不可逆对称性：一经施行，无法撤销

二维Ising自旋系统（图像由AI绘制）

对称性长期以来一直是理论物理和数学中的基础概念。它简化了复杂的物理问题，减少了未知变量的数量。举例来说，如果你用笛卡尔坐标系的 x、y、z 来求解氢原子的薛定谔方程，过程将会异常复杂，简直如噩梦一般。但如果使用球坐标系，并利用原子的旋转对称性——即原子绕其任一轴旋转后外观保持不变——问题就会显著简化。对称性不仅帮助统一和组织自然界的基本作用力，还指导着新物理的探索。

对称变换指的是那些使系统在外观和行为上保持不变的变换。传统的对称变换都是可逆的。比如，将一个正方形旋转90°，这个变换可以通过再旋转−90°来撤销。这种直观认识被维格纳定理严格地形式化，该定理指出量子力学中的每一个对称变换都存在逆变换。描述传统对称变换所用的数学语言称为群论，这一基础概念塑造了现代物理超过一个世纪的发展（参见 Martin Rodriguez-Vega、Maia Vergniory 和 Greg Fiete 于2022年5月刊《Physics Today》第42页发表的文章）。

近年来，研究人员发现传统的对称性概念在量子场论和量子多体系统中显得过于有限。一类全新的对称性——不可逆对称性——已在多种物理系统中被确认，包括描述磁性的晶格模型和描述夸克强相互作用的量子场论。顾名思义，不可逆对称性是通过没有逆变换的变换实现的，也就是说，一经施行，无法撤销。

对称性能够不可逆的根本原因在于量子叠加态。在确定性的经典物理中，一只猫要么活着，要么死了；而在量子物理中，薛定谔的猫可以同时既活着又死着。描述薛定谔猫的波函数是两个单独波函数的叠加——一个对应活猫，一个对应死猫。叠加态为量子物理中的对称性提供了更多可能性：一个对称变换可以使单只猫的波函数变成两个波函数的叠加态。如果该变换被重复施加，结果将是越来越多猫的波函数叠加，且不存在逆变换能恢复到单一猫的状态。

尽管听起来颇悖常理，这些新型对称性带来了新的守恒定律，成为研究强耦合物理系统的新工具。它们也引导我们寻求全新的物理模型，并迫切需要建立描述量子物理中对称性的全新数学框架。

不可逆对称性早已存在于物理学家喜爱的铁磁模型——一维伊辛模型中。该一维模型由一圈排列的量子比特组成，如图所示：

伊辛模型（Ising model）由一维空间中的一列量子比特组成。每个量子比特可以处于自旋向上态、自旋向下态，或这两种状态的叠加态。该模型是探索普通可逆对称性与不可逆对称性差异的经典系统代表——其中，不可逆对称一旦施加，便无法复原。（插图由 Three Ring Studio 提供。）【注：插图来自原文】

每个量子比特可以是自旋向上态 、自旋向下态 ，或任意的上、下态的量子叠加态，例如

态  中，每个自旋都指向上，对应一个北极朝上的磁铁。类似地，态  对应一个南极朝上的磁铁。 另一方面，态

表示所有可能自旋排列的叠加态。由于该态没有偏好自旋向上或向下，因此磁化消失。 从  过渡到  描述了加热磁铁的过程：随着温度达到临界值，磁铁失去磁化。

玩具模型中磁体的对称性体现为何？由于磁体的南极与北极处于完全对等的地位，一种常见的对称变换可以将南极变为北极，反之亦然。具体表现为将所有自旋由向上翻转为向下，反之亦然：

这是一种可逆的对称变换——对其施加两次，系统将回到初始状态。去磁态

在该自旋翻转对称下保持不变，因为在此状态下不存在南极和北极的区分。

在临界温度处，系统会出现一种额外的对称性，其作用效果为

这种额外的对称变换对“向上”态和“向下”态具有相同的作用，具体示意见图：

不可逆对称性算符 D 对磁体的不同状态施加作用时，表现得完全一致。无论 D 作用于北极朝上的磁体（N），还是南极朝上的磁体（S），结果都是相同的：一个“去磁化”的输出态（图中以黑色表示）。当 D 再次作用时，磁体进入一个由最初两种状态叠加而成的量子叠加态。（插图由 Three Ring Studio 提供。）【注：插图来自原文】

值得注意的是，变换前的态是“向上”还是“向下”，在变换后已无法区分。进一步地，若再次施加该变换，则会得到“向上”与“向下”两种态的叠加态：

由于该对称变换不可逆转，因此称其为不可逆对称性。

我们现在更仔细地考察伊辛模型中的不可逆对称性。该模型包含个量子比特，标记为，它们排列在一个一维闭合的周期环上。（该模型在二维中也有对应的版本。）
在每个量子比特上，可以作用一个量子算符，用以测量自旋：

另外，还可以作用另一种量子算符，用以翻转自旋，有

如果我们用两个列向量表示量子比特的自旋向上和自旋向下态，

和

那么相应的算符就是泡利矩阵

和

当有多个量子比特时，可以类似地定义作用于第  个量子比特的算符和，它们分别对应测量或翻转第  个量子比特的自旋态，而对其它量子比特保持不变。

在量子力学中，系统的时间演化由一个称为哈密顿量的算符控制，它出现在薛定谔方程中。
在临界温度下，伊辛模型的哈密顿量形式为

第一个项描述了一个横向磁场，第二个项描述了相邻量子比特自旋之间的耦合。 临界伊辛模型有哪些对称性？对称性的一个必要条件是它必须导致一个使哈密顿量不变的变换。哈密顿量在以下变换下保持不变：

以及

该变换是由算符

实现的自旋翻转对称性。该算符与哈密顿量对易，意味着它随时间不变，换句话说，它是一个守恒量。

伊辛模型中有额外的对称性吗？另一种使哈密顿量保持不变的变换是

这就是所谓的克拉默斯–万尼尔（Kramers–Wannier）变换。【参考文献 2】

那么式（3）中的箭头具体是什么意思？尽管文献中常说克拉默斯–万尼尔变换是可逆的，但它实际上不可逆。为了解释这个问题，假设该变换是通过对一个算符共轭一个可逆算符来实现的。那么克拉默斯–万尼尔变换可以写成

让我们对伊辛模型中的翻转算符  应用一个可逆变换：

在最后一步中，我们使用了关系 。当我们从左边乘以 ，从右边乘以 ，翻转算符  变成了一个平凡算符，这是一个矛盾。

克拉默斯–万尼尔变换因此无法通过一个可逆算符来实现，正如维格纳（Wigner）定理所暗示的那样。相反，公式(3)中箭头的含义可以通过定义以下算符来解释 【参考文献3】：

其中乘号之前的部分是“可逆但非守恒的“，乘号之后的部分是“守恒但不可逆的”。

这个相当复杂，但我们只需要知道 是一个“不可逆但守恒的”算子与一个“可逆但非守恒”算子的乘积，自身是“守恒但不可逆的”。

由于第二个因子，是一个不可逆矩阵，且有一些零特征值。不可逆算符在以下意义上实现了克拉默斯–万尼尔变换：

由于  不存在，因此该方程不能写成公式（4）中的形式，因此不存在矛盾。该算符与哈密顿量对易，因此是一个守恒量，不随时间变化。它是一种不可逆的对称性。

普通对称性的平方仍然是另一种对称性：如果将 90° 旋转作用两次，结果就是 180° 旋转。但对于不可逆对称性又如何呢？从公式（4）中可以看到，作用  两次会将  移动到格点 。然而，不可逆对称性看似像是半个格点的平移。但这其实不准确：因为两个格点之间并不存在任何东西！

事实上，算符、自旋翻转算符和单格点平移算符 遵循如下代数关系：

算符在态上的作用因此取决于该态对自旋翻转对称性的响应。算符的平方对应于对对称于自旋翻转算符的态施加单格点平移算符。例如方程（1）中的态。但对自旋翻转算符取负的态，的作用则为零。该代数关系最近被推导出【参考文献3】，其不属于群论的数学框架，也超出了维格纳定理的范畴。这种新的非可逆对称性为物理系统提供了新的视角。

凝聚态物理中，一个重要的课题是描绘物理系统的相图。一个熟悉的例子是给定大气压下的水，它存在气态、液态与固态三种形态。由于微观粒子和原子间的强烈相互作用，这项工作常常充满挑战。而对称性，恰恰是研究这类强耦合系统时为数不多且极为有力的分析工具之一。

特别是，对于在克拉默斯-万尼尔变换下保持不变的系统，其不可逆对称性为量子系统带来了新的洞见。以临界伊辛模型及一大类相关模型为例，磁化与去磁现象并存，这暗示了系统存在非平凡的纠缠特性。对这一直觉的形式化研究【参考文献4–7】表明，不可逆对称性的存在排除了无纠缠的无特征相的可能性。此外，该对称性还限制了最低能量的基态数量。如果将克拉默斯-万尼尔变换误认为是普通的可逆对称性，那么这样的约束是不可能实现的。

多年来，不可逆对称性的讨论一直局限于一维空间中的玩具模型，例如用于描述磁化的伊辛模型。然而，几年前的两篇论文【参考文献8、9】引发了诸多进展。受早期工作的启发【参考文献10】，它们提出了一种适用于三维及更高维空间的不可逆对称性构造。该构造的关键在于与另一种新型对称性——高阶形式对称性（higher-form symmetry）的联系，这种对称性作用于诸如弦状的扩展对象上【参考文献11】。

这些思想迅速推动了各种物理系统中新对称性的发现，包括量子电动力学【参考文献12、13】。这些对称性不仅为粒子物理学等其他领域提供了诱人的见解，还指出了散射振幅文献中的一些错误【参考文献14】，并巩固了量子引力与弦理论中的若干猜想。除高能物理外，不可逆对称性还被应用于凝聚态理论中的晶格模型和量子信息领域，促进了新型量子物质拓扑相的发现及相图约束的提出。这些新对称性已成为连接高能物理、凝聚态和量子信息研究者的统一语言。

不可逆对称性的理念源于物理学与数学的跨学科发展。由于它超越了群论的框架，因而需要新的数学语言。在某些情况下，这种语言被确认为范畴论，这是群论的推广。这些进展促进了数学家与物理学家之间的紧密合作，开启了两大学科融合的新篇章。

纵观历史，对称性一直推动着物理学的重大突破。1941年，克拉默斯和万尼尔【参考文献2】发现的对称性如今被理解为不可逆对称性的特殊例子，并预测了伊辛模型的临界温度。这一成果激励了拉斯·昂萨格（Lars Onsager）于1944年求解伊辛模型的精确解【参考文献15】。近年来，新的不可逆对称性的发现和应用引领了物理学多个领域的飞速发展，更多令人期待的突破正逐渐浮现。

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[15]L. Onsager, Phys. Rev.65, 117 (1944). https://doi.org/10.1103/PhysRev.65.117           本文经授权转载自微信公众号“也疏寒”，来源：Physics Today文章：《Noninvertible symmetries: What’s done cannot be undone》。

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