正项。”

布鲁姆没有用这个方法去寻找倒数和为1的数集，而是用它去寻找倒数相加得到更小分母的分数的数集，然后再用这些数得到想要的结果。

布鲁姆说：“老实说，你找不到1，你找到的可能是1/3，但是如果你用三种不同的方法找到三个1/3，把它们加起来就得到了1。”

这让他对这种数字模式的稳定性有了更深刻的认识：只要一个集合包含数轴（整数部分）上某些微小但足够大的片段——不管这些片段看起来如何——都不可避免地找到这些简洁的单位分数之和。

不列颠哥伦比亚大学的伊莎贝拉（Izabella Łaba）说：“这是一项杰出的成果，组合数论和解析数论在过去的20年里有了长足的发展，这使得我们有可能以全新的视角和更有效的方法来解决一个老问题。”

同时，这也给数学家们留下了一个新问题，是关于不存在单位分数之和等于1的子集的集合。素数集就是一个例子——没有倒数之和等于1的素数子集——这一特性也适用于其它“更大”的无限集，因为它们的倒数之和比素数的倒数之和更快地接近无穷大。在隐藏结构重新出现和倒数之和不可避免地成为1之前，这些倒数之和的增长速度到底有多快呢？

“埃尔德什-格雷厄姆猜想是一个非常自然的问题，但这并不是它的全部答案。”佩特里迪斯（Petridis）说道。

本文经授权转载自微信公众号“中科院物理所”，原文题目：Math’s “Oldest Problem Ever” Gets a New Answer ；原文链接：https://nautil.us/maths-oldest-problem-ever-gets-a-new-answer-238445/。