5个平面最多能把空间分割成几个部分？

今天我们来研究一个有趣的问题：5个平面最多能把空间分割成几个部分？

这个问题的难点在于“最多”二字。如果不研究最多的情况，我们对于这个问题最先能想到的便是5个平面平行的情况，这时5个平面将空间分为了6个部分。

但是，你肯定可以意识到这种情况太特殊了，我们只要改变其中一个平面的位置就可以将分割空间的份数增大（事实上，6个部分是最少的），如图展示了5个平面将空间分割成10个部分时的情况：

然而这种情况还是太特殊了。恐怕以人类的想象力很难想象出一般情况下的5个平面是如何分割空间的（你或许可以买一个蛋糕回来尝试动手切5刀，但这个漂亮的蛋糕大概率会变得面目全非）。那么，我们该如何考虑这个问题呢？

一些简单的情况

我们先来把这个问题简化，考虑一些简单的情况：0个、1个、2个、3个平面分别最多能把空间分割成几个部分？

显然，0个平面没有分割空间，可以认为是1个部分。

如果是1个平面，则结果也是显而易见的，空间被分成了2个部分。

如果是2个平面，则应考虑当2个平面相交时，最多可将平面分割成4个部分。

如果是3个平面，则最多可将平面分割成8个部分。

记n个平面最多能把空间分割成个部分，则现在我们至少可以确定当n=0,1,2,3时的值：

观察此表，你也许会想到，1,2,4,8这个数列有一个明显的规律，数列中的项相继是2的自然数次幂.一个合理的猜想便是=2ⁿ。这样问题就迎刃而解了，5个平面最多能把空间分割成2⁵=32个部分。

事实真的如此吗？

n=4时的情况

现在我们来考虑n=4时的情况，尽管这还是有点难以想象，但至少比n=5的时候要简单一些.

4个平面分割空间，一个比较简单的模型便是利用一个四面体（及其外部）来理解。

我们可以观察到，在这些被分割的空间中，有且只有1个部分是“有限”的，即四面体的内部。这个形状让我们联想到平面上3条一般的直线分割该平面的情况，其中就有1个部分是“有限”的，即3条直线围成的三角形的内部。因此，当我们要研究4个平面最多能把空间分割成几个部分时，不妨先考察较简单的类似问题，3条直线最多可以把平面分割成几个部分？

这个问题是如此简单以至于连一个小学生都可以轻易回答，答案是显而易见的：7个部分。

但是更加值得我们思考的是应当考虑这7个部分是如何组成的，这样可以有助于我们将该问题的分析方法类比到4个平面分割空间的问题中去。

我们注意到，这7个部分主要可以分为以下三类：

• 有限部分，即三角形的内部（区域1）。

• 无限部分，且与三角形有一公共边（区域2、3、4）。

• 无限部分，且与三角形有一公共顶点（区域5、6、7）。

我们通过分类明确了7这个数字的由来，即总的分割份数应当是通过

1+3+3=7

这个算式得到。

现在，我们用同样的方法来分析空间中4个平面的情形，以一个四面体为界，这些部分可以按如下标准进行分类：

• 有限部分，即四面体的内部，这样的部分有且只有1个。

• 无限部分，且与四面体有一公共面，这样的部分有4个。

• 无限部分，且与四面体有一公共棱，这样的部分有6个。

• 无限部分，且与四面体有一公共顶点，这样的部分有4个。

因此，总的分割份数为

1+4+6+4=15

很遗憾，15并不是2的自然数次幂，这意味着我们之前的猜想很可能是错误的。但是不要紧，我们仍然可以从刚刚这个精妙的类比中得到启发。

回顾这一讨论过程，我们首先提出了一个类似的、较简单的、容易解决的二维问题，然后利用这个问题（3条直线分割平面）中的图形（三角形）作为模型，分析这个较易问题的解法，并重新整理、改造它，使它适用于三维情况下的新结构，从而解决了那个较难问题（4个平面分割空间）。

从二维到三维的类比，是解决问题的关键。

类似问题的一张表格

上面的类比启发我们可以将问题进行推广，一起考察n个平面分割空间和n条直线分割平面的问题。甚至我们可以把这个类比再进一步推广，还可以考察n个点分割直线的问题。尽管这个问题看起来十分简单，但实际上它是很有启发性的。

容易看出，n个点最多把直线分割成n+1个部分.

我们记n个点最多能把直线分割成个部分（即=n+1），n条直线最多能把平面分割成个部分。则是我们最开始的假设（n个平面最多分割空间的份数）。

现在，我们至少可以根据现有的数据列出如下表格：

一个新的猜想

我们刚刚像自然科学家进行科学研究那样收集了某些数据列在表格中。进一步地，请你观察此表，你能否发现某些规律呢？

我们注意到尽管15不是2的自然数次幂，但是15附近的数字好像与它有某些联系：

7       8

        15 

可以想到，这三个数字之间有7+8=15的关系。这是一个令人兴奋的关系，是一个显著的线索！并且我们可以发现这个关系对于表格中已经列出的数字都成立，看起来这并不是偶然的！

预言？证明它！

如果刚刚的猜想是正确的，我们可以将表格继续填写完整。

首先，4条直线应当最多能把平面分割成

4+7=11

个部分。

然后，5个平面应当最多能把空间分割成

11+15=26

个部分。

至此，我们做出了一些预言，可以说我们离真相已经很近了！但是，我们仍然要以数学的角度对其进行严谨地说理与证明。

4条直线将平面最多分成11个部分是否正确呢？

很显然，如果我们在3条直线的基础上加入1条一般的直线，最终将会产生11个区域。我们的第一个“预言”经受住了考验，原有的猜想得到了强化。

更深入地思考11这个数字，为什么从3条直线分割平面7个部分开始，到4条直线分割平面11个部分，恰好数值上增加了4？数字4出现在这里与增加的这条直线有什么联系？

我们在图中可以看到，原来的区域5、3、1、4在新加入直线的作用下又都被分割成了2份。因此分割的区域数增加了4份。

实际上，任意作1条新的一般的直线，都会和原来的3条直线各交于一点，交点有3个，而这3个点会把新直线分为4段，每段其实就恰好落在原来的4个区域中，而这4个区域又都被一分为二。这其实就是直线分割平面问题与点分割直线问题之间的联系。

推而广之，三维情形下是否有类似的结论呢？

以3个平面最多分空间8个部分为例，若再增加1个平面，则会与原来3个平面各产生1条交线，这样会有3条交线，而3条直线最多分割平面7个部分，这7个部分正好对应了分割空间份数的增量，于是就有

7+8=15

这也即是平面分割空间问题与直线分割平面问题之间的联系。

这样，我们就解决了今天提出的问题，虽然我们无法想象5个平面分割空间的情形，但是依靠逻辑我们可以推理出5个平面最多能把空间分割成26个部分。

拓展问题的答案

最后，让我们对这个问题进行更进一步地研究.现在，我们已经知道了

我们能否根据递推关系求出和的表达式呢？

根据刚刚的分析，之间满足

可以得到

这个表达式对n=0也成立，故对任意自然数n都成立。

同理，对于，有

这个表达式对也成立，故对任意自然数n都成立。

这样，我们不仅知道了5个平面最多能把空间分割成26个部分，还可以通过这个公式计算任意多个平面最多分割空间的份数。

参考文献：

G.波利亚.数学与猜想:数学中的归纳和类比(第1卷)[M].科学出版社，2001.