体育老师是这么教你约分的？

彭毅2024年05月28日约 15 分钟

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关于数学巧合存在非常多的例子：其中有错误的巧合，如通过算术上不正确的运算处理却得到正确结果；也有很多数学巧合具有一定实用价值，甚至为一门学问的发展带来了至关重要的影响。如果说数学的运算规则是一开始就被造物主所规划好的，那么很多巧合甚至让人觉得是否是有意为之，或是留给智慧生物的小小惊喜。

撰文 | 彭毅（中国科学院大学，培养单位：中国科学院物理研究所）

审核 | 邓正（中国科学院物理研究所副研究员）

也许你曾看过这样一张数学迷因图：

上过小学数学的人都知道这完全是一种错误的分数化简方式，然而令人气得发笑的是，这结果竟然是正确的！“我爱因斯坦看了只想掏枪啊！“

实际上，图中这种偶然事件正是一种数学巧合（Mathematical Coincidence）。

偶然对消

图中这种分式错误约分却得到正确解的情况被称为偶然对消（Anomalous Cancellation），我们可以定义为在分式中通过划去相同的数字但得到了与原有分数相同数值的运算方式。更为广泛地，可以定义为任何算术上不正确的运算处理却得到正确结果的处理方式。对于分式的偶然对消，美国数学家Ralph Philip Boas最早于1979年进行了严谨的数学讨论，至少这个错误的巧合曾经作为一个有趣的数学问题被一些人关注过。

这里我们可以再稍微深入地聊一聊这一巧合的规律性。当这个有趣的话题上升至数学问题时，人们就会开始思考：还有多少个符合这样约分的分数？是否存在规律性？我们可以从最简单的分子和分母均是两位数的情况下来着手。这时可以将分子分母，以及这一“约分”过程写成下面的等式：

这里c即为偶然对消中消除的数字。我们只考虑分子的个位数和分母的十位数相消的情况，因为分子十位数和分母个位数的情况和这是等价的，至于c同时处于十位或个位的情况则是不存在满足条件的分数的，因为这个问题中显然不会考虑分子分母相等或者分子分母出现0的情况。我们需要记住一些默认的范围条件，比如m、n、c均为整数，而且互不相等，它们只能取1到9之间的自然数。有这些前提条件，就能比较容易得出满足条件的整数解了，他们分别构成分数

这四个分数便是分子分母均为2位数的情况下满足偶然对消的解。有意思的是，人们发现基于这四个解可以得到分子分母数字位数在2位数以上的“扩展解”。比如对于26/65来说，如果在分子26后面在添加两个6，同时在分母65前面再添加两个6，构成新的分数2666/6665，再划去分子和分母相同的三个6，得到的分数2/5也正好是原来分数的值。这一特点允许我们在分子和分母添加任意同等数量的6，而均符合偶然对消的要求，也就是：

当然，另外三个分数也具有同样方式的“扩展解”，这一规律可以用数学归纳法证明。

然而如果将分子分母扩展到三位数，可考虑的消除方式就多了很多，不过从满足条件的结果中仍然能找到一些规律方便人们去构建符合条件的偶然对消分数。比如当我们选定一种消除规则，它与上文中分子分母均为两位数的情况相同，使可消除的数位于分子后两位和分母前两位，也就是

其中和为可消除的数字。显然类似等式(3)的扩展解也符合上面的等式。除去这种情况我们还能找到另外三个分数符合等式(4)，它们分别是：

而且同样的，这三个数也具有对应的“扩展解”。以742/424为例，取42作为循环的基，在分子第一位数7后面添加n个42，同时在分母个位数4前面添加n个42，所构成的分数也是符合偶然对消的，即

又或者我们可以主动构造一种满足偶然对消的分数。选择两组正整数和，使他们满足，那么以作为分子，以作为分母所构造出的分数便是满足偶然对消的：

上面等式中把数字相同的十位数数字给消除了，但显然分式的值没有改变。当然，为了让分式更“符合要求”或是更有意义，四个正整数应彼此互不相同，比如

借助于编程人们可以得到分子分母均为三位数时满足偶然对消的解的数量，一共是161个。而如果再考虑进分子或分母不足三位数的情况，那么满足条件的解一共有190个。四位数的分子和分母条件下，解一共有1851个；考虑分子或分母不足四位数时，一共有2844个解。

不过数学十分擅长把问题拓展到更加广泛的情形，数学家们甚至研究了偶然对消在任意基数进制下的情况，将问题本质转变为对线性或非线性的丢番图方程（Diophantine equation）求解，结合扩展欧几里得算法寻求特征解。从他们的研究中得到了一些结果和规律，比如基数为b的进制下，若b为素数那么便不存在两位数分子分母的解；而若b-1是素数，那么仅存在一个解，比如4进制下满足条件的仅有324/134=24；另外解的数量必然是偶数个，除非b恰好是偶数的平方。

不过在本节一开始还提到有更为广义的偶然对消，比如

又或者甚至是下面这一种：

虽然这看起来更像是一种数学笑话了。

乐律学中的近似

如果说上面的数学巧合具有那么一丝趣味性，但看起来没什么用，那么接下来以及更后面的内容中要谈到的巧合更多具有一定实用价值，甚至为一门学问的发展带来了至关重要的影响。这种具备实用意义的数学巧合或许称之为合理的近似更为恰当。

在音乐领域，就有这么一个具有非凡意义的近似：

它的作用要从公元前六世纪毕达哥拉斯学派提出的五度相生律（或称为毕达哥拉斯律，Pythagorean tuning）说起。这是一种乐律学中常见的调音系统，毕达哥拉斯认为弹奏和谐的旋律需要让相邻音阶之间的音高以简单的3:2比例变化，换句话说，乐器弹出的两个相邻频率的音其频率之比为3:2。这一构建方式使相邻频率之比控制在相近或相同的数值，也就是说频率之间近似为等比数列，这很好地解决了如何在基频f与倍频2f之间划分出合适音阶的问题。

这些音阶之间的名称与关系正如下面表格所展示那样，表中五度相生律的具体构建方法是：选定一个基准频率，分别向下降调或向上升调去乘以2/3或3/2，一旦频率超出了这个范围就乘以2或除以2来修正。通过这种构建方式，我们得到了在纯八度（也就是1:2频率比）内的七声音阶，即大家熟知的do、re、mi、fa、sol、la、si。

可以注意到，五度相生律在一个纯八度内产生音阶的方式（表中“公式”一列）可以按这样的表达式来概括：

不过从这个公式也能发现五度相生律产生的音阶是不等距的，尽管其偏差是很小的。由于这种不平均性，使得乐曲在转调的时候会产生困难，人们不得不在每次由一种曲调转入或插入另一种曲调的时候，都对每一个音阶的音高进行微调。而且从表格中也能注意到，五度相生律实际上没办法在生律后回到基准音的。

面对这些问题，特别是转调困难的问题，另一种生律规则在1584年由中国明朝音乐家朱载堉提出，当时称为“新法密律”，推算出以比率为，将八度音等分为十二等分的算法，这一生律算法后来有了更广为人知的名称——十二平均律。按照这一规则，这种算法可在数学上表示成：

我们可以用一种图形的方式来看看两种生律方式的差别。画一个圆以及一条从圆心出发沿着12点钟方向的射线，并且假设这一条线代表基准频率，并认为这条射线顺时针划过圆的一周便是完成到一个纯八度。那么按照五度相生律的规则，这个圆会被下图中蓝色虚线划分成各个扇形，不过很明显这些扇形的圆心角是不全等的（实际上这便是五度圈的产生，是一种用纯五度关系将十二个调循序排列出来的办法）。而按照十二平均律来处理圆，就变成图中红色实线所划分的区域，这些实线严格地等分了圆。

上面的图中还容易发现，两种规则下所划的线是十分接近的。那么原因是什么呢？关键就在于存在近似等式(5)。这个近似让十二平均律避免了一种可能，即这种人造的平分音阶的方式是否会让生成的旋律听起来不和谐。前面提到五度相生律是一种简单、自然的和谐的生律方式，而平均律这种基于无理数的产生方式却不那么让人放心。不过最终数学上的这一巧合完全排除了这种可能。它们在各个音程下与主音（基频）频率比的对比表格也证实了这种结果。也因此使得十二平均律在保证了音律和谐的前提下还方便了乐曲转调。这一进步更是在后来促成了钢琴这种定音乐器的出现。

除了上面在五度相生律和十二平均律中这个经典的巧合以外，乐律学中关于音程这部分还有其他的数学巧合，或是说数学近似，它们允许了其他生律规则的出现：比如这一近似便促成了中庸全音律的发展；比如便允许了四分之一音差中全律出现的合理性。

和π相关的巧合

圆周率π作为一个著名的无理数，它常常出现在很多领域的数学计算当中，而有时有些领域在涉及到这个数的时候可能会对其采用合理的近似，这样关于π的某些运算就会近似的等于更为常见简单的数字，甚至是看起来毫不相关的量。

首先我们来看看这个近似：

约等号左右两边的值误差大约是1.3%，这个近似可以利用黎曼函数来求得。证明过程并不复杂，只需要简单地放缩不等式就可解决：

而从放缩前后的误差来看，在第一项（n=2）时就仅仅只有1/60大小了，而更高的项数值更小。因此这个近似是完全合理的。

这个巧合被利用于一种在计算器发明以前的特别的滑动尺上，也就是计算尺。普通的计算尺刻度上的1、2、3……是代表着以10为底数的对数，也就是lg1（因为值为0，所以1也是计算尺上第一个刻度）、lg2、lg3等等。这种尺子曾经广泛用于对数的计算。而其中有一种“折叠”版本的计算尺，它是以π为起点的，起点既不是1也不是。这么做是考虑到在计算中使用含有π的数值表达是被允许的而且简洁的。下面图中便给出了这种计算尺，可以注意到以1作为起点的D尺和以π作为起点的DF尺。如果要计算1.45×π=4.56，那么我们把发线（图中右侧可活动的刻度）对准D尺上的1.45处，也就是把发线挪到红线位置，此时对应DF尺上大约4.56的位置，这也就是1.45π的结果。

也许在上面的数学巧合中你已经按过计算器了，你会发现，这似乎和另一个物理量十分接近。是的，确实存在这么一个巧合：

这里g就是我们熟知的地球上的重力加速度。那么这个巧合是否有一定的道理呢？答案是有的。这需要追溯到早期一种对于长度单位的定义。过去，一米长度曾被定义为半周期为一秒的单摆的摆长。由于当摆角较小时，单摆的周期公式为：

显然把定义带入进去就会得到(6)式的结果。不过也恰好是因为单摆实验是在地球上完成的，可以想象如果一开始在月球或者其他重力下的星球进行的，继续使用这种定义那么(6)式便不成立了。

此外，π和黄金分割率φ也存在一个近似的关系：

这起源于开普勒三角形，也就是三边之比为的直角三角形。假设开普勒三角形斜边长度为，再画出一个开普勒三角形的外接圆，那么圆的周长等于；再作一个边长为的正方形，那么正方形周长为，此时发现正方形周长与外接圆周长十分相近，可以得到上面给出的数学巧合，其左右两边相差不足0.1%。

基于此，人们曾怀疑古埃及人在造金字塔时无意间利用了这个近似。比如关于古埃及金字塔外形具有这么一个特别的比例关系：底边周长与金字塔高度的比恰好为2π。人们认为古埃及人当时是没有能力去计算得到π这个无理数的，不过他们可能在某个时间节点后发现圆的周长和直径之比是固定的这么一个关系。同时另一方面，从黄金比例φ的来源看，它是来自一个一元二次方程也是一个无理数，古埃及人依然不可能具备解决这个数学问题的能力。不过他们也可能从一些几何关系中注意到黄金分割的存在。最终在大金字塔中，像下面这张图那样构建了一个开普勒三角形，即底边的一半（base/2）、金字塔高（height）和边心距（apothem）满足比例，这使得从数据上看古埃及人似乎将π融入进了他们的建筑智慧之中。

最后，关于π本身也存在一些巧合。π的数值在小数点后第762位开始出现连续的六个9。在数学猜想中π被视为正规数，即每一个数位都是随机产生的，而在任何随机得出的正规数中，能这么早就出现一组指定六位数字的概率，只有0.08%。如果继续往后数，自第45681781位开始更有一组连续的九个6。另外π在小数点后20位数字之和还恰好等于100。

物理中的数学巧合

上文中提到的(6)式便是一种物理上的数学巧合。除此以外还有很多物理中的数学巧合，不过这些巧合很多时候并不太能说清楚产生的原因，也许真的只是纯粹的偶然，就像是隐藏在自然界中的小彩蛋。

光速c为什么十分接近？这来自于最早的一米的定义，它等于地球极点和赤道之间沿海平面表面距离的一千万分之一（大约位1/4地球周长），地球周长大约是2/15光秒，通过简单的计算便得到了光速的近似大小。

一英里与一公里的比例大约等于黄金比例φ。如果了解了英里长度是怎么来的，就会认识到这完全是一种巧合。英里的概念源自罗马帝国。一罗马里等于一千罗马步。罗马步是罗马士兵走两步的平均距离（迈出右脚后距离左脚的长度的两倍，或者是下一次卖出左脚后距离上一次左脚位置的长度），大约是1.5米，一千步就是1500米。现代的英里的定义受此影响，大约是1609.35米。而黄金比例约等于1.618，十分接近英里和公里的比值。

在表示氢原子谱线的里德伯（Rydberg）公式中的里德伯常量R大约等于。这个数乘以光速c后数值上十分接近一个简单的表示，。它们的前五位数字都是32898。

1981年小出义夫发现了一个关于电子、μ子和τ子质量之间的经验方程：

关于这个方程还没有合理解释，尽管它看起来似乎藏着什么道理。而且后来还发现在将等式中三种基本粒子质量替换为特定的其他基本粒子，也可以得到类似的结果。比如粲夸克、底夸克、顶夸克的质量按照上述(7)中运算得到的Q值也近似为2/3。又或者上夸克、下夸克、奇异夸克的质量进行如此运算后Q值近似为5/9这样一个简单的分数。

小结

关于数学巧合还存在非常多的例子，实际上这里仅仅列举了其中很少一部分。如果说数学的运算规则是一开始就被造物主所规划好的，那么很多巧合甚至让人觉得是否是有意为之，或是留给智慧生物的小小惊喜，就像简单的π自身就藏着很多上文中还未提及的巧合与近似，甚至可以有数十种方式来表达它（当然，不包括下面π的九宫格中的某两个情况）。但对笔者个人而言，最为美丽的“巧合”还得是著名的欧拉等式：

最后，分享一下。

注：稍微解释一下π九宫格中一部分表示方法的来历：

守序善良：利用了arctan x的无穷级数展开

并令arctan 1=π/4，那么展开式中取x=1就得到了π的表达。

混乱善良：实际上是Buffon投针问题，若一根长度为l的短针，抛在横线间间距为d的均匀横纹纸上，则针落在一个与某条横线相交的位置的概率恰为

这个结果意味着可以通过实验得到π的近似值：掷针N次，得到正面的结果(相交)P次，则 P/N应大约是2l/πd，从而可以估算π。

守序邪恶&混乱中立：由于π和其他无理数一样，可以表示成连分数的形势：

在其中任意节点断开都可以得到近似，包括最初的节点3，那么自然下一级的近似是3+1/7=22/7。

中立邪恶：这来自一个完全错误的论证。画一个直径为1的圆和它的外接正方形，然后将四个角剪掉，像下面这样。

然后继续这样剪切多出来的八个角，继续剪切多出来的16个角……如此反复让圆的外接图形逐渐接近圆的边缘。注意到在上述过程的中外接图形周长是一直不变的，始终等于4。那么在无限次剪切操作后不就让外接图形变成圆了吗？那么圆周长为π，所以π=4。然而这个错误出现在无论重复多少次操作，外接图形的边都不可能变成圆弧，在剪切操作无限次后，如果考虑Δx+Δy~∆s这样的近似，那么在无限次剪切后出现的无限个拐点处的这种近似所产生的误差的叠加是不可忽略的。

混乱邪恶：这出自网络上的一张图片，大家笑笑就好。

参考文献

[1] Saha S, Gupta S, Dutta S, et al. Characterising Solutions of Anomalous Cancellation[J]. arxiv preprint arxiv:2302.00479, 2023.

[2] Boas, R. P. "Anomalous Cancellation." Ch. 6 in Mathematical Plums (Ed. R. Honsberger). Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 113-129, 1979.

[3] The Great Pyramid, The Great Discovery, and The Great Coincidence, Mark Herkommer, June 24, 2008 Roger Herz-Fischler (2000). The Shape of the Great Pyramid.

[4] 其他相关内容，主要来自Wikipedia，涉及词条：Pythagorean tuning、十二平均律、Golden ratio、Kepler triangle、Koide formula和Mathematical coincidence。

本文经授权转载自微信公众号“中科院物理所”，原题为为《体育老师是这么教你约分的？》。

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