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返朴

经典永不过时，只要注意打开方式：评狄拉克《量子力学原理》

返王一约 11 分钟
狄拉克是量子力学的奠基人之一，他的著作《量子力学原理》，是同时代最好的量子力学专著。至今，也仍是最好的量子力学教材之一。
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保罗·狄拉克（Paul Dirac），英国理论物理学家，量子力学的奠基者之一。

记得我读大学时，教我量子力学、量子场论的阮图南老师曾极力推荐我们读狄拉克。当时读过一部分，但是很多情况下，未能理解狄拉克的微言大义。今天得以重读，读罢掩卷而思，“遥想公瑾当年”。当这本书问世的时候，是多么完美的一本书！
而从本书1930年初版至今，已近百年；本书的最后一次修订（第4版修订版），距今也有近60年了（我读的是最新修订版，其中量子电动力学等部分显然是修订过的，但下文有些讨论，假定书中前几章主要内容与1930年版改动不大，但我没找到初版，如有不实，欢迎指正）。对于希望深刻了解量子力学的读者而言，这本书仍值得一读。不过，如果读者阅读时，比照当代的观点，将更有助益。这就是我尝试写下这篇书评的原因：斗胆讨论狄拉克至今仍值得读的地方，以及过时之处。
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为何经典？
狄拉克的书为何经典？
第一，本书的基本框架具有超越时代的普适性。今天，我们已经清楚，量子理论是一种理论框架，是“理论的理论”（不同于麦克斯韦方程组，或广义相对论，是具体的理论），并且是目前人类所知的，最普适的物理理论框架，没有之一。但是，我实在难以想象，近百年前，当量子大厦刚刚建成时，是谁给狄拉克的勇气，写一本如此普适的书（而即便伟大如牛顿，当他建成他的力学体系时，也还在担心，如果太阳系按照他的规律无法稳定演化，是否需要上帝出手，重新调整一下）。
本书一起笔，就是量子力学中最普适的态叠加原理，而薛定谔方程只是动力学的“态叠加原理”和“演化保模长”的推论。这种普适性（而不是从薛定谔方程出发），使得我们无论学习量子场论、量子多体、量子信息、量子计算，都能清楚地看到，我们在讨论的是同一个量子理论。
本书开创性地采用狄拉克记号。如狄拉克在前言中所说，“符号法看来更能深入事物的本质”。狄拉克记号比波函数更普适，例如描述自旋、量子信息，与其勉强使用既不像“波”，也不像“函数”的“分立的波函数”，大家普遍使用符号法。（我也曾写过狄拉克记号的其它好处，见 https://www.zhihu.com/question/57290501/answer/1842752712。）
普适性的另一个例子，是第四章讲量子化，狄拉克非常清晰地认识到，量子化的本质是给算符以对易法则，而把经典泊松括号变成量子对易法则只是其中的一个例子。这使得狄拉克的处理可以直接应用于没有经典对应的系统（如自旋）。
不过，限于时代，书中也存在不够普适的讨论。例如，说可观测量（拥有完备本征态的实动力学变量）都是原则上可以实验观测的，这只限于非相对论量子力学。在相对论性量子理论中，还要加上微观因果性原理，即光锥外的对易子为零才行。
第二，狄拉克敢对物理意义下判断，并且能说对。对量子力学的必要性、线性性、可观测量、量子化、运动方程……，书中都有大段文字来讨论物理意义。这些物理意义的讨论，逻辑像数学公式一样严格。正如狄拉克在前言中所说，“然而，数学毕竟是工具，我们应当学会不借助数学形式而掌握物理思想。在这本书中，我试图把物理放在首位”（注：“不借助数学形式而掌握物理思想”，是熟练掌握了数学形式后，对同学的更高要求，而不是说数学形式不重要）。这种严格的物理讨论，在教材中非常稀缺（屈指可数的同样好的例子，例如《费曼物理学讲义》，徐一鸿的果壳系列，温伯格《量子场论》等）。
第三，严格性。把物理意义讲清楚而仍保持严格性，非常之难。而狄拉克的处理堪称典范。
这方面，我印象最深的是书中对可观测量的讨论。狄拉克非常小心地说：“我们将假定任何动力学系统的能量总是一个可观测量（注：根据上下文，指本征态能构成完备基），除了极简单的情况可以证明之外，其他情况的证明超越了当代数学分析的能力（注：当时泛函分析还没发展完善）。”
这句话实在把我搞糊涂了：厄密算符的本征态形成完备基，这一点是很容易证明的（并且狄拉克自己在上一节就证明过了）。为什么这里如此小心？而我仔细思考，并且也请教了同事 Andy Cohen 教授之后，才搞明白这里狄拉克真正的意思 —— 无限维厄密算符，和有限维厄密矩阵不一样，必须考虑边界条件。
如果在这一点上继续研究下去，能找到什么狄拉克证明里没涵盖到的例子？一个重要的例子就是目前凝聚态的研究热点：非厄密系统。
不知道狄拉克是已经理解了当时还未完善的泛函分析，还是仅从数学上的严谨性，而在这里如此小心。但无论是哪一种，都是狄拉克的大家风范 —— 这就是读大物理学家的好处。当你看到某些处理异乎寻常地小心，则“皮裤套棉裤，必定有原故”。不像我这种小喽啰写的书，如果哪些地方的处理皮裤套棉裤，多半是因为太笨不会脱。
第四，讲物理，讲数学技能，而不是收集邮票。例如解氢原子薛定谔方程时，写出级数解。这种讲法，可以教给同学解方程的技巧，这种技巧，假设方程还没有被前人定义成特殊函数，也是能用的。作为对比，如果只写出特殊函数，剩下的事情交给数学，则是给同学一个黑匣子，未来 Mathematica 解不出的方程，同学往往就无所适从了。
是写给专家的书

本书当年想必是写给专家的，具有一定理解门槛（但是当年的学术界比现在小得多，学生也多半是少数专家手把手教出来的）。几十年后的今天，量子力学的基本理论已经是物理系本科低年级的必修课，不再是科研前沿。但是，本书的简明风格，对初学者仍不够友好。建议已经学过量子力学的老师同学，把本书用作重读和回味量子力学，而不建议初学者用这本书来学量子力学，或主讲教师拿这本书当教材（如做教材，也要针对初学者特点，做大量补充）。这是因为，本书的很多特点，对专家来讲是优点，对初学者却意味着困难：

1. 对实验的描述过于简略。很多实验只提一个名词，接着便进入理论讨论，例如利兹组合定律、实验测得的比热、双缝干涉、塞曼效应、反常塞曼效应等。专家往往对这些实验足够熟悉，但是初学者可能因没有介绍实验细节，而忽略这些实验对理论带来的重大启发，或忽略理论能解释实验所代表的巨大成功。

2. 没有冗余信息：本书没有废话，并且“好话不说第二遍”。对于专家而言，书中讨论足够清楚，是十分高效的信息沟通。但是初学者有时难免误解作者意图。在重要讨论中缺乏反复强调，过于简洁，可能造成初学者的学习困难（类似信息论中有噪声的信道没有加冗余信息做校验）。

3. 不画图。全书没有任何一张图。我不知这是性格，技术所限，还是行为艺术 —— 反正没有经典图像，干脆一张图也不给你画。尽管量子力学的抽象性决定了，过多示意图可能影响理解，但是在实验如何进行、函数曲线、概率分布密度等方面，图像还是能比文字表达更直观的信息。这些地方，有图会便于阅读。

4. 没有习题。

下文中，我将站在现代人的视角，斗胆评论（狗头护体），对当代读者，狄拉克的书缺少什么。当然，这对一本写于1930年的书而言，是一种辉格史观式的，不切实际的要求。不过，我这些讨论的目的，是希望读者理解量子力学时，能不局限于狄拉克的年代，而对量子力学有更现代、更全面的认识。

缺憾：对量子场论的现代认识
除科学史研究的兴趣之外，本书最后两章（电子的相对论理论、量子电动力学）过时了，没必要再读。并且，一本现代的量子力学书，也不应该再讲相对论性的单粒子量子力学。
这是因为，相对论与量子论的结合是量子场论，而相对论性的单粒子量子力学并不是量子场论的一个完整极限，只是历史发展中的一环而已。把狄拉克方程当作单粒子波函数的方程，再把波函数“二次量子化”成场，这种对已经定义好的概念的重新解释，对我们的理解而言，是不必要的负担。
我们最好从当代量子场论的观点，更直接地理解：场算符和量子态，从一开始就是不同的东西，不是谁量子化成谁。旋量场算符遵循狄拉克方程，而量子态仍遵循薛定谔方程（只是哈密顿量不同了，这一点狄拉克书第5章的讨论仍不过时）。
缺憾：量子纠缠
当代量子力学中，无论是量子信息、量子计算，还是对量子基础的研究，量子纠缠都处于核心地位。甚至在当代量子场论、量子引力的研究中，量子纠缠也变得越来越重要。本书由于成书过早，缺乏对量子纠缠的讨论。这个遗憾，也和下文讨论的测量，以及量子力学的诠释密切相关。
缺憾：测量的物理细节
本书从头到尾的讲解都十分清晰，但是具有两种不同的清晰方式：（1）对粒子没有被测量时的行为，是“全都讲清楚了”的清晰；而（2）对测量本身的讨论，则清晰地放置了一个“禁止入内”的牌子。本书把量子不确定性描述为“测量对系统的扰动”（即“测不准”。这在现象学上是正确的，但是在量子力学的大多数诠释中，应进一步理解为系统根本就不存在“既确定位置，又确定动量”的状态，即“不确定性”），且把实验仪器描述为完全经典的对象。这种讲法从现代的观点看，有些过于传统。
如果采用当代的理解，将测量描述为“量子态与实验仪器成为纠缠态，再受外界环境影响退相干的过程”，我们就能把量子力学的疆域进一步扩大，并且实验仪器也不再那么神秘，而是量子理论中可以理解的一环了。直到如今，除了量子信息的专门教材外，采用这种介绍方式的量子力学教材并不多。不过，大家可以读一下 Coleman 的演讲（https://arxiv.org/pdf/2011.12671 巧的是，这正是 Coleman获狄拉克奖时的演讲）。
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西德尼·科尔曼（Sidney Coleman），美国理论物理学家，哈佛大学教授。

当代量子力学并没有完全理解测量。我们仍不理解“到底退相干到哪个态”，以及概率到底是怎么出现的。但是，把理解推进一步，把量子迷雾进一步缩小，是物理学的进步，也是物理教学中值得努力的方向。
缺憾：量子力学的诠释
尽管狄拉克着力讨论量子力学的物理理解，但是他原则清晰地避免讨论“量子力学规则背后到底发生了什么”，也就是，他仅就认识论来讨论量子力学，避免讨论量子力学的诠释，避免讨论量子力学的本体论。例如，狄拉克写道：“至于是什么决定了光子是否通过，……，被当作是科学领域之外的问题”。
在量子力学发展的早期，把量子力学研究限制到现象学，限制到认识论，是有效的研究方法。这是因为量子力学与经典力学差异过大，追求“到底发生了什么”，难免会带有经典力学的烙印（例如电子轨道）。原则清晰地避免讨论本体论，有助于量子力学与经典力学的决裂。
但是，随着时间的发展和理解的深入，当我们已经学会了在思考量子力学问题时，免受经典力学误导，则 “把量子力学研究限制到现象学”，逐渐成了物理学家头上的一道箍。研究“到底发生了什么”的量子力学诠释，虽然一直在进行，但长时间内被当作非主流。
不过，毕竟，一道箍困不住物理学的发展。近年来，随着量子信息、量子计算的发展，量子力学的诠释重新受到重视。只是，因为这道箍，量子力学诠释受重视的时间，被大大推迟了。
我认为，一本当代量子力学教材，应当包括对量子力学诠释的讨论。这是因为，
1. 即使教材不谈诠释，同学仍会脑补“发生了什么”。与其让同学脑补，不如对量子力学的诠释做科学的介绍。
2. 让同学选择一个自己喜欢的诠释，有助于同学建立量子力学的物理图像。只是要提醒同学，我们还不知道世界是否真正这样运行（例如多世界是否真实存在），这个物理图像有可能是真实的，也可能是思考问题的有效手段（像记忆宫殿帮助记忆那种）即可。
3. 让同学知道存在不同的诠释，既可以这样想，也可以那样想，都是逻辑可能性。从多角度想明白同一个问题，借量子力学诠释悬而未决之机，刚好是训练同学思维的一种方式。
对量子力学诠释感兴趣的同学，可以读温伯格或孙昌璞院士的量子力学教材，也可以参考Stanford Encyclopedia of Philosophy上对量子力学各种诠释的介绍（例如 https://plato.stanford.edu/entries/qm-copenhagen/，https://plato.stanford.edu/entries/qm-manyworlds/ 等）。
卷尾：结束了一个时代
读完这本书的一刹那，我有很多感慨，部分原因，是本书的结尾方式。本书在讨论量子电动力学的发散处戛然而止。而本书的最后一句话，作为愿景出现：“希望随着知识的增长，最终能够找到能把高能理论纳入运动方程方案的途径，这样就把高能与低能物理统一在一个方案中。”但是，狄拉克方程之后，又有谁去寻找运动方程呢？洛伦兹不变的作用量、对称性、对称性破缺、有效场论将次第登上舞台。人类理解基础物理的支点已然移动。
于是，这个结尾，不经意间，像是为一个时代划上句号，为那个时代的英雄们谢幕 —— 新的时代即将开始，新的风云人物又将引领风骚了。站在巨人的肩膀上，今天的我们，还乐于读狄拉克的书，还能从书里学到很多，实在是个奇迹。
如果你已学过量子力学，希望更多理解其基础理论，我推荐你也来体验这个奇迹。
致谢：我对量子力学的很多理解，得益于与我的同事 Andy Cohen 教授的讨论。重读狄拉克过程中，我也多次向Andy 请教，并得到精彩的解答。十分感谢。同时，也感谢读者一直读到这里。

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