埃尔德什追忆乌拉姆：他是神童，也是神叟

Paul Erdős2024年10月18日约 13 分钟

斯塔尼斯拉夫·乌拉姆（Stanisław Ulam，1909-1984）是著名波兰裔美国数学家、核物理学家与计算机科学家。他参加了曼哈顿计划，氢弹的Teller-Ulam构型就得名于他与爱德华·特勒（Edward Teller）。乌拉姆去世后，他的一生好友，著名数学家埃尔德什（Paul Erdős，1913-1996）于1985年发表了这篇满含真挚回忆的纪念文章，特别介绍了他们共同完成的一些工作。

撰文 | Paul Erdős

翻译 | 张和持

首先作一个简要介绍。在长达五十年的岁月中，乌拉姆都一直是我的朋友与合作者。我与他进行过不计其数的关于数学和政治的讨论，也共同撰写了很多论文。我将在本文中侧重于我们合作的研究，而忽略他在物理、生物、计算机与计算机科学方面的工作。

乌拉姆曾经写过一篇非常出色的自传^[7]，而我想讲的这几件事，印象中并没有在他的自传中提及。希望我的记述能尽量准确。

我第一次见到乌拉姆是在1935年英国剑桥，第二次则是1938-1939年在美国马萨诸塞州的剑桥，他那时是哈佛大学学会的会员。不过我们真正开始数学交流是在1941-1943年间，我两次前往威斯康辛大学拜访他，在此期间我们得到了第一项共同研究成果。此后的1946年我又去圣达菲和洛杉矶拜访了他。他那时生了重病，有可能是脑炎（这几乎是他唯一次生病，那之后直到他因心脏病发作离世，他的身体都非常健康）。他出院后在洛杉矶南部的一个岛上疗养，我也前去探望了（这整件事都在他的自传中有所提及）。之后我又到洛斯阿拉莫斯见了他几次，最后一次是在1952年。

1963年在美国科罗拉多州博尔德（Boulder）举办了一场数论会议，我们又在那里见了面。随后我们一起访问了阿斯彭（Aspen）。有一次我正在他家，他接到白宫打来的电话，询问他有关禁止核试验条约的建议——乌拉姆对此强烈支持。然后在1968年和1970年，我作为访问教授在科罗拉多大学和他撰写了我们的第一篇合作论文，内容是加性数论与集合论。1970年的那次，我九十岁高龄的母亲也跟我在一起，乌拉姆的夫人Françoise为我母亲写了一篇短文。到了70年代末，我们经常一同待在佛罗里达大学。我本来还打算继续我们的研究，却意外得知他在1984年5月死于冠心病发作。

乌拉姆绝顶聪明，他既是一个神童，也是一个“神叟”（译者注：原文为dotigy，对应于神童的prodigy）。神叟这个词是乌拉姆自创的，在任何字典里都查不到。我曾经就神童的话题做过一次演讲，乌拉姆则评论说我们两人其实都是“神叟”，意思是说我们两个老头到了古稀之年（dotage）却仍然能“证明定理，提出猜想”。或许这是对一个人的命运美好祝福的悲伤注脚，我们对一个婴儿寄予最热切的期盼是，愿你“生来是个神童，老去是个神叟”。

乌拉姆毫无疑问是一位神童，他在20岁之前就证明，在任何无穷集合上都存在一个二值测度（2-valued measure，即任何可测集的测度都是 0或者1），使得整个集合的测度为 1 ，任何单点的测度为 0 ，并且测度有限可加。Alfred Tarski （1901-1983）在几个月后独立发现这一定理。最近我发现Frigyes Riesz在20年前就预测了这一事实，他于1908年在罗马的国际数学家大会上作了证明。

乌拉姆一生中最重要的发现之一或许是其幂集基数为的集合S中构造所谓的乌拉姆矩阵。这个矩阵有行列，其中的元素都是这个具有幂的给定集合 S 的子集，同一行的子集两两相离，并且同一列所有子集的并集与 S 之间只相差一个可数集。该矩阵可以用简洁的超限归纳法构造出来，在此基础上乌拉姆很容易就推导出了他的著名定理：如果 S 的基数 |S|=m，其中 m＜m₀且 m₀是第一个不可达基数，则在 S 上不存在 “可数可加、单点测度为 0、全集测度为 1、所有子集都可测”的测度。不可达基数的问题仍然悬而未决。他的论文在此方面产生了巨大的影响，并引导了此后大基数理论的发展。

在我看来，这是现代数学中最重要的发展之一，而这项发展的第二个起点则是我和Tarski的合作论文^{[4, 5]}，这篇论文继承并发展了Tarski的早期研究，对此我深感荣幸。请读者们容许我再插入几句回忆。我曾经错误地以为第一个不可达基数或许是可测的。在1957年，András Hajnal（1931-2016）和我一起证明了一个定理，从中可以轻易推出第一个以及其他很多个不可达基数上不存在可数可加测度。Hajnal直到Hanf-Tarski和Kiesler-Tarski这两项成果问世之后才意识到这一点。不过恐怕责任还是出在我身上，正如 Hanjnal 所说，“我只是个年轻人。我怎么可能去怀疑，反驳‘pgom’（poor great old man；译者注：可怜的伟大老头，指Erdős。Erdős喜欢在自己的签名后面加上这个简称）。”即便是很久以前的事了，那时的我也已经步入了老年。事实上，Hajnal也讲到，那次疏忽的结果，是Hanf-Kiesler-Tarski证明中的洞见远比我们深远，他们的工作很快就推动了大基数理论的探索性发展。要是我们率先发表了证明，或许就不会有后来那样的快速发展了。

乌拉姆曾经问道（我觉得是1943年在我访问威斯康辛期间）：假设 S 是基数为的集合。我们是否能在 S 上定义个测度 M_k，使得所有测度都是二值的，单点测度为 0，S 测度为 1，所有测度都应该满足可数可加，并且所有子集都起码在其中一个测度下可测？他同时也想知道这对个测度是否不成立。或许个测度是有可能的。Leonidas Alaoglu （1914-1981）和我的确证明了不可能定义个这样的测度，但是对于我们不置可否。后来才知道这是一个不可判定问题。我们的证明可以在[3]中找到。

乌拉姆与John C. Oxtoby（1910-1991）、Barry C. Mazur （1937-）、Karol Borsuk（1905-1982）的合作研究对数学至关重要，但我并不是评价这方面工作的最佳人选。他同D. H. Hyers（1913-1997）关于泛函方程f(x+y)=f(x)+f(y)的工作也同样非常有趣，同样有趣的还有他与Cornelius J. Everett（1914-1987）的工作。不过既然现在是在为这本杂志撰稿，我应该谈一谈他提出的著名的重构猜想[Harary^[6]中的术语叫作“重构疾病”（reconstruction disease）]。这个方面第一个结论来自乌拉姆的学生Paul Kelly，而一般情形还远没有解决，到今天这个领域也非常活跃。乌拉姆有一个非常宽泛的元问题：如果在某种结构中A² = B²，那么A = B是否成立？这个问题的答案常常是否定的，但也有一些例外。这些问题催生了不少有趣的论文。

乌拉姆在洛斯阿拉莫斯的那几年，研究了如何使用计算机解决纯粹和应用数学问题，并取得了一些重要的开拓性成果。我并不打算在这里多费笔墨，不是因为我认为这项研究不重要或者无趣，只是我认为这一部分应该交给该领域的内行来写。我只提一下，他同合作者们一起得到了一些迭代函数中有趣、丰富又意外的猜想。关于他在“猎户座计划”中关于星际航行的贡献，我能说的就更少了。在我印象中Freeman Dyson（1923-2020）曾在此项目中非常活跃，希望他和其他人能写得更深入一些。关于此事还有一件趣闻。乌拉姆作为计划的发起人之一一直非常自豪，最后项目告吹他也深表遗憾（据我所知，早在禁止太空核爆的条约（《部分禁止核试验条约》）签订之前，该项目就已经被抛弃了。乌拉姆肯定是不想违反条约，而是希望能重新进行谈判）。有一次他告诉我，他从歌德的《浮士德》中找到了一条宣传猎户座计划的绝佳口号：“Und was vor uns ein alter Mann gedacht und was wir dann so herrlich weitgebracht ja bis an die Sterne weit”[“一位老者曾经产生的思想，又被我们发扬光大，是啊，远至星辰”；译者注：浮士德原文中不是alter Mann（老人），而是weiser Mann（智者）]。乌拉姆说这里的“老者”是指爱因斯坦。我马上纠正他，“不对，老者应该是你，而星辰（恒星）应该换成行星。”乌拉姆总是害怕变老，他很自豪于自己70岁还能打网球，甚至打得很好。他非常幸运地躲过了两大恶魔——老去的年龄以及衰退的智力，他在心脏衰竭中，死的毫无恐惧与疼痛，临终之前仍能证明定理、提出猜想。

在我上次访问佛罗里达大学时， Alexander R. Bednarek（1933-2007）给我讲了一个关于乌拉姆的很棒的故事。或许这个故事经过了一定润色，不过Marcel Riesz（1886-1969）曾告诉我，“如果你有一个好故事，就不用担心故事到底是真是假了”，而且起码我能肯定这个故事确有其事。几年前弗罗茨瓦夫大学的Gladysz教授访问了盖恩斯维尔（即佛罗里达大学的所在地）。正好他从来没见过乌拉姆，在Bednarek介绍他们认识之后，两人用波兰语谈了很久。当乌拉姆离开之后，Gladysz问Bednarek：乌拉姆是不是那个有名的乌拉姆的儿子？Bednarek觉得不好意思而没有告知真相，但他觉得乌拉姆听了一定会很高兴，便把这个故事告诉了乌拉姆。Bednarek告诉我，第二天几乎所有的数学家都知道了这件事。

作为一个数学家，乌拉姆不仅精于证明那些有趣又深刻的定理，他更擅长的或许是提出新颖又富有启发性的问题与猜想。他在一些自己没有过多涉猎的领域也提出了很多美妙的猜想。我打算介绍两三个我自己熟知领域中的例子。Norman H. Anning（1883-1963）和我一起证明，假如x₁, x₂,…是平面（或E_n，即高维欧氏空间）中的无穷点集，并且两两之间的距离全都为整数，则这些点必然在同一条直线上。乌拉姆立马就问，“是否可以有无穷多个这样的点，它们并不都位于一条直线上，并且两两之间的所有距离都是有理数？”我回答说，“是的，Anning和我找到了这样的例子，但欧拉早就预见到了这一点。”乌拉姆反驳道，“我不相信平面中的点集可以处处稠密而距离又是有理数。”我觉得他的猜想应该是对的，但这个问题大概会非常深刻。“两两距离是有理数”这个条件对于一个无穷点集来说或许是非常严苛的，但是我们对此还一无所知。（编者注：近期该问题有了进展，参见《80年来几乎没有进展的数学问题，解决方案竟是让它变得更复杂》。）

他出版了一本关于数学问题的非常美妙又实用的书。这本书的第二卷本来计划和R. Daniel Mauldin（1943-）合作撰写，现在Mauldin得独自一人把活干完了，我会在我能力范围内给予他帮助。从我们的演讲以及同Ronald L. Graham（1935-2020）的讨论中，产生了一个新的问题：假如n＞n₀且a₁, a₂,…, a_n是1, 2,…, n的一个重新排列，那么是否存在一个三项等差数列x, x+d, x+2d使得a_x, a_x+d, a_x+2d同样构成等差数列？

即便乌拉姆并不是数论学家，他也发表了很多有趣的数论问题，其中不少是他在博尔德1963年的数论会议上提出的。他还与海法（以色列城市）的Eri Jabotinsky各自独立发现了“幸运数”（译者注：幸运数的定义类似于埃拉托斯特尼筛法，但每一步并非移除素数的整数倍，而是移除某些特定位置的素数。这样得到的数拥有很多类似素数的性质）。

在70和80年代，我和乌拉姆经常一起在佛罗里达大学，我们发表了许多关于组合学与集合论的文章。这里我只打算提一下，乌拉姆提出的某一个问题引出了很多图论中的问题与结论。

以下这个问题是我们五个作者最先在一篇论文中提出的^[2]：令 G(n) 和 G'(n) 为两个拥有 n 个顶点的图，e(G) 为 G 的边数。我们假设 e(G) = e(G') 。所谓 U-分解（decomposition）是指把边的集合分割为形如

并使得所有的图和都同构。如果 G 和 G' 的边数相同，那么上述分解一定存在。定义 U(G, G') 为最小的使 U 分解存在的 n 。令

我们证明了

在此问题以及相关话题上我们还发表了很多论文。这个问题可以推广到超图上，其研究至今仍然活跃。

我们希望还能有更多有趣的新发展。金芳蓉（Fan-Rong，1949-）和我最近才在这个方向上完成了一篇论文。

现在得谈一谈我们在威斯康星大学麦迪逊分校时完成的工作。我们考虑了模有限可加理想的整数全体所有子集所构成集合的布尔代数。我们猜测这种类型的非同构布尔代数的数量为，但未能找到一个完全令人满意的证明。后来 D. Monk 证明了这一点，Saharon Shelah（1945-）又以更一般的形式证明了这一点。

我们还研究了三种特别的布尔代数。令 B₁ 为模有限集的代数，B₂为模密度为 0 序列的代数，B₃为模对数密度为 0 序列的理想的代数。我们很容易就证明了 B₁不同构于 B₂ 和 B₃ ，然后我们自以为证明了B₂不同构于B₃。我们再也没能重建这个证明，只是怀疑 B₂ 也许不同构于 B₃。我悬赏100美元给能证明或证伪的人。最后是Winfried Just和Adam Krawczyk在连续统假设下证明了这个结论；Franluaiorezy在Martin公理下也得到了证明。这个方向的进一步工作由Monk完成。

乌拉姆是我五十年的好友与合作者，显然从今往后，科学和社会，特别是数学世界将不再和从前一样了。

在《一千零一夜》的故事中，国王受到了“国王啊，愿你永垂不朽”的致敬。对数学家和科学家的致敬或许可以更现实一点：“数学家啊，愿你的定理永垂不朽。”我祝愿，也期盼斯坦（译者注：乌拉姆的昵称）的定理也能有这样的命运。

《一位数学家的历险：乌拉姆自传》（译林出版社，2023年11月版）

参考文献

[1] F. R. K. Chung and P. Erdős, On unavoidable hypergraphs (to appear in J. Graph Theory) .

[2] F. R. K. Chung, P. Erdős, R. L. Graham, S. M. Ulam and F. F. Yao, Minimal decompositions of two graphs into pairwise isomorphic subgraphs. Proc. Tenth Southeastern Conf. on Combinatorics, Graph Theory and Computing (1979) 3-18.

[3] P. Erdős, Some remarks on set theory, Proc. Amer. Math. Soc. 1 (1950) 121-141.

[4] P. Erdős and A. Tarski, On families of mutually exclusive sets. Annals of Math. 44 (1943), 315-329.

[5] P. Erdős and A. Tarski, On some problems involving inaccessible cardinals. Essays on the Foundations of Mathematics, Hebrew University, Jerusalem (1961) 50-82.

[6] F. Harary, The Four Color Conjecture and other Graphical Diseases. Proof Techniques in Graph Theory, Academic Press, New York (1969).

[7] S. M. Ulam, Adventures of a Mathematician, Scribner, New York (1976).

本文经授权译自Erdös, Paul. Ulam, the man and the mathematician. J. Graph Theory 9(4), 1985: 445-449. https://doi.org/10.1002/jgt.3190090402

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