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量子蒙卡新算法，让纠缠熵不再难缠

返王哲、严正约 12 分钟
作者按

尽管现有的量子蒙卡算法可实现大尺寸量子多体系统中纠缠熵的精确计算，但其高昂的计算代价和较高的技术壁垒严重限制了大规模纠缠熵数据的提取，从而也限制了我们对凝聚态系统与量子纠缠深刻关系的进一步理解。为此，我们提出了一种基于量子蒙特卡罗模拟的创新性解决方案——双组份重赋权退火算法（bipartite reweight-annealing algorithm）。该算法实现了量子多体系统纠缠熵及其导数的高效扫描，通过此算法，我们成功揭示这些量在临界点附近和不同相中的普适行为。除此之外，该方法具有一定的普适性：它不仅可以拓展到费米子系统，也可以用来计算纠缠负值度(negativity)，同时还可以作为非对角测量的一般性解决办法。

撰文 | 王哲、严正（西湖大学物理系）
量子纠缠自量子力学诞生之初，其“诡异”特性一直是科学界争议与探讨的焦点。早期研究主要关注其理论本质及对量子力学基础的挑战，近三十年来，随着量子信息科学的突破性进展，量子纠缠已发展成为跨学科研究的核心枢纽。
在基础科学层面，纠缠理论已深度融入原子物理、量子光学、高能物理乃至宇宙学研究。在交叉应用领域，其与凝聚态物理、统计力学及量子场论的深度融合，催生了多体量子系统研究的新范式。特别是，纠缠理论对凝聚态物理产生了革命性影响。当前，在量子信息科学与传统物质科学的交叉前沿，通过纠缠视角揭示量子多体系统的演化规律与临界行为，已成为理论物理最具活力的研究方向之一。量子多体纠缠的相关标度理论已成为研究量子物质态的基本组织原理，其标度行为深刻揭示了量子多体态的内在结构，并用于区分不同量子相及其相变。但是，目前对于二维及高维强关联多体系统而言，现有纠缠熵计算方法面临计算成本高昂、技术复杂度高等挑战。这使得研究者无法像在一维系统那样，通过扫描纠缠熵来完整刻画量子物相及相图并精确表征临界现象，制约了基于纠缠熵对于凝聚态系统的全面分析。
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图1 两种不同时空流形中配分函数的几何表示: image.png（其中 H 为系统的哈密顿量）。在图(a)中，两个副本（replica）的纠缠区域 A沿虚时间方向粘合，而环境区域 B 彼此独立且具有虚时间方向的循环周期条件。当粘合区域为零时，体系将退化为图(b)所示的  形式。(c)重赋权过程：黑色曲线表示采样分布（重赋权前），蓝色曲线表示重赋权后的目标分布。若两分布足够接近（即重要性采样条件近似成立），则此重赋权方法具有合理性。
受限于现代计算机的内存容量，严格对角化或者密度矩阵重整化群一类的方法在二维强关联系统所能计算的系统尺寸相对较小，或者局限于一些维系统。在二维及高维系统，现有的纠缠熵算法主要是借助于量子蒙特卡洛模拟来实现的。让我们首先对现有的纠缠熵蒙特卡洛方法进行一个总结。冯诺依曼熵的计算往往需要得到具体的波函数，这对于蒙卡计算非常具有挑战性。在这里，我们主要介绍冯诺依曼熵的单参数推广——n阶Rényi纠缠熵。从蒙卡的角度来讲（简单起见，我们令n=2），我们可以将配分函数image.png和 表示为在不同时空流形下的路径积分形式，如图1所示。人们最初的想法是，通过模拟概率分布，直接模拟这两个配分的比值[1,2]。但由于多体纠缠熵满足可加性（面积率），image.png会随着系统尺寸的增加指数衰减，所以通过这种办法只对小系统奏效，无法通过蒙卡模拟精确计算大尺寸的纠缠熵。
为克服这一困难，文献[1, 3]提出了纠缠区域增量法，其核心思想是将自旋逐渐放入纠缠区域，并将所有中间过程的比率连乘，最终得到目标比值。将一个极小的值分解为多个较大值的乘积，通过计算每个中间比率，可高精度提取纠缠熵。但该算法的缺点是：格点数必须为整数，导致中间过程只能拆分为有限步骤，且部分中间比率仍可能趋近于零；计算过程中副本流形（replica manifold）会因中间步骤而改变，这增加了量子蒙特卡洛模拟的技术难度。为解这一问题，研究者引入了一种虚过程（能够连接image.png和 Z2 的特殊函数构造），使得中间的增量连续化，即，可以根据计算需求，进行中间过程的任意分割[4, 5]。该方法的优势是：能够模拟到前所未有的系统尺寸和精度。不足之处是：需引入额外的细致平衡条件，显著增加了算法实现的复杂度；由于虚拟中间过程的非物理特性，这些中间结果无法有效利用，导致大量的计算资源浪费。
我们最近提出了一种双组份重赋权退火[6,7]量子蒙特卡洛新算法[8]。与传统算法直接计算两种不同时空流形配分函数之比（比如image.png/Z2）不同，该算法通过计算相同时空流形下的配分函数在不同参数时的比值（比如image.png和），然后在某个可以简单求解的参数点将两种配分函数之比连接起来（比如image.png在的值已知），从而将整个参数路径下两种配分函数的比值一次性求解。这种方式的主要优势可概括为以下两点：一是单次模拟即可获得纠缠熵随参数的连续变化曲线，大大降低了计算成本；二是算法实现简化，无需复杂流形切换，模拟各自流形即可，代码易扩展至各类多体模型，例如费米子模型等[9]。此外，我们想强调的是，这种双组份重赋权退火的思想是具有普适性的。除了本文所着重强调的纠缠熵外，它也可以用来计算Rényi负值度(negativity)[10]。更一般的是，它可以实现非对角算符的通用测量[11]：而现在可以应用双组份重赋权退火量子蒙特卡洛算法来计算。
此外，我们还提出了一种无需依赖密集纠缠熵数据、避免数值微分的方法来计算纠缠熵的导数。该公式仅需计算不同时空流形下的能量差值即可直接获得纠缠熵导数结果。这使得我们首次计算了二维强关联自旋系统中纠缠熵导数。
下面我们来着重聊一下怎样通过双组份重赋权退火来高效计算多体纠缠熵[8]。
如上所述，计算纠缠熵实质上就是计算两个配分函数image.png和 之比。原则上我们可以通过重赋权重的方式给出任意两个参数所对应的配分函数之比：image.png，。这里重赋权的意思是，在参数处进行蒙卡抽样得到对应的位形权重，与此同时可以在相同的位形下计算出此时参数若为的位形权重，最后通过蒙卡平均得到两个参数下的配分之比。简单来说，就是用一个分布去估算另外一个分布，但是在蒙卡模拟中，要想能计算得准确，需要使得两个分布都要保持重要性抽样，如图1(c)所示。用参数的语言来说就是和必须相差很小。为了做到这一点，我们引入了连续增量的技巧：image.png ，，， 是两者之间的一个数，这是重赋权退火中“退火”的由来。这样一来，我们就可以通过蒙卡模拟来计算任意的 image.png 。
假设我们通过以上方法已经成功计算得到了，但似乎仍然不能得到想要image.png 。大家再来看，如果我们知道了image.png的值，是不是这个问题就得以解决。那问题又来了，我们怎么确定image.png的值？比如环境和纠缠区域无耦合，纠缠为零，那么就能得到 image.png=1（这种情况可以是直积态，也可以是将环境与纠缠区域之间的相互作用调为零）。在论文中我们还给出了另外一种方法：从精确对角化可解的尺寸开始，通过迭代退火系统的尺寸（将若干个小系统之间的耦合强度从0退火增大到目标值，从而得到大尺寸系统），最终得到大尺寸纠缠熵的值[8]。
总结来看：两个配分函数单独计算；中间的路径是沿着实际参数路线，所得到的纠缠熵值都是物理的。到现在为止，大家可能已经能感受到该算法的优势：单次模拟即可获得纠缠熵随参数的连续变化曲线，大大降低了计算成本；算法实现简化，无需复杂流形切换，代码易扩展至各类多体模型。
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图2 自旋-1/2 二聚化海森堡模型的二阶 Rényi 纠缠熵  作为耦合  的函数，通过重赋权方法（Re）和积分方法（Int）在无角或有角纠缠区域中进行计算。两种方法的结果在误差范围内是一致的。
如果你觉得以上计算仍然复杂，计算量仍然大，但又想通过纠缠熵来做点事情的话，可以考虑纠缠熵的导数。可能你此时立马就又有疑问啦：数值方法一般都是通过数值微分来计算相应物理量的导数，往往需要稠密并且更加精确的原函数数据，那岂不是计算代价爆棚？但事实也并非如此，例如，比热和磁化率并不用通过对能量或磁化的数值微分而得到，其有自己独立计算公式。在我们的工作[8]中，我们推导了纠缠熵导数的计算公式，并通过数值的结果证明了它的正确性。公式如下（具体的推导过程见[8]）：
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为了清晰起见，我们拿一个具体的模型来翻译一下这个公式。以自旋-1/2 二聚化海森堡模型为例：image.png(固定)。因为是参数的线性函数，（1）式可以很容易地写成：熵数据），可以根据计算需求进行任意参数点计算，大大降低了计算成本；计算属于对角测量，程序编写简单。
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图3 自旋-1/2 二聚化海森堡模型的二阶 Rényi 纠缠熵 在纠缠区域 A 无角 [(a1), (a2), (a3)和(a4)]或有角 [(b1), (b2), (b3)和(b4)] 时的计算结果。(a1)不同耦合 下  与纠缠边界周长的关系。我们发现在整个反铁磁相里拟合得到的Goldstone modes个数都符合共形场论预测。(b1)在量子临界点与纠缠边界周长的关系。拟合的结果也满足共形场论的预测值。[(a2)和(b2)]纠缠熵的凸凹性可以用来识别临界点。[(a3)和(b3)] 随着系统尺寸的增大，纠缠熵导数的峰值会处于临界点。[(a4)和(b4)] 纠缠熵面积前的因子，可以借助于公式来提取普适的关联长度指数。
介绍完算法后，我们再以自旋-1/2 二聚化海森堡模型（image.png，）为例来看一下该算法的具体表现。首先从共形场论出发，可以发现我们的结果是符合理论预测的。此外，我们通过纠缠熵与其导数全面表征了临界现象。在这之前，有关纠缠熵的工作主要是聚焦在系统的某个确定相或已知临界点上。而在我们的工作中，结合纠缠熵及其导数能完整地提取到系统的临界点及其临界指数。如图3(a2)和(b2)所示，纠缠熵在临界点处会有凸凹性的变化，这在其导数数据上体现得更加清晰，可以看到其导数在临界点处有个峰。通过外推峰的位置，我们可以确定系统的临界点。同时，我们提取了纠缠熵面积律前面的系数，如图3(a4)和(b4) 所示。结合纠缠熵标度公式的主项系数满足[12,13]，我们成功提取了普适的临界指数
总结来看，在量子蒙卡的框架下，我们创新性地引入了双组份重赋权退火方案。它应用灵活、便于推广，不仅可以计算玻色[8]和费米系统的纠缠熵文[9]，还可以用来计算Rényi负值度(negativity)[10]和魔法（magic）或不稳定性（non-stabilizerness）[14], 同时还可以作为非对角测量的一种普适测量方法[11]。对这些工作感兴趣的朋友们，可以阅读我们相关的文章。

参考文献

[1] Matthew B. Hastings, Iván González, Ann B. Kallin,and Roger G. Melko. Measuring renyi entanglement entropy in quantum monte carlo simulations. Phys. Rev. Lett., 104:157201, Apr 2010. 
[2]David J. Luitz, Xavier Plat, Nicolas Laflorencie, and Fabien Alet. Improving entanglement and thermodynamic rényi entropy measurements in quantum monte carlo. Phys. Rev. B, 90:125105, Sep 2014. 
[3] Stephan Humeniuk and Tommaso Roscilde. Quantum monte carlo calculation of entanglement rényi entropies for generic quantum systems. Phys. Rev. B, 86:235116, Dec 2012. 
[4] Jonathan D’Emidio. Entanglement entropy from nonequilibrium work. Phys. Rev. Lett., 124:110602,
Mar 2020.
[5] Vincenzo Alba. Out-of-equilibrium protocol for rényi entropies via the jarzynski equality. Physical Review E, 95 (6):062132, 2017
[6]Yi-Ming Ding, Jun-Song Sun, Nvsen Ma, Gaopei Pan, Chen Cheng, and Zheng Yan. Reweight-annealing
method for evaluating the partition function via quantum monte carlo calculations. Phys. Rev. B, 110:165152, Oct 2024.
[7]Zenan Dai and Xiao Yan Xu. Residual entropy from the temperature incremental monte carlo method. Phys. Rev. B, 111:L081108, Feb 2025.
[8] Z. Wang, Z. Wang, Y.-M. Ding, B.-B. Mao, and Z. Yan, Bipartite reweight-annealing algorithm to extract largescale data of entanglement entropy and its derivative in high precision, arXiv:2406.05324. Nat. Commun., in press
[9]W. Jiang, G. Pan, Z. Wang, B.-B. Mao, H. Shen, and Z. Yan, High-efficiency quantum monte carlo algorithm for extracting entanglement entropy in interacting fermion systems (2024), arXiv:2409.20009 
[10]Y.-M. Ding, Y. Tang, Z. Wang, Z. Wang, B.-B. Mao, and Z. Yan, Tracking the variation of entanglement
r´enyi negativity: an efficient quantum monte carlo method (2024), arXiv:2409.10273.
[11] Z. Wang, Z. Liu, Z. Wang, and Z. Yan, Addressing general measurements in quantum monte carlo (2024), arXiv:2412.01384.
[12]Max A Metlitski, Carlos A Fuertes, and Subir Sachdev. Entanglement entropy in the o(n) model. Physical Review B, 80(11):115122, 2009.
[13] Johannes Helmes and Stefan Wessel. Entanglemententropy scaling in the bilayer heisenberg spin system. Phys. Rev. B, 89:245120, Jun 2014. 
[14]Y.-M. Ding, Z. Wang, Z. Yan. Evaluating many-body stabilizer Rényi entropy by sampling reduced Pauli strings: singularities, volume law, and nonlocal magic. arxiv:2501.12146
注：本文封面图片来自版权图库，转载使用可能引发版权纠纷。
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