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返朴

对话安德鲁·怀尔斯：寻找问题是数学家最关键的能力

返安德鲁·怀尔斯约 18 分钟
编者按

2024年7月14日，2024国际基础科学大会（ICBS）在清华大学拉开帷幕，英国数学家安德鲁·约翰·怀尔斯（Andrew John Wiles）在此次大会上获颁“基础科学终身成就奖”。他曾证明半稳定椭圆曲线的模性定理，从而完成了费马大定理的最终证明，深刻改变了现代数论的面貌。

怀尔斯的研究之路颇富戏剧色彩。1963年，10岁的怀尔斯在图书馆偶然翻到费马大定理，该定理断言当n>2时，方程xn+ yn = zn没有正整数解。他被这个问题迷住了，“从那个时刻起，我知道我永远不会放弃它，我必须解决它。” 
1986年，命运的齿轮开始转动。肯·里贝特基于让-皮埃尔·塞尔和格哈德·弗雷的工作，明确只需证明半稳定椭圆曲线满足谷山-志村-韦伊猜想，就能自动证明费马大定理。“那是1986年夏末的一个傍晚，我在一个朋友家喝着冰茶。闲聊间朋友随口提起：‘对了，你听说肯·里贝特证明了ε猜想吗？’我心念电闪。那一刻，我知道自己的人生轨迹为之改变。”
怀尔斯放弃了其他所有研究，他独自一人默默钻研这个问题，长达7年之久。“刚开始我还是向同事提了我在做的事情，但他们知道后一见面就不断询问进展情况，使我感到很大的压力和干扰。所以我觉得还是不讲出来更好一些。”
1993年6月23日，怀尔斯在剑桥大学牛顿研究所演讲，公布他的成果。费马大定理的证明写到最后一笔，“我想我就在这里结束。”会场爆发出经久不息的如雷掌声。
媒体报道铺天盖地，聚光灯一夜之间对准了怀尔斯。《人物》杂志将他与戴安娜王妃一起列为“年度最具魅力的25人”，一家服饰公司甚至邀请他为新推出的男装代言。
然而没过多久，审稿人那里传来了坏消息——论文第3章存在缺陷。起初，怀尔斯以为这又是一个容易修复的小问题，但研究逐渐深入，他意识到这个裂痕足以导致整个体系崩塌。“很长一段时间里，我都以为解决办法近在眼前，但随着时间推移，问题似乎变得越来越棘手。”几个月过去，证明失败的流言逐渐滋长，学界开始向怀尔斯施压，要求他公开证明细节。
一年时间毫无进展，1994年9月19日早上，怀尔斯接近崩溃边缘，他准备承认失败，但还是决定做最后一搏——“突然间，完全出乎我的意料，我获得了不可思议的启示。它美得难以言表，简洁而优雅……我不明白自己怎么会错过它，难以置信地盯着它看了20分钟。白天我在系里走来走去，不时回到桌旁看看它是否还在那里。我激动得无法自持。”
1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，在书页空白处写道：“我确信我发现一种美妙的证法，可惜这里的空白处太小写不下。”三百多年后的1995年5月，怀尔斯和合作者理查德·泰勒的两篇论文在《数学年刊》上发表，篇幅长达130页。
多年沉寂之后，荣誉纷至沓来。虽然年龄超过了40岁而无缘菲尔兹奖，作为替代，怀尔斯在1998年获得了国际数学联盟的特别荣誉，一个史无前例的银质奖章。挪威科学与文学院在2016年阿贝尔奖颁奖词中写道：“他通过半稳定椭圆曲线具有模性质的猜想，令人惊叹地证明了费马大定理，从而在数论领域开创了一个新时代。”
在ICBS2024会议期间，中国科学院院士田野、清华大学教授朱艺航对怀尔斯进行了访谈，其中既有对早年研究历程的驻足回望，亦有对晚辈学子的殷殷期许。谈话平实质朴，可以窥见怀尔斯温文尔雅、静水流深的风范。访谈由ICBS独家授权《返朴》进行翻译和整理（访谈视频见文稿开头，配有英文字幕）。
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访谈现场，从左到右：怀尔斯、田野、朱艺航 | 视频、图片由丘成桐数学科学中心独家授权
受访者 | 安德鲁·怀尔斯
采访者 | 田野、朱艺航
翻译整理 | 《返朴》
怀尔斯专访（英文）
田野：怀尔斯教授您好，祝贺您获得2024国际基础科学大会基础科学终身成就奖。我们非常高兴和荣幸能邀请您来到北京，您之前到访过中国吗？

怀尔斯：我之前来过一次，到北京和香港。

田野：目前为止，这趟旅程感觉如何？
怀尔斯：非常好。我们受到了热情款待，也非常喜欢这里的环境，各方面都很好。
田野：和之前相比，此次来中国感受有何不同？
怀尔斯：上次来中国是很久以前了，记忆有些模糊。但这次在中国，我感到被一种宁静与平和包围。看到中国变得如此强大且充满活力，令人振奋。
朱艺航：这是国际基础科学大会成功举办的第二届。大会每年举办一次，旨在汇集数学、理论物理、理论计算机和信息科学领域的顶尖学者，共同探讨他们的前沿工作。这么多顶尖学者齐聚一堂，令人印象深刻。您如何看待举办国际基础科学大会的积极意义？
怀尔斯：我认为这是一个很好的契机，能够将五湖四海、各领域的优秀学者汇聚一堂。数学乃至整个科学正是因此而蓬勃发展的：通过与不同国家的数学家们交流切磋，我们得以分享各自独到的见解。有人擅长攻克某一方面难题，有人则擅长别的方面，而当这些智慧火花碰撞时，往往能催生出新的问题解决之道。
一半的研究时间在摸索方向
田野：您曾获得诸多荣誉，特别是因对谷山-志村-韦伊猜想（Taniyama–Shimura–Weil conjecture）的奠基性证明，这一证明使得费马大定理得以解决，并对数论领域产生了深远的变革性影响。众所周知您攻克了费马大定理，但相比之下，鲜少有人了解谷山-志村-韦伊猜想。您能否向非专业人士解释一下这个猜想，以及您的贡献？
怀尔斯：这并不容易，不过我试着阐述一下。首先，费马大定理是一个关于方程求解的难题，就是那个著名的方程xn + yn = zn。然而除了这个方程，还有许多其他我们想要求解的方程。或许另一个很多人想要解决，并且极具挑战性的方程就是椭圆曲线问题。它涉及的是形如y2=x3+3，或y2=x3+17，亦或y2=x3+3x+5这样的方程，这些都是椭圆曲线。目前我们还不知道如何求解这些方程，但我们有求解它们的大致思路。我说的“求解”是指在有理数域上，也就是分数范围内求解，我们已经有了求解的思路，希望有朝一日能够以数学的方式证明它。而谷山-志村-韦伊猜想正是我们迈向这一目标的第一步，它指出存在一种非常特殊的函数——椭圆曲线的L函数来求解这个方程。但在猜想被证实之前，我们并不了解这个L函数，而现在我们对其有了更加深入的理解。
朱艺航：1996年，BBC播出了一部关于您证明费马大定理的纪录片。我在读高中时观看了这部纪录片，当时我怀抱学习数学的志向，受到了深深的鼓舞和启迪。那部影片我反复观看至少十遍有余，激励我踏上追求数学之路。今天能面对面与您交谈，我感到无比荣幸。能否谈谈您证明费马大定理的传奇经历，对年轻一代的学子们产生了怎样的影响？
怀尔斯：我想你刚才已经给出了答案（笑）。很多人跟我说过类似的话，甚至连行外人也被这个故事吸引，因为从某种程度上说，每个数学问题都是一个故事，对于非数学背景的人来说，以故事的形式讲出来会更容易理解，也更能感受到数学的激动人心。否则，他们可能会觉得这只是课堂上一道枯燥的难题，还不如出去踢足球。但一旦被故事吸引，他们就会明白为何这些问题如此扣人心弦，明白为何有人愿意倾注数年光阴孜孜以求。因此我认为那档节目做得非常出色，成功激发了普通人的兴趣。节目制作人虽然不是数学家，但他被这个故事深深吸引，并努力将这份激情传递给观众。
朱艺航：在纪录片中，您提到解决费马大定理是您从10岁起就怀揣的梦想。后来真正开始学术生涯时，椭圆曲线成为了您的研究领域。当时是什么原因促使您选择研究椭圆曲线？
怀尔斯：我想主要是因为我当时的导师约翰·科茨（John Coates）教授。他想要研究椭圆曲线，就建议我们一起研究一个被称为贝赫和斯维纳通-戴尔（BSD）猜想的问题，它试图告诉你如何求解这些方程。通过使用我前面提到的椭圆曲线的L函数，我们在这方面取得了一些令人兴奋的进展。我们找到了一种证明解不存在的方法，但是真正的难点是在方程有解的时候找到这些解。
田野：BSD猜想是数论领域待解决的最深刻的猜想之一。您能否描述一下当年在剑桥大学研究这个猜想时的情况？
怀尔斯：在那个时候，并没有一系列实例证实这个猜想。你可以验证这个猜想，或至少以近似的方式，对一条曲线单独进行验证。但当时没有任何一个一般的结论，也没有人知道该如何着手解决这个问题。然而有一类曲线，对于它们，谷山-志村-韦伊猜想已被志村五郎（Goro Shimura）证明。那是一组特殊的、被称作具有复乘法的椭圆曲线，例如y2=x3+5和y2=x3+71。我之前提到的那些曲线同样具有复乘法的特性，我们找到了研究这类曲线的方法，证明了可以计算出某个数，如果那个数不为零，那么方程的解就很少，并且可以找到所有的解。那个数实际上是L函数的一个特殊值，有一个公式可以把它算出来，从而进行检验。如果这个值不为零，就可以找到解；如果它为零，那么你就遇到了另一个问题：我们猜想有无穷多个解，但无法证明，也不知如何找到这些解。
朱艺航：好的，让我们回到谷山-志村-韦伊猜想。当您在20世纪80年代决定着手解决这个猜想时，其他数学家是否普遍认为这个猜想难以企及？您是如何洞察到谷山-志村-韦伊猜想能够被解决呢？
怀尔斯：我认为大家的共识可能是这个猜想难以攻克，否则应该就会有更多人致力于此。我当时也没把握将其解决，只是发现它和费马大定理有联系，因此一发不可收拾。成年后我就没有再深入思考费马大定理，因为已经有太多人在这个问题上浪费了太多时间。而且职业数学家也认为研究它不是明智之举，他们会劝你不要涉足它。然而1985年以后，人们意识到这当中可能存在某些联系。1985年格哈德·弗雷（Gerhard Frey）提出了一种设想：如果谷山-志村-韦伊猜想是对的，那么就可以证明费马大定理。他的想法不那么确切，但在塞尔（Jean-Pierre Serre）的工作和里贝特（Ken Ribet）的定理之后，我们发现确实如此：如果能解决谷山-志村-韦伊猜想，那么就能证明费马大定理。当我得知这一联系被确认后，便立刻投身研究和思考这个问题。至于能否将其解决，我当时并没有想那么多，只是沉浸于思考之中。
朱艺航：所以当您开始思考这个问题时，甚至也没什么头绪。
怀尔斯：没有。
朱艺航：事后来看，这确实是一项旷日持久的研究。
怀尔斯：是的，我一开始就意识到了这一点。
朱艺航：纵观整个研究过程，您是如何迈出万里长征第一步的呢？
怀尔斯：我想是巴里·马祖尔（Barry Mazur）的一篇论文启发了我，我首先试着去理解，如果椭圆曲线性质特殊，即存在一个有理点或阶数较小的有理子群，那么可能会发生什么。比如说，如果它有一个五阶的有理点，或者一个五阶的有理子群，那么在这些情况下，巴里·马祖尔已经对所谓的赫克环（Hecke Ring）有了很深刻的理解。我试图探究能否从中推断出关于椭圆曲线的任何信息。我花了很长时间思考这个问题，这是一种很特别的情况，面对这样一个长期的研究问题，不知道从何下手，也不知如何尝试。虽然整个过程耗时8年，但有一半的时间只是在摸索正确方向。有时可能花费一两年的时间但一无所获，因为尝试的方向是错误的。你必须排除那些希望渺茫的方向，找到似乎有联系的东西。也许每过两年（就会灵光一现），就像我在开始研究一两年后，就想到是否可以尝试使用伽罗瓦表示（Galois representations）。又过了两年，我意识到我需要研究所有不同的伽罗瓦表示是如何关联在一起的。因此在早期阶段我感觉自己进展缓慢，但在接近尾声时，却能迅速取得很多重要成果。
朱艺航：所以，研究伽罗瓦表示形变理论（deformation theory）的想法在一开始时并不明确是吗？
怀尔斯：是的。事实上，我当时并没有意识到自己在做形变研究。我那时对形变理论并不了解，对手头研究的东西后知后觉。但这没有关系，我其实是把（形变理论的）一部分重构了。是巴里·马祖尔后来意识到伽罗瓦表示有很好的形变理论，这很有趣，值得深入研究。
关键在于切实可证
田野：谷山-志村-韦伊猜想是朗兰兹纲领（Langlands program）的一部分，后者旨在统一数学的各个领域。在您看来，目前在朗兰兹纲领中有没有兼具挑战性和可行性的目标呢？类似于当年的谷山-志村-韦伊猜想。
怀尔斯：我确实有一些发现和想法。多年来我一直在深入思考朗兰兹纲领，并计划在后续报告（参见文末英文视频：怀尔斯在2024国际基础科学大会上的报告）中阐述我认为的数论方法可能是什么。简单来说，我认为对于数论学家而言，朗兰兹纲领的核心在于理解非阿贝尔扩张（nonabelian extensions）。阿贝尔扩张已经由类域论（class field theory）理解了，然而当提及朗兰兹纲领时，人们往往会忽视类域论，或将其视为很久以前的东西。但我认为，（类域论的）方法论其实对探讨非阿贝尔表示非常有用。我认为这两者异曲同工，我的报告将尝试阐述应该如何着手解决这一问题。
朱艺航：下一个问题可能也与您的报告有关，我看到您近前作过一个报告，题目是《一条通往模性的新路径》。这是您目前的研究项目吗？能多谈谈它吗？
怀尔斯：是的，我会在后续报告中探讨这个问题。我一直试图理解如何证明椭圆曲线是具有模性的。特别是，我试图避免使用原始证明中针对p=3所采用的的特殊技巧，而是从更一般性的角度出发论证。我认为这些论证与类域论更为接近。有一个问题是，类域论经过多年发展，其证明也在不断变化，因此没有人能确切知道其中到底是什么真正在发挥作用，这可能会让人感到困惑。我的意思是，在局部层面上它们并不困难，但要试图理解为何采取这样的方法，就不那么直观。我认为就像数论中的许多问题——至少对于数论中许多杰出成果来说，我们使用的技巧是，首先做某种显式的构造，然后使用分析的手段来证明（这种构造）给出了所有的对象。我花了几年时间，先是与马祖尔合作，然后独自研究岩泽猜想（Iwasawa conjecture），过程中使用的技巧确实就像我刚才提到的那样。从某种意义上讲，模性的证明，即费马大定理的证明工作原本也应该遵循这种模式。我们提出一个显式的构造，从模形式得到伽罗瓦表示，并且要确保这样就得到了所有的（伽罗瓦表示），这应该使用分析的方法来证明。我想今天人们也许终于能做到这一点了，但在当年分析证明还遥不可及，难以行通。幸运的是代数方法提供了另一条路径。我非常幸运，虽然那时我执着于分析的方法，但后来转而意识到一个非常巧妙的代数方法。但就数论而言，我认为分析通常是解决问题的关键。当我提到分析时，通常指的是使用L函数，L函数的特殊值通过类数公式，或与之相似的方法。
朱艺航：您是指使用分析的方法确保得到了所有的对象吗？您是在进行某种形式的计数吗？
怀尔斯：确实是计数，你需要先进行构造，然后确认算无遗策。你可以通过L函数以某种方式给计数一个界。
朱艺航：实际上，这也让我想起了您之前提到的：历史上类域论的研究采用了多种不同方法。人们首先发展出了整体类域论，而分析无疑在证明中起到了重要作用。后来人们又提出了局部类域论的纯局部证明方法，并随后利用代数方法得到了整体类域论。对于朗兰兹对应来说，我认为目前的情况是对于一般线性群的局部朗兰兹猜想，我们仅通过整体方法得到了证明。我们今天可能更接近得到一个纯粹的局部证明，但尚未成功。对此您有何见解？
怀尔斯：我并没有特别的见解。但我认为在探讨类域论时，回溯那些采用分析法的经典路径，或许能为我们带来新的启示。脱离分析而完成朗兰兹纲领是不可思议的。问题在于，很多看似极具潜力的分析性证明思路，实际上都深陷于难以逾越的解析困境之中，我推测朗兰兹本人也遇到了这些困难。因此，真正的挑战在于如何能够发掘切实可证的分析性命题。
朱艺航：您的思想体系是否也与朗兰兹的“超越内窥”（beyond endoscopy）思想有所关联？
怀尔斯：这正是我想要表达的。我认为朗兰兹的理念对解析数论提出了过高的要求，解析数论学家对此难以提供实质性的帮助。因此我希望我努力的方向是，在解析层面，我所运用的L函数已经足够满足需求，这并非难事。
和学生一起发掘问题
田野：怀尔斯教授，您在职业生涯中曾致力于很多极具挑战性和开创性的研究，您总是能敏锐找到令人兴奋且深刻的方向，令我们所有人印象深刻。这方面有什么建议可以给年轻学子？
怀尔斯：我认为在你还缺乏经验的时候，最好不要贸然从这些难题起手。因为如果在头一个问题上蹉跎太久，就很可能因此心生退意。所以你可以先尝试解决那些能在一两年内攻克的问题，循序渐进。当你已经培养出一些敏锐的直觉，也学会了如何在难题中坚持探索，那时便可以勇敢地迎接那些更耗时、更艰巨的难题。
就我而言——或许许多人也是这样，我们都是在融入学术界的过程中逐渐学会如何解决问题，从导师的谆谆教诲中汲取养分，在同侪的交流碰撞中不断成长。因此鲜少有人能初出茅庐便独自攻坚克难，极少数天赋异禀的人或许能做到，我并非其中之一，而我是幸运的，因为有良师益友相伴。
朱艺航：如今在我们这个领域里，即便是为期一两年的短期研究，最终论文呈现的篇幅也非常长，动辄一二百页。同时论文的审稿周期也水涨船高。我认为这在某种程度上为年轻学者带来一些挑战，尤其是那些稳定工作还没有着落的学者。您对这一现状有何看法？
怀尔斯：很遗憾，情况确实如此，审稿周期正变得越来越长。我不知道背后的原因是什么，或许是因为我们未能发现某些高效的方法或途径，我不知道。但这是一个有趣的问题。
朱艺航：您曾在多所学校任教，足迹遍及哈佛大学、普林斯顿高等研究院、牛津大学等知名学府。您指导博士生有没有什么独特方法？在这些不同的学术殿堂里，您的指导方式是否有所差异？
怀尔斯：在与学生相处时，我倾向于和他们一同寻找可以作为他们博士论文题目的数学问题。我不会单方面指定某个学生去解决某个问题，因为每个学生的天赋和旨趣各不相同。最理想的情况是，我们共同找到的问题既吸引学生兴趣，又能充分发挥他们研究能力。
就我而言，最顺利的一个例子或许是我的学生曼久尔·巴尔加瓦（Manjul Bhargava），他在跟随我学习之前，就已经掌握了出色的组合数学和离散数学技巧。当时，我手头正好有个问题，希望有人能够解决。我仅仅是和他顺口提及，没想到他竟能取得不可思议的成果。这个问题我自己肯定无法解决，也不知道该如何下手。这就是最顺利的一种情况。然而有时候，一开始尝试问题就举步维艰，这时我就会意识到，或许是这个问题太难了，又或者它并不适合这个学生。因此，我希望能与学生一起，共同探索出最适合他们的问题。
你说得对，从某种意义上说，寻找值得深入研究的好问题，是数学家最为关键的能力之一，这也是研究生阶段需要着重培养的技能。哪些问题值得投入精力，并不显而易见，即便对我来说也是如此。我也无法预知每个问题的潜力和价值，但有时候我能从自己的研究中预见到某个问题的重要性，并且它尚未被深入探索，这时我就会将它交给学生去研究，效果往往非常好。然而更多时候我们并没有这样的现成的问题，而是需要不断地去寻找，去发现。
你问题的第二个部分是关于牛津大学、普林斯顿高等研究院和哈佛大学。这些学府都非常国际化，哈佛的学生可能之前毕业于普林斯顿、牛津，普林斯顿的学生也可能来自哈佛，学子们从世界各地汇聚而来，从某种程度上说，他们是相同的一群人，但在踏入这些学府后，所融入的学术社群却可能呈现出不同的风貌。有些学术群体在研究领域上颇为统一，更具协作性，比如在哈佛大学，常常许多学生师从同一个领域的少数几个知名教授，他们彼此间经常沟通交流，互相学习，一起举办研讨会等等。
而在某些地方，你可能会发现导师们的研究兴趣大相径庭，学生们的兴趣也各不相同。他们更倾向独立探索研究，这样的环境自然也有其独特的挑战。但无论如何，学生们来自五湖四海，最终也将走向世界各地。这种流动是非常国际化的。
朱艺航：当我在哈佛大学读研究生时，我深刻感受到那里的竞争氛围非常激烈。仿佛每位研究生都有强烈的愿望，想要证明自己比别人更优秀，比别人更聪明。然而当我到哥伦比亚大学做博士后时，我发现那里的研究生群体氛围截然不同。他们之间的合作更为紧密，彼此间更加友好互助。所以，您认为哪种研究环境更适合刚刚踏上职业数学家道路的年轻人？
怀尔斯：如果你争强好胜，那么一个竞争激烈的环境会更适合你，但如果你不属于这类人，那么或许避开这样的环境会更好。我不知道你在哈佛大学学习时感受到的氛围在五年后是否依旧。在我看来，有些大学的本科阶段竞争非常激烈，有些则截然相反。这部分取决于学校的招生策略，有些大学会通过数学竞赛大量选拔学生，有些大学则选拔方式完全不同，招收的学生可能完全没有竞赛背景。我认为重要的是，选择一个既让你喜欢又适合你的环境。有些数学家偏爱独自工作，长时间沉浸于独自思考；有些则偏爱充满热烈讨论与竞争气氛的环境。
田野：能否推荐一些出色的文章或书籍，值得每个数学家或普通大众阅读？
怀尔斯：G.H.哈代的《一个数学家的辩白》（A Mathematician’s Apology）简短易懂，是我非常喜欢的一本书。尽管这本书如今已显陈旧，其中一些观点也不再适用，比如作者曾断言数论毫无实用价值。但我认为他成功以非数学家也能理解的方式展现了数学的魅力，这是一本非常简短易懂的册子。
对于数学家而言，塞尔的《数论教程》（A Course in Arithmetic）是一本出色的短篇佳作。它蕴含了丰富的思想，而且表述优美。
编辑提示：2025国际基础科学大会（ICBS 2025）将于2025年7月13日至25日在北京举行，登录大会官网 www.icbs.cn注册参会。

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