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返朴

8岁“魔”童打破世界纪录，难道他掌握了群论的终极奥义？

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虽然魔方可以从小学到大，但是魔方中的数学你知道多少呢？

撰文 | 花卷
上个月，00后女孩陈诺在中国儿童青少年魔方挑战赛上，“0秒”还原魔方，引起广泛关注。网友们纷纷称赞：禁止在麻瓜面前施展魔法。
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还原魔方，应该是很多人童年的“小小梦想“。
然而魔方却并不只是代表童年回忆的玩具，其实它蕴含着深厚的数学知识，特别是作为“群论”应用的一个极佳例子，得到了许多研究。
接下来，就让我们一起走进童年回忆的背后，挖掘儿时未见的深度吧！
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魔方的历史和当下
魔方（Rubic cube）是由一名匈牙利教授Ern Rubik发明的，最初他发明魔方，是作为一种教学用具，希望通过魔方的空间结构和操作特点来提高学生们的空间想象能力。
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据说是世界上最早的魔方

1974年，魔方一经问世，迅速受到世人的喜爱，并得到了蓬勃发展。从最初的三阶魔方，发展到四阶、五阶乃至更高阶，此外还出现许多异形魔方，比如镜面魔方、金字塔魔方、五魔方等等。
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各种不同的衍生魔方

如今，在世界魔方协会WCA（World Cube Association）的赛事中，目前三阶魔方的单次还原世界纪录由8岁的中国小将耿暄一创造，他在2025年沈阳春季魔方赛中以3.05s的成绩打破世界纪录，成为新的世界纪录保持者。
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三阶魔方单次还原世界纪录历史

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魔方的组成
经典3×3×3三阶魔方是由54个小面组成的正方形，每个侧面分成9个小面，总体由26个“小立方体“组成，分别包括6个中心块、12个棱块和8个角块。
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其内部构建十分精巧，各个构件之间互相嵌合，中心块与中心轴架通过转动副连接，转动每一层时，每一层的子块之间通过互相约束而自锁，成为一个构件，由组合转动副和组合移动副共同实现每层的转动。
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三阶魔方的内部构造和运动副

四阶魔方，看似只是多加了一阶，实际复杂度却大大增加。其由24个相同的中心块、8个相同的角块、24个相同的边块、T形连接件、D形连接件等130多个零件组成。中心连接件、T形连接件和D形连接件共同构成的中心球为核心转动件，魔方子块镶嵌在中心球表面，与三阶魔方相同的是，转动一层时，每一层的子块之间通过互相约束而自锁。
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四阶魔方内部构造图

按国际惯例，魔方着色是按照：上面黄色、底面白色、左边蓝色、右面绿色、前面红色、后面橙色来的，意味着白色和黄色相对面，蓝色和绿色相对面，红色和橙色相对面。
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三阶魔方的中心块被固定在中心对称十字架上，中心块的颜色对应并不会随着拧动魔方而改变；但四阶魔方不同，中心块的相对位置可以任意改变，但受到棱块、角块颜色固定的影响，必须旋转到满足惯例的中心块排布才能复原。
三阶魔方总的状态数有多少？这可以通过排列组合计算出来。
在魔方中，角块只能被旋转到角块的位置，棱块只能被旋转到棱块的位置。对于8个角块，第一个角块可以选择的位置有8种，第二个角块可以选择的位置有7种，以此类推；每个角块在每个位置可以有3种颜色方向，当有7个角块的位置和方向确定后，最后一个角块的位置和方向也被确定（因为不能单独翻转一个角块），因此角块的状态数量为
对12个棱块而言，类似的，第一个棱块可以选择的位置有12种，第二个棱块可以选择的位置有11种，以此类推；每个棱块在每个位置可以有2种颜色方向，当有11个棱块的位置和方向确定后，最后一个棱块的位置和方向也被确定（因为不能单独翻转一个棱块），因此棱块的状态数量为
除了以上这些状态以外，在魔方的实际扭动中，还有一半的可能性是不会在魔方的正常旋转中达到的，因此还需要将以上状态数除以2。
这样，就得到了上式中三阶魔方的总状态数。
对于N阶魔方，我们也可以使用类似的方法（即先讨论角块和棱块的所有状态，再排除不可能被旋转出的情况）去讨论其所有可能的状态数，这里我们直接跳过冗长的证明，直接给出N阶魔方状态数的通解吧：

奇数阶魔方状态总数：

偶数阶魔方状态总数：

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魔方的复原
经过半个世纪的历史，三阶魔方的复原发展出角先、CFOP、桥式等方法，而随着时代进步和魔方复原机器人的兴起，人拧和机器复原也朝着各自具有优势的方向延伸出不同的体系，这里我们先简单介绍手拧的复原方法。
01 角先法（Corners First）
最早被魔方的发明者Rubik所使用的复原方法，需要记忆的公式较少，也很直观，但步骤很多，且需要敏锐的观察能力和反应能力。其包括底面及顶面角块归位、底面及顶面棱块归位、中心层棱块归位、检查颜色方向几步，虽然发明较早，但与如今的盲拧思路比较类似。
02 层先法（Layer by layer）
1979年，层先法由大卫·辛格马斯特首次提出，这是大多数新手玩家所必学的方法，比较符合人对魔方复原的认知——一层一层复原。
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03 CFOP解法
这是目前最为主流的速拧解法，在WCA大赛中非常受欢迎。其由捷克的Jessica Fridrich等人在1981年左右提出。方法涉及到119个公式，由Cross底层十字、F2L（First 2 Layer）还原下两层、OLL（Orientation of Last Layer）调整上层棱块和角块的方向、PLL（Permutation of Last Layer）完成上层所有块的位置排列组成。可以理解为层先法的精华迅速版。
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CFOP四个阶段的目标状态

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魔方中的群论
在开始聊群论之前，我们先需要了解一套对于魔方爱好者非常熟悉的一套“语言“，即魔方转动的符号描述，也是魔方公式的通用表达。
魔方的转动以魔方面的英文缩写来表示，手持魔方时，魔方的六个面分别为U（up）R（Right）F（Front）D（Down）L（Left）B（Back），用每个方向的大写首字母来表示“将该面顺时针旋转90度”，具体的表示如下图所示。
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在数学中，我们暂时忽略中间层和两层一起的转动，因为它们都可以用这六种转动的叠加实现。
而这6个转动，构成了魔方所有转动生成的集合
群论，是研究“群“这一代数结构的学科，群（Group）是一种规定了特殊乘法的集合。我们利用群的定义，可以证明上述的6个转动构成了“魔方群”。

当规定了元素的“乘积”法则之后，元素的集合G若满足下面四个条件，则称其为群G：

①集合对乘积的封闭性：

②乘积满足结合律：

③集合中存在左恒元，用它左乘集合中的任意元素，保持该元素不变：

④任意元素的左逆元存在于集合中，满足：

即每个元素都存在一个与它运算后等于左恒元的元素

首先我们定义魔方群中的“乘法”法则，规定魔方的转动合成运算是从左向右的，即
M1M2表示先转动M1再转动M2，比如RU表示先转右面，再转上面。用c表示魔方状态，即各块和小面的方位，用M(c)表示魔方在状态c下经M转动后所生成的新状态。

设G是魔方所有转动生成的集合，那么它能够满足：

1.封闭性：G中任意元素都可以表示成一系列转动的合成，则G中任意两个元素的合成同样是一系列转动的合成。

2.结合律：用c表示任意魔方状态，则

3.存在左恒元：魔方不进行转动，或是由转动组合而成原状态时，为单位转动，所以存在左恒元。

4.存在左逆元：若一转动表示为Image，

,, 则

故逆元存在。

即证明，由魔方所有转动生成的集合Image，以合成作为运算，构成一个群，称为魔方群。
我们这里建立的魔方群，表示的是魔方的转动的描述，那有没有办法描述出魔方的状态呢？
三阶魔方的状态，由以下四个条件共同决定：

  1. 角块的位置

  2. 角块的方向

  3. 棱块的位置

  4. 棱块的方向

在这四个条件中，1和3比较方便定义的。因为角块和棱块在旋转过程中只会一直呆在角块和棱块位置，所以我们可以用置换群来定义：
置换群是指n个客体排列次序的变换，n个客体的n!个置换的集合满足群的四个条件，构成群，称为n个客体置换群，记作Sn。
G是魔方群，SV是角块在G作用下的置换群，SE是棱块在G作用下的置换群。定义与g相对应的角块置换σ和棱块置换τ如下
这样，角块的位置可以用S8中的元素表示，棱块的位置可以用S12中的元素表示。
要表述角块和棱块的方向，我们还要约定一种指向特定面的字母表示法。用小写的u, d,     f, b, l, r表示各面；用两个方位字母确认棱块，排在首位的字母为指向的面，如db表示d（下）面b（后）方位的小面；用三个方位字母确认角块，如ufl表示u（上）面fl（前左）方位的小面。
从角块开始，在每个角块朝上/下的一面上标记一个数字：
在u面上的ufl小面上标记1
在u面上的urf小面上标记2
在u面上的ubr小面上标记3
在u面上的ulb小面上标记4
在d面上的dbl小面上标记5
在d面上的dlf小面上标记6
在d面上的dfr小面上标记7
在d面上的drb小面上标记8

在这一步被标记的小面称为标准面，用以决定角块的方向。下一步，在标有序号的这些小面上再标记0，然后顺时针旋转，在角块的另外两面上依次标记1和2。
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在以上标记下，就可以定义角块的方向了，用ν=(ν1,ν2,...,ν8)表示角块的方向，其中νi表示第i个角块标准面上的数字，也可以认为是顺时针旋转该角块，使其标记为0的面与标准面重合所需要的次数，ν满足
类似地，可以定义棱块的方向，在每个棱块朝上/下/前/后的一面上标记一个数字：
在u面上的ub小面上标记1
在u面上的ur小面上标记2
在u面上的uf小面上标记3
在u面上的ul小面上标记4
在b面上的bl小面上标记5
在b面上的br小面上标记6
在f面上的fr小面上标记7
在f面上的fl小面上标记8
在d面上的db小面上标记9
在d面上的dr小面上标记10
在d面上的df小面上标记11
在d面上的dl小面上标记12
在标记有序号的这些小面上再标记0，然后在棱块的另一面上标记1。
用ω=(ω1,ω2,...,ω12)表示边块的方向，其中ωj表示第j个边块标准面上的数字，ω满足
设ν(g)和ω(g)分别表示g作用后的角块方向和边块方向，举例而言，对于R即右面转动90度，左面的角块没有发生变化，因此ν1=0，ν4=0，ν5=0，ν6=0；右边的角块发生了变化，有ν2=1，ν3=2，ν7=2，ν8=1，于是ν(R)=(0,1,2,0,0,0,2,1)，即表示出了角块的方向。
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经过上面的定义，任何魔方的状态就可以用这四个量来确定了。
  1. 角块的位置：σ ∈ S8
  2. 角块的方向：ν=(ν1,ν2,...,ν8)
  3. 棱块的位置：τ ∈ S12
  4. 棱块的方向：ω=(ω1,ω2,...,ω12)
    即魔方群
当然，表述魔方群的方法远远不止这一种，期待着大家用更多的方法更巧妙地将魔方纳入数学体系中~
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魔方机器人的复原
当我们已经了解了如何用群论表达魔方之后，我们再回来看看机器人——它是怎么复原魔方的？
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在前面列举的复原魔方方法，都是根据人的直观感觉来进行策略，而机器人策略则完全不符合人的直觉，对他们而言，步骤更少的方法才是最佳选择。
01 TM算法（Thislethwaite Method）
TM算法的策略是通过逐步降低魔方所处的群到更小的子群，使得魔方的状态数减小，直到最后的单位子群，就复原了魔方。所以利用TM算法复原魔方的每一步来看，魔方都是很乱的，但魔方的状态数是随着群的减小而在逐渐减小的。
TM算法对于公式的记忆和判断要求非常高，人手利用TM算法复原魔方是非常困难的，但计算机强大的运算能力使TM算法成为可能，对于计算机而言它也是步骤更少的优选。

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TM算法降解子群的四个步骤

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TM算法每个步骤的魔方状态

02 Kociemba算法（二阶段算法）
这是当前最主流的计算机解魔方算法，该算法平均可以在几毫秒的时间内得到一个不超过20步的解法。
该方法将魔方的复原过程分成了两个阶段，第一个阶段是将乱序魔方转动成一个子群内的状态，这个子群表示为G1=<U,D,R2,L2,F2,B2>；第二阶段则是复原这个子群G1中的魔方。算法将会搜索这两个阶段分别需要的步数和总步数，并输出最短总步数的解进行复原。

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Kociemba算法解上述魔方的过程

计算机的解魔方方法，大大降低了还原的步骤。
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计算机解魔方时间对比

半个世纪过去，魔方已从Rubik手中的教具，变成了世界各地孩子、长不大的孩子、计算机幼体的探索和快乐。
如果你还未学会复原，何不尝试着趁现在重拾童心呢？

如果你已经是高手了，何不尝试着提升一下sub呢？

参考资料

[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/348865035

[2] https://www.worldcubeassociation.org/

[3] https://zhuanlan.zhihu.com/p/35339755

[4] https://www.jaapsch.net/puzzles/

[5] https://zhuanlan.zhihu.com/p/138559685

[6] http://www.rubik.com.cn/notation.htm

[7]梁小龙.解魔方算法的研究和系统实现[D].东北大学,2013.

[8]李文超.面向多阶魔方的智能还原机器人算法设计与实验研究[D].燕山大学,2023.

[9]向腊.魔方机器人控制系统的设计与实现[D].湖南大学,2016.

[10]喻腾飞.魔方群的研究[D].中国科学技术大学,2014.

[11]朱磊.群论在魔方中的应用[D].苏州大学,2008.

[12]谭水生.解三阶魔方智能机器人系统的设计与研究[D].五邑大学,2020.

[13]https://people.math.harvard.edu/~jjchen/docs/Group%20Theory%20and%20the%20Rubik%27s%20Cube.pdf

本文经授权转载自微信公众号“中科院物理所”。

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