在无限与变化之间：一场关于微积分的深度对话

Ramakrishna2025年05月09日约 26 分钟

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美国康奈尔大学教授史蒂文·斯托加茨（Steven Strogatz）因在动力系统^[1]与复杂网络理论^[2]领域的开创性贡献享誉数学界。在动力系统领域，他研究了蟋蟀的同步鸣叫等现象；在复杂网络理论方面，他于 1998 年在《自然》杂志发表的论文《小世界网络的集体动力学》（Collective dynamics of small-world networks）^[3]掀起了一场持续至今的研究热潮。尽管取得了诸多成就，斯托加茨或许会说，他最重要的身份并非研究者，而是“翻译者”。

在一次与The Believer杂志的访谈对话中，从斯托加茨教授的著作《微积分的力量》谈起，教授通过微积分历史上的最重要人物阐述了数学与自然的关系，并对确定性和不可预测性进行了分析。

采访&写作 | Prashanth Ramakrishna

翻译 | Alex

在搜寻混沌理论课程的补充材料时，我第一次接触到斯托加茨博士的工作。他的著作Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering对于我深入理解数学具有重要意义——我当时对数学的定义还停留在封闭课堂环境中的定理、证明和计算。但实际上，数学的力量在于它能够极其精确地描述自然世界的运行规律，并利用这些描述预测未来的发展变化。不久之后，我开始从事涉及现实世界动态现象建模的工作，比如研究青春期大鼠看似随机的睡眠-觉醒周期、动脉中血液脉搏波的反射，以及组织如何通过招聘来维持意识形态的多样性。事实上，斯托加茨的启发彻底改变了我对数学的看法，我意识到，如同画家挥动画笔，数学家运用数学描绘出了现实世界的某种面貌。万物皆模式（Life is patterns），关键在于能否有人将它们辨识出来。这种顿悟，我确信，不会只发生在我一个人身上。

Steven Strogatz（照片由 John Groo 提供）

在一个以严寒著称的伊萨卡市的冬日，我满怀期待地来到康奈尔大学——这里正是斯托加茨博士任教的地方，他担任 Jacob Gould Schurman 应用数学教授。我这次专程为他的新书《微积分的力量》（Infinite Powers: How Calculus Reveals the Secrets of the Universe，2019）而来。我们在他的办公室里聊了好几个小时——不仅谈到了微积分的历史，也聊到了父亲在我小时候与我玩的一些（数学）近似游戏、人文与科学之间的分歧、良好的数学教育应具备哪些要素、数学模型的局限，以及美感、直觉与创造力在数学中的重要作用等诸多话题。本文即是那场对话的编辑整理版。

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《微积分的力量》（中信出版社，2021年1月），购书可索取发票

采访结束后，斯托加茨教授非常友善地开车送我回到了我当时居住的那间略显破旧的兄弟会宿舍。当天深夜，在烟草和披萨的混合香气中，我与一个学生闲聊起来。当我提到斯托加茨教授时，他一下子兴奋起来：“动力学传奇啊！Watts-Strogatz 模型，不就是他吗？大家都说一定要上他的课！可惜课程安排不允许，实在遗憾。”

微积分的天体起源

The Believer（以下简称BLVR）：在我看来，《微积分的力量》不仅试图解释微积分是如何发展的，还试图说明它为何行之有效。这种理解是否过于简单？是否符合你写作这本书的初衷？

斯托加茨（以下简称SS）：我写这本书主要想探讨三件事。前两件相互关联——正如你所说，我想解释微积分的由来以及它为何有效。第三件事是展示微积分如何改变人类的生活。我的目标是要将历史、概念和应用全部融入到书中。不过，历史并非我的专长。数学史上流传着许多轶事趣闻，想想你的老师们，他们很可能也讲过高斯或黎曼的故事。我发现，几个世纪以来，我们一直喜欢谈论这些话题。我甚至觉得自己了解阿基米德是什么样的人。当然，这不过是自欺欺人罢了。

BLVR：人们往往倾向于神化数学家，仿佛他们拥有超能力一般。数学家的殿堂里汇聚了如此多样的人物。但我总觉得这种多样性呈现出一种两极分化的状态，一端是极度自负，另一端则是全然忘我。这种二元性在书中的一些人物身上得到了很好地体现。

SS：是的，像是费马和笛卡尔，还有牛顿和莱布尼茨。关于伽利略和开普勒，虽然我不会将他们称为对手，但他们是同时代的人，可以很自然地并列提及。然而，我最终还是省略了许多重要的历史人物，比如黎曼、高斯、柯西和拉格朗日。写书时我开始意识到，我希望能尽量降低这本书的数学门槛。比如，我甚至要假设我的编辑没学过高中代数。如果连这些基础都没有，那谈论黎曼的成就又有什么意义呢？我希望真实地呈现数学，这样任何读者都能从零开始理解。

BLVR：幸运的是，要讨论微积分的两个主要组成部分——微分和积分，并不需要复杂的历史背景。说到这里，我意识到人们往往会忽略数学名词本身所包含的解释价值：“微分”是将连续的整体分解成无限小的组成部分；而“积分”则是将许多细小的部分重新整合为一个整体。

SS：我也这样认为。你这种说法似乎特别自然。微积分之所以十分强大，是因为世界上许多事物都可以被视为连续体，并且可以不断细分。时间、空间及物质实体，皆是如此。

BLVR：问题是：为什么微积分会产生如此深远的影响？

SS：如果要用一句话总结，那就是：微积分是研究“变化”的数学。更准确地说，它研究的是“连续变化”。我们这里说的不是那种胡搅蛮缠的变化，而是比如一位HIV感染者在接受三联鸡尾酒疗法后，血液中的病毒载量会迅速下降这样的变化；也包括太阳系天体是如何运动的，这曾是早期重要的未解之谜，并由此引出了一个有趣的问题。纵观历史，人类如此痴迷于星辰、月亮和太阳，但是，为什么？为什么这些天体是人类最早能够数学化的对象？那时候，人们对草药、动物和农业已经有所了解，但在这些领域，基本只依靠计数就足够了。为什么那些高深的数学（比如三角函数的微积分运算）最先应用在天文学上？我心里有个答案，不过我很好奇你有没有想过这个问题。

BLVR：是的，我也想过这个问题。我认为这个问题的答案有两部分。第一，某些天体的运行显然有规律可循，即使人们一开始不清楚这些规律具体是什么，也能强烈地感知到它们的存在，而且只要仔细观察，假以时日就能发现。第二，那些规律能够被可靠地观测到。而这两点，最终成为科学的必要前提：察觉到某事物值得研究并找到研究它的可靠方法。

SS：非常好。另外，天体运动的时间尺度也刚刚好——既不太快，也不太慢。那些变化非常迅速的现象，甚至只是从桥上扔下一块石头，在当时其实是很难研究的，因为那时没有足够精确的时钟，无法测量石头落入水中的时间。一切都发生得太快了！另外也要记住，这些观测工作往往是在夜晚进行的，没有电灯，四周漆黑一片。而在世界上很多地方，夜空本身就非常壮观。

不过，同样让人费解的是，这些天体距离地球非常遥远，人类为什么会想要研究它们？你可能会认为理应最先发展医学，因为它关乎生死，是人类最迫切需要解决的问题。但医学太复杂了，直到今天，其中的规律仍然成谜。所以，我想你说得对——天体运动呈规律性，运行速度缓慢，而且肉眼可以观测到。因此，人们可以绘制图表并记录下来。最终，最遥远的对象反而最先被理解。微积分正是在那场追寻行星运动规律的古老探索中逐渐萌芽的。而“行星”一词的本意，正是“漫游的星辰”。

BLVR：仰望星空是一种分离“运动现象”的自然方式。许多最早为微积分奠定基础的重要进展都源于“人为分离运动现象”方法的发展。比如，我现在脑海中浮现的就是伽利略让小球在带槽斜面上滚动的实验。正是这种方法论上的突破，我们才能研究地球运动规律。

SS：是的，伽利略的实验继承了阿基米德的精神。阿基米德做了很多漂浮物体和类似性质的简化实验。伽利略就像是现代版的阿基米德。方法论的另一个重大突破就是刻意忽略某些因素的影响。比如，摩擦力在现实生活中不可或缺，而伽利略却费尽心思将小球轨道打磨得光滑笔直，因为他对摩擦力不感兴趣。他真正想理解的是重力以及重力如何影响物体的运动。

做这些小实验是为了弄清楚宇宙中的事物是如何变化的，而描述这种变化的语言就是微积分。在代数中，我们会学到用关系式来思考问题，比如“距离 = 速度 × 时间”。但这只适用于物体匀速运动的时候，而宇宙中很多物体并非匀速运动，比如行星围绕太阳旋转，靠近太阳时速度加快，远离时就慢下来。再比如，迈克尔·乔丹扣篮时，跳到最高点时好像悬停在空中，接着突然加速下落。这些运动的速度变化必须找到方法描述。而几何也有类似的局限：古典几何学能够处理直线构成的形状，并用直线几何方法来量化光滑曲线（如抛物线）下的面积。但要处理光滑曲线，需要一种新的思想，那就是微积分。

邻近于美

BLVR：微积分的发展凝聚了众多数学家的智慧。因此，我想我们是不是应该介绍一下你书中的重要人物？

SS：我本想在书中讲述一千个人物的故事，但碍于篇幅所限，我决定重点介绍阿基米德。我认为他是古代最重要的数学家，他当时所解决的问题，现在仍然困扰着SAT的考生。阿基米德成功量化了许多由光滑曲线构成的形状，比如圆、球体和抛物线。微积分的核心就是“变化”。直线的方向不会发生改变，而根据定义，曲线的方向则不断变化。因此，曲线是研究“变化”的重要内容。阿基米德是第一个能够通过测量曲面物体的属性（如表面积、体积和弧长）描述这种变化的人，而这一切的背后，是他对“无穷”的驾驭。

BLVR：他驾驭无穷的方法，便是巧妙地将物体拆解再重新组合，从而为后来微积分的发展提供了重要线索。

SS：他简直是切割形状的艺术大师。这很像立体主义。布拉克（Georges Braque，法国著名立体主义画家）有一幅画作，用万花筒一样的视角展现人走下楼梯的场景。从不连续的画面中，你却能感受到连续的动作。如何将锯齿状的碎片变成光滑的形状呢？立体主义画家在 20 世纪初懂得了这个方法，而阿基米德早在公元前 250 年就知道怎么做了：他将一个像抛物线般平滑的形状，分解为许多越来越小的三角碎片。多么奇妙的画作！

阿基米德至今仍然如此重要，真是不可思议。动画人物史莱克光滑的肚子或喇叭形的小耳朵都是由数百万个多边形构成的。所有的计算机图形都巧妙地利用无数个微小的多边形来近似平滑的面部、腹部、耳朵和其他所有部位。面部外科医生使用相同的技术来预测整形手术的结果。因此，通过运用阿基米德的思想，我们可以为外科医生提供真正有效的“手术模拟”。

BLVR：那古典时代之后呢？

SS：我们直接跳到两千年后的17 世纪初，那时人们开始量化地球上和天空中物体的运动方式。接下来登场的是伽利略和开普勒。他们既是数学家，也都是富有科学精神、目光投向数学之外的探索者。他们研究数学的目的并非仅为数学本身，同时也怀抱着对自然的敬畏之情。

开普勒是个虔诚的信徒。尽管他最后当了老师，但年轻的时候他本打算做一名路德教的牧师。他曾一度形容自己处于一种“神圣狂热”的状态。他对宇宙的规律抱有一种神秘主义的看法，认为自己正在发现上帝用来创造宇宙的神圣几何。开普勒发现了行星运行所遵循的定律。虽然他当时还不知道万有引力定律，但他在行星运行中发现了大量的几何结构。在开普勒之前，哥白尼就提出行星围绕太阳运行的设想，但开普勒用数学方法证明了这一点。

BLVR：你对开普勒的描述，我很感兴趣，因为从毕达哥拉斯开始，数学神秘主义就是另一条重要的历史脉络。

SS：我们不妨说明一下什么是数学神秘主义。开普勒就是一个神秘主义者，让我们以他为例。当时，除了地球之外，还有五颗已知的行星，它们靠近太阳，分别是水星、金星、火星、木星和土星。有趣的是，如果你画一个五角星，并连接它的五个角，就会得到一个五边形。另一种更传统的思考方式是：如果你画一个五边形，然后从内部连接它的角，那么你不仅会得到一个五角星，还会在原始图形中心生成一个小五边形。五边形是一种能够自我生成的形状，并且可以无限延续下去。因此，根据丹·布朗（Dan Brown，美国悬疑小说作家）的说法和毕达哥拉斯的观点，五边形象征着生育和女性。“5”在毕达哥拉斯的数字命理学中非常重要，而开普勒深受其影响。他注意到有五颗行星，同时也发现五种特殊的立体图形，即柏拉图立体（立方体或正四面体），它们的每个面都是相同的正多边形。于是他心想：“它们之间一定有联系！” 开普勒得出结论，宇宙是基于柏拉图几何构建的。他在著作《宇宙的奥秘》（MysteriumCosmigraphicum）中提出了一个方案：立方体内嵌套着十二面体^[4]，十二面体内又嵌套二十面体^[5]，几乎可以解释五颗行星的位置以及它们与太阳之间的平均距离。这是一个美丽的设想，可惜大自然并没有采用。

数学是宇宙的秘密吗？开普勒对此深信不疑，毕达哥拉斯学派亦是如此——据说毕达哥拉斯在发现音乐的和谐遵循数学定律后说出了那句“万物皆数”。这是一个贯穿整个数学发展历程的主题。如今我们已很少谈论这个话题，因为我们不想把自己视为神秘主义者。但它依然存在。人们认为某些理论之所以优美（比如超对称就是量子理论极为优雅的概括），或许是因为这种美感本身就蕴含着某种启示。这种启示无疑对爱因斯坦最有效：最美的相对论版本最终被证明是最好的。数学之美与真理之间存在着复杂的关系。美能指引我们发现真理吗？遗憾的是，并非总能如愿。但有时可以。

BLVR：在纯数学领域，人们往往强调优雅（elegance），而优雅或多或少等同于简洁（simplicity）。只要人们继续把美和简洁联系在一起，并始终渴望简洁能够对应事物的根本，那么我认为美依然会是探寻真理的指路明灯。审美意识在数学直觉中占据重要地位，或许我们需要些许抛弃已有的认知才能习得。

SS：让我们再来说说开普勒。与前人一样，开普勒认为行星的运行轨迹应该是一个圆，因为圆形是最简单、最完美的形状。时至今日，人们仍然将圆形视为完美和永恒的象征。我们选择圆形作为结婚戒指并非偶然——“我爱你直到永远”正如“圆永无止境”。然而，当我们真正观察行星的运动时，会发现它们并非严格地沿着圆形轨道运行。但另一方面，它们的轨道又非常接近圆形。因此，开普勒像托勒密和其他先贤一样，试图找到一种方法解释这一点——这在古代天文学中被称为“拯救表象”（saving the appearances）。

BLVR：真理就是近似于美。

SS：最后证明，行星运行轨道并不是圆形，而是椭圆。它与圆形非常相似。想象一下，你以一个圆形为底，像饮水机旁的纸杯那样不断扩展，就能形成一个圆锥。然后你以一个倾斜的角度切割纸杯，得到的截面便是椭圆形。可见，圆锥从圆形而来，而椭圆则来自切割圆锥。这个纯几何学中的简单形状竟然揭示了行星围绕太阳的运行轨迹——这就是著名的开普勒第一定律。观测数据与理论完美契合，开普勒是对的！他认为上帝会运用几何学的偏见似乎得到了印证。而且，这个答案如此简单。

另一个同样简单的“真理”是伽利略的发现：物体在空中抛掷后的轨迹呈抛物线形状。“道义上”来说^[6]，篮球的投篮轨迹也呈抛物线状。然而，由于恼人的空气阻力，实际情况并非如此。因此，现实世界……总是近似于美。这也引出一个问题：我们应该关注真实发生的现象，还是沉浸在柏拉图式的理想世界中，探究事物“本应如此”的状态？如果盲目地追求真理，反而可能无法洞察那些隐藏在些许“谎言”下的更深层原理。完美的抛物线弧线就是一种“谎言”。伽利略常常选择这种“谎言”；他选择看到事物的理想状态。

这与艺术有很多共通之处。我非常喜欢毕加索的一句名言：“艺术是一种谎言，教我们理解真理。”我觉得很多伟大的科学家心中都有这种冲动。为了探寻更深层次的真理，他们会忽略一些不便利的因素。然而，这种做法也存在巨大的风险，因为有可能会被认为是不诚实（intellectually dishonest）。

BLVR：两千年来，人们不断探索各种问题的解决方法，而这些方法都隐约暗示着微积分之类的数学应该被形式化。随后，牛顿横空出世，他准备融汇前人的思想，成为那位伟大的集大成者。

SS：关于牛顿，实际上还有一些不太清楚的地方。我们应该视他为划时代的革命者，还是“站在巨人的肩膀上”的集大成者？事实上，两者皆是。最初了解他时，我曾认为人们对他的评价过高，但随着研究的深入，我逐渐认识到，牛顿确实应当与历史上那些最伟大的人物齐名——但更多是因为他运用数学深刻影响了我们思考其他学科的方式，尤其是物理学和天文学。牛顿让我们看到：自然是有逻辑的。而在他之前，我们对此一无所知。但人们通常不这样表述，大多数人会说：“他发现了运动定律。” 牛顿为当时已知的所有地球和天体运动提供了一致的解释，即其著作《自然哲学的数学原理》第三卷中所提出的“世界体系”（The System of the World），其中还包括潮汐、彗星等传统上不被提及的自然现象。人们常说“他发明了微积分”，但这种说法并不准确。牛顿的确将所有前人已知的知识系统地整合起来，形成一个成体系的系统，一套如今已高度精简和完善的算法，甚至可以教授给普通高中生。或许牛顿成就最有力的证明就是：他将微积分变得非常机械化，人们甚至不需要理解就能进行运算。遗憾的是，这恰恰是许多学生学习微积分的常态。

拉普拉斯妖和心智景观

BLVR：微积分的应用显然极其广泛。但正如你在书中提到的，它也存在一定的局限性。更确切地说，微积分在预测时所依赖的决定论并非总能成立。你使用了一个源自拉普拉斯^[7]的思想实验说明这一点，你能否展开谈谈，为什么“拉普拉斯妖”（Laplace’s Demon）掌控的“机械宇宙”（Clockwork Universe）^[8]无法成立？为什么它的不成立意味着决定论乃至微积分的局限性？

SS：在 20 世纪 70 至 80 年代混沌理论兴起之前，曾有这样一种普遍看法：如果一个系统是决定性的（也就是说，其运行规则中丝毫不含偶然或随机的成分），那么它就像一部电影，只要被重放，情节总会分毫不差地重演一遍。人们相信，任何遵循决定论的系统都是可预测的……至少在理论上是这样。因此，只要你能准确测量宇宙中所有粒子初始时的位置和运动速度，牛顿定律就能推断出它们此后每时每刻的运动轨迹。所谓的“拉普拉斯妖”，便是这样一个拥有无穷智慧的假想生灵，它能洞悉每一个粒子的确切位置与速度，并据此计算出整个宇宙的未来——从历史进程到我们每一个人的情感波动，包罗万象。

拉普拉斯妖主宰着一个遵循牛顿定律的决定论机械宇宙，这种思想实验展现的图景本身就令人不安。出于种种原因，如今我们已不再相信这种设想了。现代观点认为，“量子力学已取代牛顿定律，成为物理学的主要定律。”然而，即便是在一个完全遵循经典牛顿定律的宇宙中，人们也无法对任意遥远的未来做出预测。你只能将测量结果精确到一定的位数。传统上，人们认为，只要测量得足够精确，就能预测出超越宇宙年龄的未来。因此，在实践中，人们应该能通过不断提高初始条件的测量精度来改善预测的准确性。然而，实际情况并非如此，尤其是在20世纪70年代混沌理论问世之后。我们了解到，即使是这些简单的力学系统，初始条件测量中的微小误差也会呈指数级增长，导致短时间内预测结果严重偏离实际，我们称这种现象为“混沌”（Chaos）。这就是难以提前多日预测天气的原因，而理论上，人类根本无法预测数周后的天气。

BLVR：这里有一个关于数学形式主义的问题，最近我常常拿这个问题“伏击”朋友，给我带来了不少乐趣。我的问题是：在心智景观（Mindscape）中是否存在一个隐秘角落，其中命题“P”与“非P”可以同时为真？

SS：我明白了——也就是说，我们谈论的是一个不遵循“排中律”（Excluded middle）^[9]的宇宙。

BLVR：对，这正是我朋友当时的看法，也是我期待你能提到的。心智景观就是由各种思想构成的抽象宇宙。思想相同的两个人可能会在心智景观中占据同一个位置，就像物理世界里两个人可以身处同一个地方。所以，任何你能构想出的事物都存在于心智景观。关于数学有一个不为人知的小秘密：人们可以随意构建任何想要的系统，而这个系统并非一定要对应真实世界。

SS：这是不是说没什么规则可循？我原本以为，数学拥有一套明确的规则。我们必须就具体的逻辑规则达成共识，同时受限于这些规则。

BLVR：至于这种数学系统所描述的某个宇宙是否存在，那就是另一个问题了，对吧？

SS：是的，确实是不同的问题。一个问题是，我们想象出来的数学“乐园”是否对应真实世界。但还有另一个更一般的问题，听起来似乎是你想问的：“我们能否有其他类型的数学？甚至其他类型的逻辑？”这时先不要管真实世界如何。

BLVR：你提到“真实”（real）一词很有意思。刚才那个问题背后还有一个更深层的问题：数学定律是真实存在的吗？还是说，它们之所以真实，仅仅是因为它们所描述的对象（也就是真实世界）是真实的？那么，数学对象呢？那些理想、完美的对象，它们也是真实存在的吗？

SS：很难用“真实”这个词来形容它们。这里还涉及不同世界的问题。罗杰·彭罗斯在其著作《通往实在之路》（The Road to Reality）中提到，存在三个世界：数学世界、心智中的思想世界，以及物理对象构成的“真实”世界。我不太习惯这种三分法。通常我认为只有两个世界：柏拉图的理念世界和物质世界。不过，很有意思的一点是，彭罗斯将心智产生的思想和数学概念区分开来。我的理解是，他认为数学概念独立于人的心智存在，但又不像 π 那样存在于“真实”世界；π是一个真实的……说实话，我也不太理解他的意思。但某种程度上，我又能理解彭罗斯。作为数学家，当我们发现一个公式，或者揭示出某些数学对象之间的关系时，那种感觉就像是发现了已经存在的事物。这与肖邦创作《夜曲》不同，我不知道肖邦本人会不会这样想：“那些《夜曲》早就在那里了，是我发现了它们。”虽然米开朗基罗也曾说过，他只是“把雕像从石头中释放出来”，但它们确实是被创造出来的。那么，微积分基本定理是否曾等着我们去发现？圆周率的概念呢？圆的面积公式呢？给我们的感觉是，它们好像本来就在那里。但问题是——在哪里？

BLVR：探讨数学概念是否是物理实在的自然体现，还有一个论点是基于它们的预测能力。比如，宇宙中有些现象确实表现出类似e的规律。我们在数学上把e定义为当 n 趋于无穷大时，(1+1/n)ⁿ 的极限。你把细菌放进培养皿，它们也会以指数方式增长；与此同时，你可以构造出一个像e一样无限不循环的数字，但它与真实世界毫无关系。换句话说，宇宙似乎“并不知道”这个假想数字。但不知何故，宇宙似乎“知道” e。

SS：这其实是我整本书想传达的观点。很多人不喜欢费曼的那句名言：“你必须学微积分，因为微积分是上帝的语言。”但他这么说并非没有道理。我们现在了解宇宙万象，最好的工具就是微积分。无论是水流的运动、空气的流动、热量的传导、电磁现象还是量子力学，本质上都要靠微积分来描述。如果要让人们说出费曼那样的话，很多人可能会说“数学是宇宙的语言”。但更准确地说，微分方程才是宇宙的语言。宇宙的“语言”并不是那些抽象的代数拓扑，而是由微积分里的各种符号（使用微分算子和积分算子）书写。从原子到星系，所有我们研究过的领域，背后都有微积分的影子。有些熟悉量子力学的人可能会提到最深层的“路径积分”，但说到底，它也是一种“积分”，所以它还是微积分！

BLVR：关于“数学对象到底是不是真实存在”的问题，其实还可以扩展到那些理想化的模型上。只有将微积分工具巧妙地应用到某些实际模型中，才真正体现出它们的价值。我想我们可以围绕你以前研究过的一个模型来聊聊——我在阅读你的作品时对它产生了兴趣。不过，在这之前我有个问题想问你：为什么人们应该对模型持怀疑态度？

SS：你不妨先描述一下这个模型，看起来你对它还记忆犹新。

BLVR：这个问题是：能否在一个社会中鼓励政治温和的立场？为探究这一问题，你构建了一个极其简化的模型，将一个匿名社群划分为四组群体：其中一组持主流世界观 B；两组持反叛世界观A——其中一组由“狂热分子”构成（指其成员固守己见、绝不改变立场）；最后一组是温和派，其观点融合了A与B，因此以AB表示。你通过一系列微分方程，来描述这些群体的规模如何随时间发生变化。

SS：我和合作者是这样设想的：持不同观点的人相遇后，其中一方说服另一方“改变立场”，并可能在一定概率下成功。我们没有探讨任何细节，如你所说，这是一个高度简化的模型。

BLVR：结果相当悲观。你们尝试从多个角度调整模型，希望长期鼓励温和立场，却几乎没有任何效果。唯一有效的方法是引入一种独立于人际互动之外的外部调节力量。

SS：这股外部力量可以是来自权威机构自上而下的干预，也可能是某种共同经历的外部事件，比如你在节目外提到的“9·11事件”。人类文明伊始，统治者们就明白，塑造一个共同的敌人是最有效的社会凝聚手段。《1984》中的大洋国^[10]不正是长期处于战争状态吗？不过，整个讨论的关键是：数学模型对于任何重要事物是否可靠。将微积分应用到人类事务中其实非常棘手，因为我们没有像描述物理世界的牛顿定律或电磁现象的麦克斯韦方程组那样能够准确描述人类行为的法则。无论在个体层面还是群体层面，我们都无法预测人类的行为，而它在理论上是否可行是真正的哲学问题。我们现在不过是在“玩游戏”。

从另一个角度看，这类“游戏”之所以有趣，是因为它们让我们意识到人类知识的局限性，从而保持一种谦逊的态度——我们对人类行为或社会到底了解多少？这些模型本身常常会展现出令人意想不到的行为特征，比如在那个关于“温和派”的小模型中，我们发现，让温和派变得更加顽固，非但没有促进温和，反而更容易让狂热分子占据主导地位。这给了我们一个深刻的教训：你以为自己能知道事态发展，但即使在这样一个刻意简化的“宇宙”里，也很难做出准确预测。经验告诉我们，当我们声称某种社会干预会产生这样或那样的效果时，往往并不准确。但这么说好像是虚无主义，太悲观、太消极了。你总是要做些事情，对吧？或者……我也不知道该怎么说。

BLVR：我们希望在理论上能够准确预测。但拉普拉斯妖的例子已经告诉我们，这并不现实。我们可以做到某种程度的预测，比如天气预报。实际上对于社会进步这样复杂的事物，我们的预测能力也可能只在某个特定界限内有效。我们越接近那个界限，就越能做出正确的决策。但界限始终存在，而人类事务又太复杂、太混乱，所以我们也许永远都无法做出最好决策，甚至连稍好的决策都难以实现。这种无力感，确实让人沮丧。

SS：行为经济学中有一些看似简单却行之有效的原则。以目前美国器官捐赠为例，如果你在车祸中不幸身亡，你需要在生前明确表示愿意捐献器官，并进行登记，才会成为器官捐献者。默认情况下，你不是器官捐献者，但并非必须如此。理查德·塞勒（Richard Thaler）^[11]提出了“助推”（nudge）理论，展示了另一种可能性。该理论利用了人类行为中的惰性：大部分人倾向于维持默认设置，所以如果我们把“捐献”设为默认，人们就更可能成为捐献者。这个例子借助对人类行为的些许洞察，做了一件好事。这将是未来研究的方向。数学与社会科学的交叉点在哪里？“软科学”是最难攻克的领域，它们是最后被数学化的学科，又或许永远无法被真正数学化。而在那些“硬科学”领域，我们已经取得了长足进展。数学非常适合这些学科，正因为如此，它们反而变得“容易”。

斯托加茨的科普贡献：

著有《同步》（Sync: How Order Emerges from Chaos in the Universe, Nature, and Daily Life，2003）、《微积分的人生哲学》（The Calculus of Friendship: What a Teacher and a Student Learned about Life while Corresponding about Math，2009）、《X的奇幻之旅》（The Joy of x: A Guided Tour of Math, from One to Infinity，2012）等著作，在《纽约时报》上开设了风趣亲切的数学专栏，斯托加茨极大化解了公众对数学挥之不去的抵触情绪，在这方面，他所付出的努力鲜有人能及。

斯托加茨对数学传播的热情和投入还体现在教学风格中：注重直觉、实际应用与真实案例，自然而然地激发学生们的想象力。

凭借这些贡献，斯托加茨博士获得了无数荣誉。其中包括美国数学协会（MAA）颁发的欧拉图书奖（Euler Book Prize）、美国科学促进会（AAAS）的公众科学参与奖（Science Award）、刘易斯·托马斯科学写作奖（Lewis Thomas Prize），还有被选为剑桥大学劳斯·鲍尔（Rouse Ball）数学讲座和麻省理工学院西蒙斯（Simons）数学讲座讲师的殊荣。他目前主持着 Quanta 杂志的 The Joy of x 播客。

注释

[1]动力系统指的是用函数描述空间中某点随时间变化的一种系统。经典例子包括钟摆的摆动、液体在管道中的流动以及人口增长。在某些动力系统中，可能会出现看似随机的行为，这种现象被称为“混沌”，研究这一现象的数学分支就是“混沌理论”。

[2]复杂网络理论研究的是真实世界中以图（graph）形式表示的系统，比如 Facebook 上的好友关系或大脑中的神经连接网络。

[3]《小世界网络的集体动力学》是 Steven Strogatz 与 Duncan J. Watts 合著的一篇论文，也是有史以来被引用次数第六高的物理学论文。该论文为“六度分隔”这一大众熟知的概念提供了数学论证。他们提出了“小世界网络”这一网络类别，并被广泛应用于社会运动、南加州的地震监测站网络，以及大型数据库中的信息可用性研究。其中最著名的小世界网络构造方法就是“沃茨–斯特罗加茨模型（Watts-Strogatz Model）”。

[4] 十二面体是一种由十二个五边形面组成的多面体。

[5] 二十面体是一种由二十个三角形面组成的多面体。

[6]数学家常说某个命题在“道义上成立”（morally），意思是他们根据自己对数学美感的直觉，相信这个命题“应该是真的”。

[7]皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）是法国著名的博学家（polymath），活跃于18世纪下半叶至19世纪上半叶。他不仅奠定了贝叶斯概率的理论基础，还发明了在现代统计物理中广泛使用的拉普拉斯变换。此外，他在天体力学方面也有重要贡献。曾有一次，为了让拉普拉斯难堪，拿破仑请他展示其太阳系模型，并质问道：“你在书中真的没有提到上帝吗？”拉普拉斯回答：“我不需要那个假设。”

[8]“机械宇宙”（Clockwork Universe）一词，特别是启蒙时代的一些自然神论者用其描述这样一种宇宙观：宇宙如同一座机械钟表，由物理定律精密控制，可预测地运转。这个概念也被称为“牛顿宇宙”。在这样的宇宙观中，如果存在一个掌握所有粒子的位置、速度和受力的“拉普拉斯妖”，那么它就能预测宇宙在任意未来时刻的状态，因为每个粒子的个体状态都将根据物理定律可预测地演化。

[9]排中律是逻辑学中的三大基本定律之一，它指出：一个命题要么是真的，要么其否定是真的。其他两个分别是：矛盾律（相互矛盾的命题不能同时为真）和同一律（每个事物都与自身同一）。这里我想问，实际上是否可以设想一个不遵守排中律的宇宙。

[10]大洋国是乔治·奥威尔小说《1984》中的三个虚构的超级国家之一。在小说设定中，这些国家始终处于战争状态，以此消耗失控的资本主义不断产生的过剩供给。

[11] 理查德·塞勒（Richard Thaler）是芝加哥大学布斯商学院的行为经济学家，他因将心理学纳入个体决策的经济分析而获得了 2017 年诺贝尔经济学奖。此处引用的是他的著作《助推》（Nudge: Improving Decisions About Health, Wealth, and Happiness），书中提出，组织可以通过“助推”（Nudge）策略优化政策设计，让成员更容易做出好决策，更难做出坏决策。一个典型的例子是将器官捐赠设为“默认捐献”，指除非一个人在生前明确拒绝捐献器官，否则在死后会被默认为器官捐献者。

采访者简介

Prashanth Ramakrishna 是一位作家、研究员和学生。他在纽约大学攻读应用数学和网络安全专业，研究课题包括分析青春期大鼠的睡眠周期，以及设计规则随游戏进程演变的变体国际象棋等。除了沉浸于符号的世界，他还热衷于有趣的对话。

本文已获得作者授权翻译并发表于《返朴》。原文译自Prashanth Ramakrishna, An Interview with Steven Strogatz.

原文链接：

https://www.thebeliever.net/logger/an-interview-with-steven-strogatz/

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