传奇数学家生前最牵挂的谜题终获解
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2024年 底 ， 两位数学家肯定地回答了传奇数学家 让·布尔 甘关于高维 凸 形状的 “ 简单 ” 问题 。 值得一提的是， 他们 的 工作 建立 在 中国数学家关庆扬 近期的突破之上。 另一方面，对于 凸 几何体截面的研究历史，或许要追述到400余年前欧洲一位传奇贵族的赌约。
撰文 | 嘉伟
鲁珀特问题：立方体穿洞
Prince 这个 英语 单词 ， 现在有 不分 语境 统统翻译成王子或亲王 的趋势 ， 其实 很多 情况 应译成 （地方的） 邦 君一类。 不过 马上要介绍到的 Prince Rupert ，则是货真价实的 普法尔 茨 的鲁珀特亲王 （ Prince Rupert of the Rhine, Duke of Cumberland） 。
这位400年前的欧洲贵族 是一位发明家 、 艺术家，也是一位战功彪炳的战士， 几乎能流利 使用 欧洲 所有 主要国家的语言 ， 在 数学 方面 也 有两把刷子。
鲁珀特亲王在17世纪提出了 一个 至今仍被津津乐道的几何问题。这个问题的 由来 颇具传奇色彩：他曾与人打赌，声称可以在一个立方体上开一个洞，然后让另一个同等大小的立方体穿过这个洞。
当时的人们普遍认为这不可能实现，直觉告诉我们，一个立方体怎么可能穿过一个同样大小的立方体上开的洞呢？然而，鲁珀特亲王最终赢得了这笔赌金 。 （至少故事是这么讲的，但历史上是否确有其事还存有疑问。实际上，这个开洞模型 所需的加工 精度， 以当时的技术似乎无法做到。）
问题的核心在于对“洞”的理解。 由于立方体是一种简单凸多面体 （ “凸”是指构成几何体的点 集合中任意两点 连线 ，线段 上的点 也完全包含在 该 集合 中 ） ，我们可以从投影入手：设想在 正午 阳 光的垂直照射下 ，立方体的边缘轮廓会在地面 投下 影子，能否调整立方体方向，使影子可以容纳 足够大的内接正方形 呢？ 正方形截面与 “内 方块 ” 穿过的 直线运动方向正交，截面本身就是打洞的轮廓 。 理解这一点是解决问题的关键。
不妨 假设 ，当投影面积最大时， 更容易找到正方形截面 。 此时投影 沿 立方体的 体对角线方向 ， 影子 是一个正六边形 。可以 从这一方向 穿越立方体的最大正方形 （ 也就是 可 穿过 的 立方体的 侧面 ） ，就巧妙地“隐藏”在这个正六边形内部。
我们还可以进一步提问 ： 等大的立方体可以穿过，更大的立方体行不行？对于单位 立方体， 可穿过的立方体最大能 有多大？
历经一个多世纪 ， 上述 问题 才得到 解决 。第一个在 书面 上提到这个谜题的是约翰·沃利斯 （John Wallis） ，他在1685年发行的《代数论著》 （ De Algebra Tractatus ） 中 收录 了 该问题 。然而，问题的精确答案—— 1.060660 1…… ， 却要等到一个世纪之后，才由荷兰数学家彼得·纽兰德 （Pieter Nieuwland ，1764—1794） 给出 。 纽兰德 证明， 只要从单位立方体的四 条 棱上各取距顶点 3/4 的位置作四点，这四点恰好形成 一 正方形 ， 沿此正方形 的 法向挖通孔 道， 就是问题的最优解。 这 个答案是在纽兰德过世后的1816年，由他的老师扬·亨德里克·范·史温登 （Jan Hendrik van Swinden） 在整理他留下的论文集时意外发现的。
数学家不会满足于仅仅解决一个具体的问题，他们推广出 更普遍的几何概念——“鲁珀特性质” （ Rupert property） 。 “ 鲁珀特 ”变成了一个形容词 ： 一个几何体如果能被一个同等或更大尺寸的自身副本穿过，那么它就 是 鲁珀特 的 。这个概念将鲁珀特亲王最初的立方体问题推广到了更广泛的多面体乃至高维空间。
目前我们知道， 柏拉图 多面体 （ 凸 正 多面体 ） 都 具备 此性质，所有 n 维超 正方 体 也是如此 。
到 2019 年，数学家证明 截角四面体 是鲁珀特 的。
截角四面体 属于 阿基米德多面体 （ Archimedean solids） 。后者 是几何学中一类非常优雅的凸多面体，它们的面都是正多边形，且每个顶点的邻接方式完全相同，但与柏拉图多面体不同的是，它们的面可以由多种不同类型的正多边形组成。 共有13种 阿基米德多面体 ，而已知其中9种都是 鲁珀特 的。
另外，根据数学家 理查德· 盖依 （ Richard Guy） 与 理查德· 诺瓦科斯基 （Richard Nowakowski） 的研究结果，能够穿 过4 维 超 正 方体 的 最大 超 正 方体， 其边长为 1.007434 775…，即1.014924…的平方根，1.014924…也是 一元四次方程 4 -28 -7 +16 +16=0的最小实根。
有人推测所有凸多面体都是鲁珀特 的 ， 没有 例外。 但我想 证 明一定 非常 难。
数学巨匠让·布尔甘 的猜想
400 年前的鲁珀特问题 ，本质上 就是探究多面体 可能 的最大 斜截面 。20 世纪 的数学家则从完全不同的 角度来思考体积固定，但形状可变的 高维 凸 几何体的最大截面的一致下界 。
在 1980 年代研究最大函数 （ maximal function，现代分析学中的工具） 的背景下， 数学家 让·布尔甘 （Jean Bourgain ） 提出了一个关于高维形状的“简单”问题，这便是著名的“布尔甘切片问题”：是否存在一个常数c>0，使得对于任何维度n和任何体积为1的 凸 体K，都存在一个超平面H，使得K ∩ H的(n-1)维体积至少为c？
简单来说，这个问题问的是：如果一个 凸 体的体积是单位体积，那么它是否一定存在一个“足够大”的低一维切片？
乍 一看， 和略反直觉 的 鲁珀特问题 不同， 布尔甘猜想似乎是显然的。毕竟，如果几何体的形状在各个方向都非常细，它怎么可能 占据 足够的空间来形成一个体积单位呢？ “ 得了吧—— 这能有多难？ ” 高维几何学家罗南·埃尔丹 （ Ronen Eldan ） 回忆 起 第一次听说这个问题时的想法 ：“ 可你越 思 考，就越 能 体会到它其实有多么精妙。 ”
让·布尔甘被誉为传奇数学家，这源于他在多个数学核心领域做出的 深远而变革性的贡献，以及他独特的研究风格和影响力。作为数学界的最高荣誉——菲尔兹奖 （Fields Medal） 的获得者，他以非凡的问题解决能力而闻名。数学家陶哲轩曾评价说：“我的早期工作可以概括为 —— 读让的论文，学会他的技巧，尝试做些改进。”
然而，即使是这样一位卓越的数学家，也未能在有生之年完全解决 自己提出的 关于 高维 凸 体切片 的问题。
特拉维夫大学的 维塔利·米尔曼 （ Vitali Davidovich Milman） 是以色列数学界的重量级人物，在 凸 几何、泛函分析和高维空间理论方面 作出 了 奠基性 贡献。 他 曾写道：“让告诉我，他在这个问题上 投入的时间和 付出的 努力 ， 比他研究过的任何其他问题都多 。”
布尔甘于2018年去世 。 就在 去世前几个月，他 还 询问 米尔曼 ，这个问题 是否有进展。“他想在离开之前 听到 答案 。 ” 米尔曼 回忆道。
直面古怪的高维世界
高维 世界里 物体 的行为方式往往违背我们人类 在 低维 宇宙里养成的 直觉。 如 高维质量集中现象： 高维球的体积集中在它外围很薄的一层球壳上，高维立方体的体积集中在它的一堆角上 （微积分求极限 可得 ） ，高维的高斯正态分布从球面坐标看 ， 它的质量集中在一层半径较大的薄薄的球壳上 （用变分法 可得 ） 。
后一结论在概率论和实际应用上非常有价值，从此我们在高维 情形下 只需要考虑距离原点 1-ε到1+ε的一层球壳就可以了，因为其余部分的概率近似为0。
借助这些结论可以立刻推知一些原本难以计算的概率极限。
比如说， n维立方体里随机两点， 随着 n增大取极限，随机两点的距离小于1的概率极限为0。
为什么呢？因为如前所述，点都集中在超 正方 体的角上，也就是 n越大，立方体内的点越接近超 正方 体的顶点。这就导致所谓任意两点的距离，非常接近两个顶点之间的距离。 而 超 正方 体两个顶点间的距离最小就是1。
再提供一个与切片猜想相关的问题 —— Busemann–Petty 问题 。这也 是 凸 几何中的经典问题，提出于1956年。它探讨的是高维空间中截面 体积 与整体体积之间的关系，看似直观，却在高维中展现出极大的复杂性 ： 设 有两个 中心对称的 凸 体 （即关于原点对称） ， 如果一个 凸 体的所有 经过 中心 的截面 都比另一个大， 那 它的整体体积是否也更大？
在 二维 到 四 维 空间中， 这个直觉是正确的 。 然而令人惊讶的是，这个结论并不适用于 五维及 以上 维 度！ 这意味着，在五维及以上的空间中，存在这样一种反直觉的可能：一个 凸 体的所有中心切面都比另一个小， 但它的总体积却更大。
正是高维的 复杂性使得布尔甘切片问题远非表面上那么简单 ，这也是 高维几何的美妙之处 。 可以说， 布尔甘的切片猜想 是 “驯服”古怪 高维 世界 的一次尝试 ： 至少在某些方面 ， 高维 几何 形状 也应 顺应 我们的直觉。
此外如同前面提到的 高维正态分布 ，高维几何的核心 应用 之一就是借助几何视角赋予多元概率直观的形象 ，简化期望、方差等数据特征的计算 ；反之， 概率论提供了一种理解高维几何的新方式 —— 利用概率工具来估算几何对象的 度量属性 （面积、体积等） ，是现代几何 学 的重要研究方法。布尔甘则是这种研究传统的开创者之一。他的“切片猜想”，这个朴素且看似明显的问题为高维几何学确立了新的方向。
米尔曼 评价说， 自布尔甘提出 这个 问题 以来 ，它 已 成为 学者 理解高维 凸 体 诸多问题 的“敲门砖” 。 高维 凸 体 不仅 是纯数学家 关心的 对象， 也吸引了统计学家、机器学习研究人员以及 其他 需要处理高 维数据集的 计算机科学家的广泛兴趣 。
里程碑式的突破
2024年12月， 以色列魏 茨曼 科学研究所的博阿兹·克拉塔格 （ Bo ’ az Klartag ） 和法国普瓦捷大学的约瑟夫·勒埃克 （Joseph Lehec ） 撰写了一篇论文 “ Affirmative resolution of Bourgain's slicing problem using Guan's bound ” ， 宣告 这一长期悬而未决的问题 ， 获得了肯定 的解答 。
论文标题里提到的“ Guan's bound ”，是指 中国科学院 的 数学家关庆扬 得到的一个结论。 关庆扬的工作建立在一种名为随机局部化 （ stochastic localization） 的技术之上。该方法最初由 罗南·埃尔丹 在其博士论文中提出，并在后续由其他学者进一步完善。
这种几何 方法 也 可以用 物理 学 中 的热流解释 。 该技术涉及 在凸性假设下， 运用随机分析方法，对定义在 n维欧 氏 空间中的概率测度的 热流 演化过程给出精确估计。
埃尔丹 凭借此项工作拿到2023年新视野奖。同年获奖者还有 解析数论领域的领导者之一、 菲尔兹奖得主詹姆斯·梅纳德 （ James Maynard ） 。
现代学者几乎不直接考虑高维 凸体所有 截面的面积/体积， 转而 研究一个名为 凸 体 迷向常数 （ Isotropic Constant ） 的量：这是衡量 凸 体“大小”的另一种方式 （“ 迷向 ” 意思是分不清方向 ） 。简单来说，原本是证明最大可能切片存在下界，此时则变成证明不同维度的 凸 体 迷 向常数 有一个上界。同时虽然该定义 具有更复杂的 形式，但也因此具备了信息和概率意义。我们能够直接对它应用信息论和概率论中的理论工具。
在关庆扬 之前， n维欧氏空间里 迷向常数 的上确界 L n 已知 最好的 约束是 L n ≤
克拉塔格和勒埃克 作为 高维 凸 体切片 猜想 的权威，对这一问题有深刻的理解。他们立刻意识到， 关庆扬 的结果就像是 一把钥匙， 能 打开解决切片猜想的最后一扇门 。实际上，看到关的论文后， 克拉塔格和勒埃克仅用几天就解决了 之前40年未能攻克的难题 。克拉塔格指出：“很幸运，因为我们知道关庆扬的结果正是我们所需的要素之一 。 ”
他们 结合米尔曼的 M-椭球理论、随机局部化技术以及关 庆扬 最新得到 的 参数上 界，利用 Eldan- Mikulincer 的Shannon-Stam不等式稳定性估计 ，最终确立了 凸 体 迷向常数 有界 （与维度n无关） 的关键定理， 一 举证得布尔甘的切片猜想 。 （ M-椭球理论 大致上是说 ，对于任何 凸 体 K，都存在一个椭球E，使得二者在某种意义上相互“覆盖”得很好 。）
克拉塔格 半开玩笑地 表示：“要是相信所谓的‘维度诅咒’， 我们 可能 早 就放弃了。好在，我和勒埃克属于不同的学派。”
维度诅咒 ， 从机器学习的角度来看， 是指 随着 数据集维度 的增加，要想在不过度拟合的情况下对数据进行精确建模 （即 不 记忆样本的具体细节） ，所需的数据量会增长得非常快 。 因为即使数据 集非常 庞大，最终也只能覆盖极其稀疏的整体可能性空间。举例来说， 用 100个平均分布的点 采样 一个单位区间 ， 相邻 点距离不超过0.01；而当维度增加到10后，如果以 同样的间距 采样一单位超正方体，则需要10 20 个采样点。
如今，理论上的突破 不仅为高维几何学带来了新的理论基础，也为处 理高 维数据集的 统计学、 人工智能的 机器学习和计算机科学等应用领域提供了更深刻的理解和新的工具。
比如说， 当我们讨论 凸 几何体的截面 时 ，是不是会让人联想起医学 影像 和地质 勘探中 的断层扫描？实际上， “ 几何层析成像 ”正是 一门通过分析几何对象在各个平面上的投影 （阴影） 或横截面数据，来重建其整体形状的数学方法。
此外，为了解决切片问题，以及更强的 KLS （ Kannan–Lovász–Simonovits ） 猜想 ，数学家发展出一整套的概率方法。 它们已经开始反哺统计学和信息科学，并在现实中发挥威力：这些研究告诉我们，在凸形空间中，即使用最朴素的随机游走，也能在显著更少的步数内把行走位置分布逼近均匀；这为所有基于随机游走的高维算法提供了坚实、可量化的性能下限，帮助计算机科学家在各种随机采样技术之间确定优先级——弄清楚什么时候最基本的随机游走就已足够， 何时则应选择更 复杂 、 计算成本更高的算法以获得更佳性能。
最后，我想每个人都会 同意，布尔甘 会对这一结果感到欣慰 。
后记
虽然 博阿兹·克拉塔格 是 凸 几何 领域里的世界级权威学 者，长期研究 高维对称结构，此前从未正式涉足晶格 /格点 理论 （ Lattice Theory ） 领域。 然而， 晶格 其实一直是他渴望去研究的对象。
就是在证明了布尔甘的切片猜想之后，他意识到： “我已经 47岁了，我一生都想研究格，如果我现在 还不去做 ，那 就 永远不会 去 做！ ”
随后 克拉塔格 开始了自己的 “圆梦 之旅”。在今年4月，他以局外人 未受到既有研究局限 的视角， 凭借对 凸 几何的理解与随机过程的掌握， 在 离散几何领域 又 迅速得到了一个里程碑式的成果。不过，那就是另一个故事了。
参考文献 [ 1] Rupert property of Archimedean solids. The American Mathematical Monthly, 125 (6), 497–504. [ 2] The n-Cube is Rupert . The American Mathematical Monthly , 125 (6), 505–512. [ 3] The truncated tetrahedron is Rupert. The American Mathematical Monthly , 126(10), 929–932. [ 4] Affirmative resolution of Bourgain's slicing problem using Guan's bound. arXiv preprint arXiv:2412.15044 . [5] A note on Bourgain’s slicing problem. arXiv preprint arXiv:2412.09075. [ 6] Bourgain’s slicing problem and KLS isoperimetry up to polylog. arXiv preprint arXiv:2203.15551 . [7] Qingyang Guan, Joseph Lehec and Bo’az Klartag Solved The Slice Conjecture! | Combinatorics and more [ 8] Erica Klarreich , Statistics Postdoc Tames Decades-Old Geometry Problem
注：本文封面图片来自版权图库，转载使用可能引发版权纠纷。
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