再议量子理论的表述形式与诠释

量子力学建立至今已达百年，关于量子力学仍存留许多困惑与争议。我们注意到可能的原因是状态矢量表示理念的不一致，以及混淆了不同的波函数概率诠释。我们认识到，坚持把状态矢量表示为无量纲的对象，认清波函数的薛定谔、玻恩和狄拉克各自诠释的不同以及薛定谔、玻恩的概率诠释可以经由狄拉克完备性关系联系起来，认识到概率行为出现在无量纲的态矢/波函数与决定性的状态方程之外，则可以消除不少关于量子力学的误解。

导 言

波函数的薛定谔诠释、玻恩诠释与狄拉克诠释

是作为哈密顿原理的辅助条件 (normierende Nebenbedingung) 给出的。薛定谔在论文第四部分指出，是系统构型空间中的某种权重函数。系统同时处于所有运动学能想象的位置，但不是以同样的强度。ψ是构型空间而不是真实物理空间上的函数，这为日后将单粒子波函数扩展到多粒子情形且包含内禀自由度预留了空间。对于只有外部自由度的单粒子，ψ*ψdV 可理解为粒子之物理量，比如电荷，出现在体积元dV中的部分——偶极矩就是这么计算的，且一直就是这么计算的。这样的解释与粒子的观念不符，于是又改而诠释为粒子出现在体积元dV中的概率。将作概率诠释，ψ*ψdV 被诠释为体积元dV 中电子出现的概率，则波函数ψ 必然是个物理量，后被玻恩称为概率密度幅 (Wahrscheinlichkeitsdichteamplitude)，有量纲[L^-3/2]。相应地，ψ*ψ被理解为概率密度，有量纲[L^-3]。这是薛定谔本人对波函数，确切地说是对的诠释。顺便说一句，狄拉克会指出ψ是变换函数^[14]，其将物理系统从坐标算符是对角矩阵的表象变换到哈密顿量为对角矩阵的表象。我们觉得，这个关于波函数ψ的诠释也许更有物理意义，因为它是对波函数ψ自身而非的诠释，可惜一般量子力学文献似乎忽略了这一点。

与此相对，所谓波函数的概率诠释被称作玻恩诠释，乃是源自1926年玻恩的一篇拿薛定谔波函数处理电子—原子碰撞问题的短文^[15]。玻恩考察具有一定内部状态的原子，未扰动的本征函数为，对直线运动电子的散射过程。散射后的电子—原子渐近波函数可以写成关于电子在特定方向上的平面波乘上原子未扰动波函数所构成的叠加态：

我们看到，波函数的薛定谔诠释与玻恩诠释之间存在根本的不同。薛定谔的概率诠释的基础是，将波函数ψ 限定为模为1的复数，这是量子力学的强制性假设。玻恩的“电子的原子散射”情境下的概率诠释基于一组复数：

是在承认的前提下经过线性空间完备性而来的推论。设若ψ_i，i=1,2,…是一组完备正交基，，则由波函数归一化要求必有结论。这样，可以赋予经典概率的意义。我们认为这两种诠释恰恰可用来理解后来关于量子力学的争论。按照薛定谔的观点，状态的波函数本身就是概率性的存在；而在玻恩那里，概率性是当把状态分解成本征函数时，在冯·诺伊曼的测量理论那里这就是测量过程，概率才表现出来的。狄拉克在1927年也讨论过量子动力学的诠释问题^[14]。狄拉克的结论是，可以假设一个系统的初始状态确切地决定系统接下来的状态。概率的观念并不进入力学过程的最终描述；只当一些带概率的信息塞到你手里时，才会得到带概率的结果 (The notion of probabilities does not enter into the ultimate description of mechanical processes；only when one is given some information that involves a probability can one deduce results that involve probabilities)。EPR文章没有参考文献^[6]，不知道他们当年是否注意到了狄拉克的这一观点。

强调一下，薛定谔的诠释与玻恩的诠释可以通过狄拉克的完备性关系联系起来。一个抽象的状态，当我们为它选定了一个表示者 (representative，狄拉克用语)，便有了相应的波函数。比如为某个状态选定了表示者q，便有了对应，这个波函数可以是薛定谔的波函数或者更复杂一点的狄拉克的旋量。薛定谔的波函数概率诠释要求波函数归一化。另一方面，结合状态空间 (暂且假设是有限维的) 的完备性关系：

在q表示中这就是，则波函数的归一化要求表现为要求系数c_i 满足。重申一下，这个玻恩的波函数概率诠释不牵扯量纲的问题。至此，我们协调了薛定谔概率诠释、玻恩概率诠释与狄拉克表示论之间的关系。这个认识可以消除一些量子力学讨论中由于混淆波函数的概率诠释所带来的困惑。

有必要指出，狄拉克引入的表示论自带一个关于量子力学的困惑或者模棱两可。对于有限维希尔伯特空间中的表示，完备性条件为=1，可以将理解为无量纲的存在。对于连续变量的情形，狄拉克引入的完备性关系是：

对于某个量子状态，展开有：

其中称为状态在x-表象中的波函数。此处潜藏的一个麻烦是所引出的量纲问题。同样是表示状态的态矢，是有量纲的，而若以看待的观点把一般的状态矢量表示看作是无量纲的，则带来了概念上的不一致。当同时考虑分立和连续情形时，完备性被狄拉克写成如下的形式：

因为n只是计数指标，自然是无量纲的；而α∈D 是具体的某个物理量，则应是有量纲的。无量纲的状态矢量与有量纲的状态矢量并存于一个表达式中，狄拉克本人未试图消除这样的概念不一致，令人费解。状态表示忽而是无量纲的，忽而有量纲，难免会带来一些歧义。我们倾向于认同状态矢量都应该是无量纲的数学对象。在具体的表示里，波函数可以是有量纲的，但似也应改造为无量纲的。状态矢量与波函数是对应的关系，即。把状态表示为具体的波函数，是一个从抽象符号表达到用表示者表达的过渡。

量纲混乱的消除

在量子力学中，表示动力学系统状态的是希尔伯特空间里的矢量。希尔伯特空间是特殊的线性空间，状态矢量只要满足线性空间的一般性质，比如完备性关系，即可。就有限维空间而言，完备性条件与量纲无关。这是抽象的数学关系。如前所述，在连续变量的情形产生了状态矢量有量纲的问题。在《量子力学原理》第四版的(52)式中，狄拉克注意到了状态矢量的量纲问题，故那里的变换关系的表达式为

因子就是为了照顾量纲问题。这样看来，狄拉克对状态矢量作为有量纲量是持接受态度的。

然而，状态矢量可以具有量纲是会引出矛盾的。一个状态矢量若有量纲，根据归一化要求应有。现在将态矢在态矢集{}上展开：

其中，显然应有。然而，波函数ψ_A(B)应该理解为物理量A在态矢集{}表示下的波函数，是算符域上的概率幅，它的量纲应该是。坚持量子态矢应该一致地为无量纲的对象，就可以避免出现这样的矛盾。实际上，无量纲量子态矢表示确曾便利了量子力学的发展。

历史上，量子力学在处理谐振子问题时引入了从算符到算符的变换^[17]，

这里的算符都是无量纲的。相应地，哈密顿算符为，对应能量的本征态矢为

更一般地，算符与算符之间的变换可表示为

其中的参量Δ其量纲必须是[Δ]=[MT^-1]，它的角色是保证算符是无量纲的。在谐振子问题中，Δ=mω。此外，还有无量纲的自由参数λ，它具有标度变换的意义。这个变换让我们认识到相空间甚至存在规范自由度的问题，详细讨论见我们此前的文章^[12，18]。如何参照外尔当初引入规范场论的思路将这个思考引向深入，值得进一步研究。

坚持状态矢量是抽象数学概念，状态矢量以及波函数都是无量纲的，对于分立状态情形这没有任何困难，问题出在采用，这样的连续变量表示时如何调和完备性关系中的量纲问题。构型空间(动量是其共轭存在)应该单独对待。其实，就是如何引入一个积分测度ω(q)使得：

成立同时保证无量纲的问题，这在物理上是允许的^[18]。这也是统计物理处理对状态计数时曾遇到过的问题。这启发我们把量子力学发展史上起到过重要作用的相空间积分看作是物理表示无量纲化的努力。对于涉及电子的量子力学问题，玻尔半径的倒数也许是个合适的ω(q)选择。

量子理论世纪之争的深度剖析

其中分别表示粒子自旋取z-方向的向上状态和向下状态，下标中的1，2是粒子的标签。注意，我们此刻在谈论自旋这个内禀自由度而z-方向却是来自系统外的标签。如此表示的纠缠态的含义是该状态由两个粒子自旋取相反方向的情形混合而成。一些通俗表述会将自旋取向同猫的生死状态相对应，断言(17)式对应的是两只猫一生一死的混合态。甚至是在某些严肃的学术文献中也这样理解(17)式中的纠缠态，即第一只猫处于生、第二只猫处于死的状态，以及第一只猫处于死而第二只猫处于生的状态。用猫的死活表示二值量子状态是对薛定谔1935年引入的放射性原子—锤子—毒药—猫模型的曲解^[19]。这样的诠释其实是不恰当的，如今也有研究者公开指出了这一点^[20]。必须认识到，粒子系统所处的状态是独立于我们的存在，但对状态矢量表示的物理诠释，直接的或者基于测量结果的诠释，却有研究者(观念)与测量系统这些外部因素的介入。这两者不是一回事儿。

形式上，(17)式的态矢也可表示为

其中分别表示粒子的自旋沿x-方向取向上和向下的状态矢量。态矢同态矢之间存在如下变换关系：

如果坚持用薛定谔猫的形象作比喻，则态矢与都是描述猫处于半死半活的情形。还可以把讨论扩展到更一般的情形。取自旋沿任意的θ方向来表示总自旋S=0的二粒子状态矢量，

如果用薛定谔猫的比喻来诠释这个表示，则态矢描述的是两只猫各以[0, 1]区间上某种程度的死活混合的情形。但是，作为等价的量子态描述式(17)与式(18)，以及一般性的式(20)，对它们却有完全不同的物理诠释，这带来了不自洽。问题显然出在对量子状态的不合逻辑的诠释上。我们将看到，对自旋这类量子态的测量也是一种在对系统施加扰动后可能还需要引入这种逻辑未必严谨的诠释的过程。实际上，这种表示中的一个要素，即那个指标z-或者x-，是外部强加的。

这引出了两个必需回答的问题：(1)如果认为式(17)、(18)和(20)中的态矢是等价的关于总自旋S=0的自旋1/2粒子的两粒子系统状态的描述，那么它们真正的物理意义又是什么？(2)既然式(17)、(18)和(20)中不是二粒子系统存在的状态(我们认为关于存在的状态应是唯一、确定的)，那么相应的二粒子系统存在的状态又该是什么？稍后我们会回到这两个问题上来。

事例一是关于微观客体内部自由度的问题，下面再举一个外部自由度的例子。为简单起见仍讨论一维情形。一维外部自由度的系统可以用坐标—动量对来描述，也可以用产生—湮灭算符对来描述。采用表述，系统的态矢一般地可表示为

上述计算中用到变换，其中Δ的量纲为[MT ^-1]，是一个可以置于规范自由度之下的参数^[12]。接下来，计算位置的涨落：

前面谈到态矢的三种表示式(17)，式(18)和式(20)，其实都是关于同一个确定的系统状态在不同表象中的不同表示而已，是关于两自旋1/2粒子系统总自旋为S=0的态矢，即

至此这是在谈论一个两自旋粒子体系的存在性问题。至于该系统的实在性问题，即通过观测获得关于该状态的中肯的信息，还需要补充讨论。观测该系统的操作过程是需要设计并加以审视的，也是物理之所在，仅从态矢在不同表象中的表示尚不足以谈论其实在性。但是，实际上我们在谈论这个存在性的表示时已经使用了一些探测这个系统所得到的实在性的信息了。

对于自旋这类内禀自由度，当其在外场扰动下被测量时 (它就是这么被注意到其存在的)，则系统的哈密顿量要加微扰项，然后考察具体物理量的本征值如何表现。一个自旋的粒子在磁场中的行为由它的磁矩来表征。为了获取磁矩的信息，外加磁场是必须的。当实验中的磁场取向是z-的方向时 (似乎是磁场规定了我们能获得的信息，而后基于这些信息去构造一个合理的模型) ，方便的选择是态矢表示采用式(17)，此时沿z 方向的磁矩的算符矩阵为

故作磁场中的观测时，第一粒子塌缩到第二粒子塌缩到，或者第一粒子塌缩到第二粒子塌缩到。这时候通俗的说法第一只猫活第二只猫死，或第一只猫死第二只猫活，才有意义。

如果在外磁场取z-方向时，对系统的态矢采用式(18)的表示是否可以呢？这种做法当然是允许的。不过，在换了表象后算符的表示矩阵变成了：

小 结

量子系统存在的状态由希尔伯特空间中的态矢唯一地确定，态矢的演化方程是决定性的。我们认为应当坚持态矢/波函数采取无量纲的形式。确定了待测的物理量 (算符)，必要时还要确定获取该物理量的实验方案，即当存在的状态矢量、物理量算符以及实验方案都确定下来时，才能谈论关于体系的测量结果，构建所关切对象的实在性。存在性与实在性具有不同的含义。历史上的一些关于量子力学诠释的争论，混淆了这两个基本概念是重要原因之一。爱因斯坦看重的量子描述的确定性，应该在存在性的意义上加以理解。爱因斯坦的“上帝不掷骰子”所质疑的也是“波函数为构型空间中演化的函数”此一理念，而非是质疑量子力学的概率特质。关于量子力学的概率特质，可以归于实在性的范畴，如狄拉克所言，只当一些带概率的信息塞到你手里，才会得到带概率的结果。关于波函数存在多种诠释，在谈论量子力学问题时不宜混淆。冯·诺伊曼测量理论中的概率是同玻恩的概率诠释相一致的，但同薛定谔自己关于波函数ψ，确切地说是，的诠释是不一致的。狄拉克关于波函数ψ是变换函数的诠释，不应该被遗忘。