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返朴

跟随大师脚步：狄拉克讲广义相对论丨展卷

返李学潜约 7 分钟

20世纪物理学大师狄拉克最伟大的贡献是发展量子力学，创立了相对论量子力学方程并预言了正电子的存在。而在广义相对论最初诞生时，狄拉克是为数不多真正理解这门开创性理论的人之一。1975年，狄拉克根据自己的系列讲座出版了一本小书，即General theory of relativity，以其“秋水文章不染尘”的行文风格，言简意赅地阐述了广义相对论的核心内容，包括微分几何相关的基础知识以及爱因斯坦理论的物理图像和思想。今天来看，这本书依然闪耀着智慧的光芒，仍有很好的启发意义，值得物理与天文专业的学子和老师参考阅读。

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《狄拉克讲广义相对论》（人民邮电出版社·图灵新知，2023年7月）
P. A. M. 狄拉克 著；朱培豫 译；万维 张建东 审校
本文经授权摘自《狄拉克讲广义相对论》“写在前面的话”。
撰文 | 李学潜
“广义相对论”的提出已经超过100年了，在这百年中，物理学家和天文学家对广义相对论的理解不断加深，很多全新的处理方法，特别是在宇宙学方面的应用，取得了巨大的进展。
当年爱因斯坦理论预言光的传播在大质量附近弯曲已经被观测证实，引力波也被 LIGO 等合作组直接测量证实，特别是人类发现宇宙不仅在膨胀，而且是在加速膨胀，极大地挑战了我们对引力理论、时空结构的认知。
为了保持宇宙在理论上的稳定，爱因斯坦引入了导致微弱斥力的宇宙学常数Λ，然而在得知哈勃发现宇宙在膨胀后，爱因斯坦深感遗憾。但是由于宇宙在加速膨胀，原则上就需要存在一个斥力（也许是对的），今天，ΛCDM 已经成为宇宙学中的“标准模型”。
由于爱因斯坦方程是高度非线性的微分方程，至今只有施瓦兹解（也包括了很多近似）是普遍接受的解析解；广义相对论确认奇点的存在；黑洞是否如我们理解的那样；霍金预言奇点问题由于量子力学的引入而可以软化，而且霍金辐射有可能导致量子理论和引力理论统一……广义相对论带来的繁多问题甚至超过科学家的想象，但同时，在认识自然界道路上，广义相对论给人类带来的机遇也是非常巨大的，这就是为什么我们期望年轻人学习和研究广义相对论。
在牛顿时代，尽管万有引力公式开辟了一个天文学宇宙学的新纪元，成功地解释了当时所有疑难问题，但是从现代物理的角度看，它的缺陷是无法弥补的。牛顿的引力ImageImage（负号对应引力）是所谓的“超距”表达式，也就是说，当m1的位置稍微移动，Image就会相应地改变，它们之间的作力就改变了，完全不需要时间。这和相对论不符，因为自然界存在最大的速度——真空中的光速，作用的传递无法超越它。并且，由于“力”这个概念不够“科学”，因此在现代物理中代之以“相互作用”，而相互作用的传递是需要时间的。
麦克斯韦将“场”的概念引入物理，使得电磁场理论彻底改变了这个含混不清的局面。麦克斯韦将库伦定律的积分形式通过高斯定理写成微分形式Image，这实际上是天翻地覆的改变，也就是电荷会影响它的紧邻（无穷小的范围），然后通过同一个方程，受影响的小区域再影响它的邻域，这样电荷的影响就传递出去了。在物理图像上，我们“看到”的是电荷ρ在周围建立了一个“电场”。“场”是改变了电磁性质的时空，从而在这个时空中的带电物质可以和ρ通过场相互作用。
回到引力理论。当我们抛弃“力”这个不合时宜的概念时，一个质量 M 怎么影响周围的时空？对照电磁场，我们当然可以说它在周围建立起了“引力场”，这个图像和麦克斯韦的电磁场类似，当然也可以将它应用到各个方向。但是爱因斯坦建立了一个新的图像，M在周围改变了时空的性质，这个性质的改变使周围的时空变得“弯曲”了。也就是说相互作用体现在几何上。物体在时空中的运动不会像在平直空间那样，而是沿弯曲时空运动。有一个恰当描述（维尔切克），物体“一直走，别拐弯”。在平直空间一直走就是一条直线，而在弯曲时空，从直角坐标系看，就是弯曲的轨迹了。霍金的描述是这样的：正如我们的地球是三维空间的二维球面（弯曲的）， 一个飞机在山区上空沿直线飞行，但在下面崎岖的山峦上的投影就是弯弯曲曲的了。
狭义相对论将时间和空间作为一个整体来讨论，洛伦兹变换取代了伽里略变换，原来的t=t'的陈旧时空变换被抛弃了。但是狭义相对论仅限于惯性柱坐标系间的变换，为了处理有加速度的参考系中的力学问题，必须引入一个并不合理的“惯性力”。尽管对低速运动的过程这是很方便的处理方式（如傅科摆），但从根本上看，这是不自洽的。要真正解决这个问题，就要求助于广义相对论了。
除此之外，当我们用引力公式计算行星轨道向心力时，Image，两边消掉 m ，得到Image。这是我们熟悉的公式，但仔细分析就会看到，等式左边的m是引力质量，右边的m是惯性质量，它们的来源不同，怎么能消掉？为此，爱因斯坦想象出一部电梯，当它自由下落时受到的重力作用是mg，但如果将它放在真空中，有一个巨人以大力向上提升这个电梯，引起的加速度等于g，那么引入的惯性力就是mg（方向向下），这和自由落下的电梯受力一样。假如这个电梯是遮盖好的，电梯中的观察者怎么分辨是在自由落下还是被加速向上提升？因而爱因斯坦提出了一个重要的等效原则：惯性质量必须严格等于引力质量。
为了将“引力”和场的概念融合，在大质量附近，质量诱导出的不是我们熟悉的“力”，而是弯曲的时空（注意是时空，不是仅仅空间）。也就是所谓电磁场对应的效应是时空性质的改变。由于时空是弯曲的，那么矢量平移的观念就要改变。原来平坦时空中任何矢量可以平行于自身而移动，但如果底流形不是平直的，在一个时空点定义的矢量不能按原来的方式“平行”移动到邻域一个时空点，因为基底改变了。为了合理地定义矢量平移，原有的对时空的微商就要修正为“协变”微商，也就是增加一个仿射联络项。事实上，在量子规范场论中的Fμν也要相应改变。这是微分几何理论中最基本的概念。
接受了在大质量邻域时空弯曲的概念后，我们就知道物体从一时空点到下一个时空点是沿弯曲时空行进的，这个轨迹线就是最短路程线，也称测地线。
根据微分几何理论，爱因斯坦定义了曲率张量Rμν，继而他“猜测”，最基本的方程，也就是在只有引力场导致的时空在没有任何外场和物质的情况下，应该是Rμν=0，这类似牛顿的惯性定律。推广一下就得到Image（这和变分要求有关，请见书中相关章节）。那么您很自然地就要问，场中有了物质应该怎么处理，于是这个方程就继续推广成

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右边是物质。这个方程和我们熟悉的牛顿力学方程有着根本的区别。在牛顿力学中，时空是独立于动力学的，但在广义相对论中，右边的项告诉我们时空怎么由于物质的存在而改变（重新安排），而左边的项告诉我们物质如何移动，因而这是一个自洽的方程，比我们熟悉的动力学方程要复杂得多（知道等式的一边，计算另一边中相应的量）。要求解，一般来说必须做一些近似，这在近代宇宙学研究中已经做得很多了。
广义相对论不仅解决了牛顿引力理论中困扰物理学家的问题，提出符合自然规律的理论框架，得到与天文观测一致的计算结果，更重要的是在观念（对时空的理解）上的彻底革命。时空不再是孤立存在，而是和物质（场）一起变化的框架。这在杨振宁-米尔斯理论中有类似的结果，是近代理论物理的基础。
本书作者狄拉克是伟大的理论物理学家，他对量子力学的贡献是名垂史册的。他建立了相对论量子力学，从而确认正电子的存在，并且后来被安德森在宇宙线中发现了。狄拉克的文章被杨振宁先生誉为“秋水文章不染尘”，每一篇工作都是传世之作。1915 年，爱因斯坦建立了广义相对论，但当时真正能懂广义相对论的物理学家实在太少了，大概只有狄拉克、泡利、施瓦兹等极少数人才能理解。
直到今天，尽管有不少理论物理学家理解了这个美妙的理论，并且应用它取得了很多成果，但对刚刚入门的年轻学生和教师而言，广义相对论仍然不是很容易理解和掌握的。
这本书详细介绍了微分几何相关的基础知识以及爱因斯坦理论的物理图像和思想，因而仍有很好的启发意义。我们希望有志在天文学和宇宙学方面做工作的学生读一读本书，一定会有收获的。
2023年元旦
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