McKay 猜想：群论中的见微知著

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2023年10月，两名数学家 Britta Späth 和 Marc Cabanes 宣布证明了群论中著名的 McKay 猜想，随后他们于2024年在预印本网站 arXiv上公开了论文，目前尚等待审核发表。自从1971年首次提出以来，McKay猜想吸引了众多研究者。这个神奇的命题将群的表示与其子群的表示联系起来，某种意义上建立了“整体”与“局部”的对应。猜想的最终证明并不只是偶然的灵光一闪，而是几代人的不懈努力促成了这一结果。本文将试图解释这项跨越数十年的壮举。

撰文| 张和持

遇见

2003年，德国卡塞尔大学的数学研究生 Britta Späth 与 McKay 猜想相遇了。与哥德巴赫猜想这样著名且易于表述的难题不同，McKay 猜想的叙述并没有简单到大多数人都能看懂，它是群表示论中的一个著名问题，需要用抽象代数术语才能准确表述；但几十年来相关领域一直在活跃地发展，并没有像哥德巴赫猜想那样让人望而却步。所以 Späth 并没有像后来证明了 Fermat 大定理的 Andrew Wiles (1953-) 那样将年少的梦想藏在心里；相反，她只是希望在这个领域得到一些小成果以完成自己的博士论文。

2007年，她顺利完成了学业。但此时的 Späth 已经深深为 McKay 猜想着迷，她投入地钻研群表示论，寻找所有可能用到的技巧。或许 McKay 猜想就是为 Späth 量身定制的：早在高中时期，Späth 就经常持续几周思考同一个问题，这种沉稳和耐心正是群论这样高度技巧性的学科所必需的。于是毕业之后，她决定继续研究 McKay 猜想。

2010年，Späth 前往法国巴黎城市大学工作。在那里她结识了同样专攻群表示论的 Marc Cabanes，Späth 对 McKay 猜想的热情感染了 Cabanes，他们开始讨论研究，然后约会交往，最后结婚生子。美好的生活并没有扑灭他们对数学的热情，一直到今天的十多年间，他们不断产出，最终在2024年贡献了 McKay 猜想最终的证明成果。

为了解释这个美妙的猜想，我们需要先介绍群表示论。

群与群表示论

群论是数学中研究对称性的分支。日常生活中我们会遇到很多对称的图形，比如圆形、正三角形、正方形、正五边形，等等。以正三角形为例，正三角形有两种对称，分别是旋转对称和翻转对称。旋转对称是指图形在旋转了一定角度之后仍与自己重合；而翻转对称是指图形沿某直线翻转之后仍与自己重合。对正三角形来说，我们可以逆时针旋转  或者  ， 并且沿任何边的中垂线翻转。

这些变换并不是孤立的，我们可以把多个变换组合起来，比如先旋转  ，再沿某中垂线翻转，或者交换一下顺序，这样就可以得到另一个变换（比如说先旋转  再左右翻转，等同于沿倾斜角为  的一条直线翻转，这里我们将三角形中心放置在原点，一条边平行于  轴）。

乍一看似乎正三角形有无穷种对称，因为只要旋转角是  的倍数就能与自己重合，不过旋转  和旋转  的效果是完全相同的。所以我们只需要考虑  这三个角度。注意，旋转  或者说  并不会对图形进行任何操作，但是我们仍然把它当成是一个变换。这类似于在自然数中加入  。

考虑以上所有三角形的变换，我们就得到了一个集合

这个集合我们记作  ，它就是一个群。 所具有的性质如下：

• 能进行某种二元运算（变换的组合），并且运算的结果仍然是集合中的元素（变换的组合仍然是变换），这种运算一般用乘法书写；
• 有一个元，它跟任何元的组合都不会改变别的元（旋转  ，或者说恒同变换），称为单位元；
• 运算不一定满足交换律，但满足结合律（变换组合的先后顺序很重要，但是对同一个式子不存在某一部分的组合更优先）；
• 每一个元都有一个二元运算的逆元（每个变换都有一个逆变换，比如旋转  的逆是旋转  ，左右翻转的逆还是左右翻转）。

满足上面四条性质的集合就叫作群。类似地对于正  边形，它的所有对称构成的群定义为 。这类群被统称为正二面体群。

通过上面的提炼，我们将注意力从对称图形转到了图形的对称群。这种抽象的群论来自于19世纪初 Évariste Galois (1811-1832) 和 Niels Henrik Abel (1802-1829) 两位天才数学家对五次方程的研究，他们注意到代数方程的根式可解性依赖于根的对称性，所以引入了群。群论专注于群的普遍结构，研究它们有哪些子群。但是这终归是抽象的，如果只给出一个群，我们并不能知道它描述的是什么图形的对称性。不过有一种方法可以让抽象的群论变得具体，这就是群表示论。

在考虑三角形的对称群时，细心的读者可能就已经想到，为什么不用矩阵来刻画旋转和翻转呢？比如旋转  对应的矩阵是

左右翻转对应的矩阵是

更重要的是，矩阵乘法正好对应变换的组合（这正是矩阵乘法的意义：线性映射的组合）。所有 （实数、复数或者任何系数的）可逆矩阵构成的集合，在矩阵乘法下也构成一个群，记作 ，其中  是系数，可以取  或者 。用矩阵来表示变换，其实就是

• 一个  到  的映射；
• 并且  的群运算对应  中的矩阵乘法。

两个群之间保持群运算的映射称为同态。虽然  是一个很大的群，具有无穷个元素，但是群同态  的存在意味着  中暗藏着  的一些信息。对于任意群  ，要想知道它描述了什么图形的对称性，就要去寻找同态 ，这里的  和  都可以随便选取。不过即便给定了  和 ，比如我们在上面取的是 ，同态也不是唯一的。比如说我们可以把  中的所有元素都映射到单位矩阵，尽管这样的映射非常显然，但也有其存在的意义。

现在可以介绍什么是群表示论了：对于群  而言， 的一个  维  系数表示是指  到  的一个同态，而群表示论，就是研究群有哪些表示的学科。

群表示论不是 Galois 发明的，虽然今天数学中有一个重要的领域叫作 Galois 表示，研究 Galois 群的复数或者p进表示论，但是矩阵和向量空间的概念是James Joseph Sylvester（1814-1897）和 Arthur Cayley（1821-1895）等人在19世纪中叶提出的，这时 Galois 已经去世将近二十年了。线性代数的先驱们对群论也不甚了解，他们主要关心的是线性映射或者二次型的一般理论。群表示论的诞生要归功于19末的数学巨匠 Ferdinand Georg Frobenius（1847-1917），他创造性地提出了特征标理论——到今天为止都是群论的基本工具。等介绍完特征标理论，我们就有足够多的数学语言来叙述 McKay 猜想了。

群的行列式与特征标理论

Frobenius 毕业于德国著名的柏林大学，师从大数学家 Karl Weierstrass (1815-1897）。Weierstrass 是现代分析学的奠基人，今天我们使用的严格微积分就出自他的工作，在他的指导下 Frobenius 成为了函数论的专家，年纪轻轻就在椭圆函数和线性代数两个领域取得了不俗的成绩，后来当选普鲁士科学院院士。Weierstrass 一生育人无数，仅有记录的博士生就有47人，连后来著名的物理学家 Max Planck (1858-1947) 都曾上过他的数学课，而 Frobenius 则被他评价为自己最优秀的学生之一。在专注于函数论多年后， Frobenius 已人到中年，他深感  函数理论中那些“如迷宫一般的公式”会导致自己“数学想象力消逝”。他开始重新审视自己的内心，想要找到活力的源泉，于是他把目光转向数学中最原始又不加修饰的分支——数论。早在学生时代，Frobenius 就深受 Ernst Eduard Kummer (1810-1893) 和 Leopold Kronecker (1823-1891) 等数论大师的影响，19 世纪中叶的这一代德国数论学家振兴了 Galois 的域扩张理论，并开创了代数数论这一崭新的学科， Kummer 和 Kronecker 就是其中的佼佼者。Kummer 揭示了代数结构与 Fermat 大定理的联系，是代数数域研究的开创者；Kronecker 则用椭圆函数等超越方法构造代数方程的解，这成为了半个世纪后类域论的序曲。Frobenius 从数论中找到的活力源泉便是与 Galois 理论息息相关的（有限）群论。

Frobenius 在数学界素有“论述清晰易懂”的美名，转战抽象代数后，他也很快在新天地站稳了脚跟。当时的代数学正处于从古典向现代转型的关键时期。古典数学重视具体计算与实例，在20世纪之前，根本就不存在单独的抽象代数这门学科，研究者们往往需要从繁杂的计算中领会核心思想。Frobenius 的工作则会尽可能地去证明普适的结论，例如第一次完整证明了 Sylow 定理。这个定理粗略地说，描述了对于素数  和与其互素的正整数  ，任意  阶群（ 阶群就是指这个群有  个元素）有多少个  阶子群（这样的子群称为 Sylow -子群）。虽然这个定理被冠以 Peter Sylow (1832-1918) 的名号，但是 Sylow 本人只给出了一些特殊的群（如置换群）的证明。而 Frobenius 的证明对任意群都成立，一直到今天这也是抽象代数课程中的标准证法。

1896年的一天，Frobenius 收到了来自老朋友 Julius Dedekind (1831-1916) 的信。Dedekind 同 Kummer 等人一样，是代数数论的一员大将，抽象代数中的很多概念，如“整环”“理想”等都是来自于他。他在信中表达了自己对 Frobenius 近期群论工作的赞美，然后开始分享自己最近的发现。Dedekind 最近在鼓捣一种名叫“群的行列式”的新玩意，意思是说给定一个  阶群 ，考虑  个变量 ，定义 ，由于  仍然是  中的一个元，所以  不过是我们上面定义的  个变量之一。然后我们就可以计算以下矩阵

其行列式自然是一个  变量多项式，我们可以把他的系数放到复数中考虑，也就是说  。Dedekind 发现这个多项式总可以拆成

的形式，其中  是  中的共轭类个数（群  中两个元  共轭当且仅当存在另一个元  使得 ，共轭关系把群的元素分成了有限个共轭类，而这里的  就是类的个数），每个  都是不可约多项式（不能再拆成多项式的乘积）。这着实是很神奇的结论，因为只需要计算  这个矩阵，就能得到共轭类的信息，并且我们还知道每个  在分解中次方数等于  这个多项式自己的次数。但是 Dedekind 本人没有想到怎么证明这个结论，他只是通过大量的计算发现了规律。而且 Dedekind 从来没有发表过相关的研究，所有当时的数学家包括 Frobenius 都从来没听说过群的行列式这个概念。在回信中，Frobenius 温和地谴责了 Dedekind 这种“把好玩的东西藏着掖着”的态度，并催促他提供过多细节。于是 Dedekind 把他关于群行列式的猜想全告诉了 Frobenius，同时也表示自己可能没办法在这个领域更进一步了。

Frobenius 对群的行列式爱不释手，虽然并没有马上找对路子，但是没有什么能阻挡他的热情。他很快发明了整套特征标理论来向 Dedekind 的猜想发起挑战，并在同一年证明了所有结论。

我们之前定义了群的（复）表示，那是指从群  到矩阵群  的一个群同态  ，也就是说，对于每个  中的元素 ，都指定一个复系数矩阵  。既然是矩阵，我们就可以取它的迹 ，也就是把  的对角元全部加起来。这样我们就得到了一个函数 ，这个函数就被称为表示  的特征标。这个看起来非常随意的定义，却实际上抓住了表示论的核心。特征标看起来比表示要简单不少，但是我们可以证明，特征标唯一决定了表示，也就是说如果两个表示拥有相同的特征标，那么这两个表示也相同。这里我们说的相同并不是说两个表示完全一样，而是两个表示同构。任何线性变换关于不同的基底都会有不同的矩阵，但是这样产生的不同矩阵并不会有本质的区别，所以我们认为这种情况下两个表示是同构的。

不得不指出的是，本文中使用的语言是20世纪之后改进的，Frobenius 的原始论文并没有用矩阵来定义特征标，而是用一种更直接的定义。但由于特征标唯一决定了表示，所以两种论述并没有本质区别，而现代的语言在逻辑上要更加自然一些。特征标并不仅仅是把表示论简化了，如果没有它，就没有20世纪的群论。要想明白特征标理论的强大功效，首先我们要看看如何对表示进行“计数”。

假如有两个  的表示 ，分别是  维和  维，那么通过把矩阵拼在一起可以得到一个新的  维表示

这称为表示的直和。反过来，任意一个表示都可以被分解为更小的表示的直和，一直分解到不能再分解（这些不能再分解的表示被称为不可分解表示，在群表示论中也可以叫不可约表示，不可约表示是指不存在更小的子表示，但是这两个概念在有限群论中是等价的）。不可分解表示的重要性就像是素数之于整数，它们是表示论的基本组成成分。正如两个任意的整数可以求最大公因数一样，两个表示也有它们共同的不可分解表示。那么要如何判断两个表示有没有共通的部分呢？这就要用到特征标。Frobenius 发现，特征标有一种类似内积的结构，对于两个特征标 ，可以定义“内积”

其中  是  的阶数，星号代表复共轭。这个相当简单的定义却有不平凡的效用。可以证明，如果  和  是两个不同构不可分解表示的特征标，那么  且 。可以很容易看出，表示的直和对应于特征标的相加，所以对于任意两个表示，要想知道它们有多少个共通的不分解子表示，只需要直接对两个表示的特征标求内积就行了。

那么要如何解决 Dedekind 的猜想呢？粗略地说，群的行列式对应着正则表示：给定任意一个有限群，都可以定义正则表示，这是指把群  的元当作一组基，形成的向量空间 ，而  的群运算则可以当作  上的线性映射。利用特征标理论可以分析  这个表示的所有不可分解表示，答案是惊人的：任何  的表示，某种意义上都会出现在  的分解之中。而 Dedekind 的猜想，其实本质上就是在分解正则表示。

如此美妙的结构让 Frobenius 流连忘返。他的后半生一直致力于完善这套理论，并与他的学生 Issai Schur (1875-1941) 一同把群论带向了20世纪。如今的群论学家在面对一个群时，首先就会把它的特征标写出来。

现在我们可以来说说到底 McKay 猜想是什么了。

McKay猜想与群的分类

我们把群  的所有不可分解（不可约）表示的特征标构成的集合写作  ，给定素数  ，定义

对于任意  的 Sylow -子群 ，我们需要用到它的正规化子 。这需要稍微解释一下：一个群  的子群  被称为正规子群，当且仅当对于任意  中的元  都满足  。这个条件的意义在于，如果我们把  中所有元素都强行当作单位元，得到的结构（称为商群）仍然是一个群，例如整数群  的包含所有偶数的子群  就是一个正规子群，其商群  中的运算就等同于模  同余运算，模运算下两个元构成的集合  也构成一个群（之所以只有两个元，是因为所有的偶数都被定义为与  相等，所有奇数都被定义为与  相等）。而  的正规化子是指包含  的最小的、满足  是  的正规子群的一个  的子群。正规子群是域扩张理论的核心工具，Galois 在他的理论中把 Galois 扩张与正规子群对应起来，建立了根式可解的条件。可以说，研究群的结构就无可避免地要去观察它的正规子群。

McKay 猜想是说： 的元素个数，与  的元素个数相等。这意味着  的一个子群的性质，决定了  的性质。John McKay（1939-2022）在20世纪70年代通过计算特例发现了这个神秘的等式，主要是针对  的情况，后来由 Jonathan Lazare Alperin （1937-） 等人完善形成今天我们看到的这个版本。McKay 一辈子都在研究群论，他最为人所知的贡献有两点，一是月光怪兽理论（联系群论与模形式），二是 McKay 对应（联系有限群和李群），这可以一定程度上反映他的数学风格。

McKay 猜想可以看作群论中的“局部-整体对应”。在代数几何与数论中，常常把与素数或素理想有关的结构看作是局部对象，数学家们会试图用这些局部对象来理解整体对象，这在局部 Langlands 纲领等领域中发挥着巨大的作用；而 McKay 猜想恰好符合这一理念：局部不变量等于整体不变量。

不过这只是一个猜想，虽然有大量例子佐证，但是数学定理是不能用有限归纳法得到的。几十年来，数学家们一直在寻找证明。与其说在寻找证明，不如说数学家们想要理解这种神奇对偶背后的原理。正如 Frobenius 通过特征标来理解群的行列式一样，美妙定理背后的理论更令数学家们神往。

此时我们不得不提到20世纪群论研究的一大趋势，那就是对群的分类，准确来说，是对有限单群的分类。单群是指这个群除了  阶群和自己以外，没有别的正规子群。任何一般的有限群，其性质某种意义上都反映在与其相关的单群上，所以如果能搞清楚一共有哪些有限单群，就能将群论问题放到具体的几类例子中研究。这是一项巨大的工程，很多人在了解到其复杂程度之后都会开始怀疑数学的简洁性：自从1972年 Daniel Gorenstein（1923-1992）提出这项惊人的计划以来，数学家们写了上万页的论文，直到2004才正式完工。即便是目前尚未完成的简化版本，预计也需要约5000页篇幅。但是他们得到的结论却非常简洁，除了  个特殊情况（称为零散群）之外，有限单群只有以下四种：

• 素数阶循环群 ，也就是由  这  个元在模  运算下构成的群，或者写作 ；
•  阶以上交错群 （置换群和交错群在 Galois 理论中尤其重要，但是本文中读者并不需要了解）；
• Lie 型单群；
• Lie 型单群的导群（本文读者也不需要了解导群）。

前两种群的定义都非常初等，善用搜索引擎的读者可以花五分钟看懂它们的定义，这并不是本文的重点。后文中我们将介绍 Lie 型群。现在我们更关心的是分类定理对 McKay 猜想的影响。

2007 年，三位数学家 Martin Isaacs，Gunter Malle 以及 Gabriel Navarro 提出了“归纳 McKay 条件”，这是一个稍微改动版本的 McKay 猜想。他们证明，只要对所有有限单群成立“归纳 McKay 条件”，就可以推出 McKay 猜想。这意味着数学家们只需要利用有限单群分类定理，对四种单群及  个零散群仔细研究。这之后的十多年里，包括 Späth 和 Cabanes 在内的数学家们发表了多篇论文，最终在 2024 年正式完工，为长达半个世纪的 McKay 猜想研究画下句号。

整个过程中最困难，同时又最激动人心的部分，就是 Lie 型单群。

Lie群和Lie型群

有一定物理基础的读者可能会听说过 Lie 群，这是一种具有光滑几何结构的群。比如实数加法群  就是 Lie 群。我们前面提到的所有复数可逆矩阵组成的乘法群  也是 Lie 群，几何上看它是  维的光滑图形（专业地说，叫流形）。而 Lie 型群则是与矩阵群类似的有限群，例如 （其中  ），也就是指模  同余数为系数的  阶可逆矩阵群。这样的群显然是有限群，不可能具有光滑结构，所以要和 Lie 群区分开来。但是 Lie 型群的理论从某种意义上又源自 Lie 群，除了代数以外，还需要几何的帮助。

可以肯定地说，挪威数学家 Sophus Lie（1842-1899）的工作与表示论完全无关。他研究这些群的动机来自分析：既然代数方程的求解取决于 Galois 群这样的有限群，那能否找到一些连续群来描述微分方程呢？不过即便他用德语写作，当时的德国人也并不买他的账。Weierstrass 认为 Lie 的理论不够严谨，需要推翻重来；Frobenius 更是评价 Lie 的理论用来解微分方程是在“绕远路”。信仰直觉主义的法国人却对 Lie 推崇有加，Henri Poincaré（1854-1912）甚至发出感叹“任何数学都是关于群的故事”。后来 Lie 理论的发展壮大也离不开直觉与应用，从20世纪20年代开始，量子力学的兴起让物理学家把注意力集中在了对称性与群论，数学家 Hermann Weyl（1885-1955） 和物理学家 Eugene Wigner（1902-1995）发现 Lie 群的表示可以用来描述自旋等物理量，Weyl 更是系统性整理了几何中的群论内容，就是他首先把这些“连续”的群称为 Lie 群。Frobenius 一生都在抗拒数学被应用污染而失去纯粹性，但他的表示论却最终与他讨厌的 Lie 理论合并在一起被广泛应用到理论物理中，以至于今天物理系学生学到的第一个群可能就是 Lie 群  。这不得不让人感叹：历史的潮流是不会因个人喜好而改变的。

与此同时，Lie 理论与表示论正在数学内部经历一场不同的革命。Galois 表示伴随着 Emil Artin（1898-1962） 对 -函数的研究诞生了；Lie 群/ Lie 代数（无穷小版本的 Lie 群）的理论被严谨化，其表示被彻底研究，最终走向了 Langlands 纲领。Langlands 纲领想要建立 Galois 表示与自守表示的联系，而自守表示又与某些具有代数结构的 Lie 群有关。这是另外一个宏伟的故事。但它对 Lie 型群也有影响，在各种因素的影响下，代数群诞生了。

代数群准确地说并不是群，而是群的生产机器。例如  就是一个代数群，我们可以往里塞进任何系数，都可以得到一个群，如 ，那么自然也可以得到 Lie 型群 。这套理论属于代数几何的范畴，数论和代数几何学家一直想要得到一套对任意系数都有效的几何理论，因为他们经常需要处理实数/复数以外的系数。这套代数几何理论（概形理论）最终在20世纪60年代被 Alexander Grothendieck（1928-2014）找到，而他的学生 Michel Demazure（1937-）则建立了现代意义上的代数群理论。对于所有经典几何概念，他们都找到了纯代数的定义，进而规避了系数的限制。如此，整个 Lie 群/ Lie 代数的理论都能被迁移到了代数群中，用来研究任意系数的几何。1976年，Grothendieck 的学生 Pierre Deligne（1944-）与合作者 George Lusztig（1946-）找到了用代数几何方法（具体来说是用 -进上同调）构造 Lie 型群表示的方法，随后的 1985 年 Lusztig 用这套方法找到了 Lie 型单群的所有表示。

这样巨大的成功自然也影响了群论，研究这些 Lie 型群也成了 Späth 和 Cabanes 面临的主要挑战。为了证明群论中的结论，他们不得不大量应用像代数几何这样来自其他数学领域的工具。

证明

McKay 猜想的最终证明分散在十几篇论文中，Späth 和 Cabanes 完成了其中的一半，他们2024年的论文填上了最后的一块拼图。几位数学家必须对所有种类的有限单群进行验证，而 Lie 型单群内部也分为数个种类。到2018年为止，只剩下最后一种 Lie 型单群需要考虑了。越到后面，证明的难度越大，这也是为什么最后一种情况花费了整整六年时间。像 Deligne-Lusztig 这样的代数几何理论通常是高度抽象的，但是 McKay 猜想提出的问题却是非常具体的数量关系，这要求数学家们去寻找两个群的特征标之间的一一对应，对于很多高度复杂的群而言，技术难度是前所未有的。除了代数群理论外，证明还涉及诸如 Clifford 理论、块理论等工具。

McKay 猜想并不是“局部-整体”对应的全部，Lie 型群也还存在着诸多未知。或许这些对应的背后还有更加深刻的结构，而现在摆在数学家面前的仍然只有这十几篇高度技巧性的论文。在有限单群分类定理得到证明之后，大多数数学家都表达了自己的不满，他们觉得合格的理论应该用更高的观点来解释特例，比如 Michael Atiyah（1929-2019）就认为有限单群的背后应该有某种带有群作用的几何理论；但也有数学家认为证明无法进一步简化，因为有限单群中的 Lie 型群和零散群本身就已经很复杂了。McKay 猜想的证明并没有那么复杂，相反 Späth 和 Cabanes 的证明还为代数群理论带来了一些新的血液，但同样由于 Lie 型单群本身的复杂性，证明不可避免地依赖复杂的技巧。

不过这些问题并没有困扰两位数学家，完成梦想或许是人生最幸福的事，但在 Späth 看来，McKay 猜想并不仅仅是一项挑战，更是她生活的目标、勇气，以及心中的悸动。如今她战胜了一切困难赢得了挑战，同时也失去了原本的目标。所以她和 Cabanes 开始了新的数学旅程，去寻找新的热情和勇气。祝愿他们能像 Frobenius 一样，在后半生找到“活力的源泉”。

[1] Etingof, Pavel, et al. "Introduction to representation theory." arXiv preprint arXiv:0901.0827 (2009).

[2] Cabanes, Marc, and Britta Späth. "The McKay Conjecture on character degrees." arXiv preprint arXiv:2410.20392 (2024).

[3] Sloman, Leila. "After 20 Years, Math Couple Solves Major Group Theory Problem". Quanta Magazine.

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