美国20世纪40年代的数学处于什么水平？

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陈跃2024年06月17日约 6 分钟

图1：美国普林斯顿高等研究院

导读：

判断一个国家的数学水平是否高？丘成桐先生曾经给出一个基本标准，那就是“深刻而有创意”，并且能够“流芳百世”，从而影响和决定了数学后续发展的基本趋势。

陈跃 | 撰文‍‍

小朱的读书笔记 | 来源

最近，丘成桐先生在题为“中国数学的现状和未来”的演讲中，作出了“中国现今数学还没有达到美国20世纪40年代的水平”的论断。一时间这个论断引爆了舆论，众说纷纭，引起了很大的争议。

现代数学是一个极其抽象和高度专业化的领域，数学界以外的人士自然是无法理解这一惊人论断的内涵（他们以为中国的数学家们似乎都在研究八十年以前的数学）。而在数学界内部，笔者也觉得一些文章在讨论这一论断的时候，都有些偏离丘成桐先生原来的意思，并且不了解20世纪40年代美国数学的真正水平，所以就没有谈到点子上。例如有一种观点认为应当把美国的数学家分成“本土”和“外援”这两类，想以此来淡化美国数学所取得的成就，这样就把崇高的数学事业当成了某种很平常的竞技比赛。

实际上，只有从20世纪数学发展的角度，才能够对丘成桐先生的这个论断给出一种合理的解读。

图2：美国哈佛大学

丘成桐先生早在2020年发表的一篇演讲“数学史大纲”（微信搜索“丘成桐：数学史大纲”可以找到）中，就已经对中国数学的整体现状提出了他的独特看法：

“文革刚结束，中国学术界正处于青黄不接的时候。经过文革这一段，很多学者已经洩了气，而年轻的学者觉得前途渺茫，国内经济困难，唯一的出路是出国。由于蔽塞已久，对于当代数学的发展并不清楚。……在八零年代和九零年代，中国的大学生大量出国，接触到最前线的数学发展。有不少留学生回国后，也确实大量的提高了中国的数学水平。但是即使如此，我们还是没有看到具有深刻而有创意的数学工作，我是说陈省身先生那样的足以留芳百世的工作！经过深思熟虑之后，我认为中国的数学发展依旧没有脱离传统的急功近利的做法，一般学者没有宏观的数学思想，不知道数学有一个多姿多采的历史，只看到数学的部分面积。”

在这一段话中，丘成桐先生给出了判断一个国家的数学水平是否高的一个基本标准，那就是“深刻而有创意”，并且能够“流芳百世”，从而影响和决定了数学后续发展的基本趋势。这段话可以帮助我们更好地理解丘成桐先生的上述引起争议的那个论断。

另一方面，如果我们能够了解美国20世纪40年代的数学水平，那么就可以和当今中国的数学研究现状来进行比较。下面罗列出了美国数学在20世纪40年里曾经取得的一些重要的进展。

1940年

Allendoerfer等人将经典的Gauss-Bonnet（高斯-博内）定理推广到了高维欧氏空间的子流形上。

Weyl（外尔）提出了重要的解狄利克雷问题的正交投影方法。

Jacobson提出了环的伽罗瓦理论。

Montgomery等人开创了关于拓扑变换群的研究工作。

Weyl（外尔）发表了《数的代数理论》。

1941年

Brauer（布饶尔）提出了模表示论中的Brauer提升概念。

Siegel（西格尔）研究了群代数。

1942年

Siegel（西格尔）建立了解析函数的迭代理论。

E. Artin（E. 阿廷）发表了名著《伽罗华理论》，其中进一步简化了经典的伽罗瓦理论。

Whitney（惠特尼）首先研究了n维欧几里得空间En到E2n-1的微分映射f的奇点，开启了关于奇点理论的系统研究。

Wiener（维纳）把统计方法应用于线性滤波问题，推导出连续时间滤波。

1943年

Allendoerfer等人证明了黎曼多面体上的Gauss-Bonnet（高斯-博内）定理。

1944年

陈省身先生内蕴地证明了闭黎曼流形上的Gauss-Bonnet（高斯-博内）定理，这个重大突破开辟了关于纤维丛上微分几何的研究新方向。

Zariski（扎里斯基）解决了3维代数簇的奇点解消问题，由此开启了关于代数簇奇点解消的一系列重要研究。

Ambrose研究了局部紧阿贝尔群的谱。

Whitney（惠特尼）证明了n维微分流形可嵌入于R2n中，可浸入于R2n-1中，从而为微分流形理论奠定了基础。

von Neumann（冯·诺伊曼）发表《对策论与经济行为》，由此奠定了对策论的基础，他还提出了离散变量自动电子计算机（EDVAC）设计方案，由此造出第一台电子计算机。

Eilenberg（艾伦伯格）定义了奇异（上）同调群，这是代数拓扑中一个很基本的概念。

Eilenberg（艾伦伯格）和MacLane（麦克莱恩）提出了很基本的范畴和函子理论。

1945年

Eilenberg（艾伦伯格）和Steenrod（斯廷洛德）对同调论进行了公理化，结束了战前多种同调论并存的局面。

Jacobson证明了关于单结合与非结合环的定理。

Ambrose 建立了巴拿赫代数的系统理论。

1946年

陈省身先生确定了Hermitian（埃尔米特）流形的示性类，即发现了在几何学、拓扑学、代数几何中十分重要的陈省身示性类（简称陈类）。

Bochner（博赫纳）建立了向量场与里奇（Ricci）曲率之间的联系。

Zariski（扎里斯基）研究了Zariski环。

Weil（韦伊）写了《代数几何学基础》一书，第一次系统地建立了抽象代数几何学的基础。

1947年

Dantzig（丹齐格）首次提出线性规划的名称并创立单纯形方法，由此创立了线性规划这一学科。

Wald（瓦尔德）发表了《序贯分析》，创立了数理统计领域中序贯分析这一分支学科。

Steenrod（斯廷洛德）发展了拓扑学中的障碍理论。

1948年

Feynman（费曼）创立了路径积分（或Feynman积分）的基本理论。

Shannon（香农）发表了《通讯中的数学理论》，由此创立了信息论。

Eilenberg（艾伦伯格）和Chevalley（谢瓦莱）建立了李代数的上同调理论。

von Neumann（冯·诺伊曼）对无粘流体（非线性双曲型）方程引入人工粘性项的差分方法。

1949年

Kodaira（小平邦彦）建立了黎曼流形上的调和场理论（广义位势论）。

Weil（韦伊）对有限域上的代数曲线证明了黎曼猜想，并且作出了著名的Weil猜想，这两项非常重要的工作为后来的数论与代数几何的大发展指明了前进的方向。

Siegel （西格尔）发表了《多复变解析函数》。

Wiener（维纳）发表了《平稳时间序列的外推、内插和平滑及其工程应用》，由此建立了维纳滤波理论。

1950年

Kodaira（小平邦彦）与de Rham（德·拉姆）发表了《调和积分》，这个重要工作奠定了复流形理论的基础。

Ahlfors（阿尔福斯）与Beurling 创立了共形不变量的基本理论。

Brauer（布饶尔）建立了有限阶群的模表示理论，开创了表示论发展的新阶段。

Steenrod（斯廷洛德）写了《纤维丛的拓扑学》，书中首次系统总结了纤维丛的拓扑理论。

Dunford创立了谱算子理论。

Wald（瓦尔德）创立了统计决策理论。

图3：美国加州大学伯克利分校

小结：丘成桐先生最近几年来大力倡导研究20世纪数学的发展历史，其实是意味深长的，他的目的就是为了让人们更好地了解当今数学的发展，他长期身居世界数学发展的中心，对20世纪数学史的理解是非常深刻的。以上所列出的一些重要数学工作，曾经深深地影响了20世纪后半叶的数学发展，因此如果按照“深刻而有创意”且“流芳百世”这样的标准来衡量，美国数学在20世纪40年代也已经达到了一个比较高的水平。