量子场论中的最大纠缠假设

2025年是量子力学建立100周年，量子力学与经典物理相区别的一项重要特点是量子纠缠(quantum entanglement)。对于一个由两个子系统组成的复合量子系统，假如子系统的完备基分别是和，总系统的任意量子态可以表示为两个子系统和的完备基的直积态的叠加态：

当这个叠加态的波函数无法分解为直积的形式时，就称之为纠缠态(entangled state)。在量子力学提出后，量子纠缠的现象就已经被意识到[1]，历史上关于EPR佯谬和量子纠缠的讨论极大地推动了量子力学的发展。时至今日，对量子纠缠以及量子力学的理论基础的相关研究仍然是一个正在蓬勃发展的领域，关于量子纠缠以及其他刻画量子系统之间关联的现象的研究被称为量子信息科学。

随着近些年来量子计算技术与量子信息学科的快速发展，量子纠缠以及量子信息中的有关概念在粒子物理学中的应用引发了一些关注，本文将介绍其中一些具有启发性的研究结果。

1 电弱相互作用中的最大纠缠

量子电动力学(QED)是电磁相互作用的基本理论，它描述光与物质相互作用，小到微观粒子，大到宏观物体之间的电磁力都由QED决定。因此一个重要的问题是量子纠缠是如何在QED中体现的，以及QED到底可以产生多大程度纠缠，产生的这些纠缠是否足以破坏贝尔不等式从而体现出QED作为量子理论的特性？为了回答这个问题，首先要说明如何定量地刻画量子纠缠。两个电子组成的系统，可以看作是一个双量子比特体系，其中每个电子可以是右手和左手的螺旋度本征态，因此可以将两个电子的总系统表述为螺旋度本征态直积态的叠加，其中和分别表示右手与左手螺旋的电子。一对通过电磁力产生相互作用的电子的一般形式是：

为了定量描述这一体系中纠缠的程度，需要定义一些刻画量子关联的物理量，在描述双量子比特组成的系统中，经常使用并发度(concurrence)这一物理量，对于态来说，它等于：

并发度的取值在之间，并发度等于1的态，就是最大纠缠态，例如

为了理解QED过程中的量子纠缠行为，可以通过计算QED的基本过程的并发度来考察纠缠产生的问题。比如说对于过程，在最低阶由如下费曼图表示:

其中一对正负电子通过交换一个虚光子到末态的正负子对。通过量子场论的标准方法可以计算出从指定初态螺旋度到指定末态螺旋度的跃迁概率，这样就可以给出各个分量的叠加系数[2]。假如设置初态是一对正负电子的直积态，不存在纠缠，由于QED振幅存在对于散射角度与能量的依赖，那么对末态来说，中各项系数将都不为，可能存在量子纠缠，利用QED振幅可以计算出对于特定的纠缠初态，在相对论极限下，末态的并发度与散射角的关系如下：

当时，并发度将取到最大值，这时两粒子间的纠缠也达到最大。在这个过程中，纠缠产生的原因是中间态虚光子的极化方向是随机的。

再考虑另一个过程，电子和电子之间的弹性散射，这个过程包含两个费曼图：

如果只是考虑单独的道或者道的贡献，那么在这个散射过程中将不会产生任何纠缠。由于全同粒子的不可区分性，在计算完整的振幅时需要同时考虑道和道的贡献，然后可以用类似的方法计算出从不存在纠缠的初态电子对经过QED过程后到末态的并发度，这个结果是：

它总是在时才取到最大值，此时，来自道和道的两个图的贡献相等。这说明在该过程中，对于末态出射的全同粒子，道与道贡献的不可分辨性是产生纠缠的核心原因。另一个特点是对于两个电子都是右手极化的初态，在低能下：

事实上在低能极限下，可以发现电子电子之间无论螺旋度如何组合，都可以达到最大纠缠，这正说明在低能下可以较容易地制备出纠缠电子对。

1.2 电弱理论中的最大纠缠假设

上述分析说明，QED作为电磁相互作用的基本理论可以产生量子纠缠，并且可以达到最大纠缠，也就是实现了对贝尔不等式最大程度的破坏，反映了这一基本相互作用的量子特性。如果从另一个角度看待这一问题，可以考虑将量子理论的纠缠特性作为一个更基本的假设，从这一假设出发，研究是有可能导出对基本相互作用的某些约束。

首先考虑QED，放宽对其理论形式的限制，将电子光子的耦合顶点表示为：

此处电子光子耦合顶角不再是标准的Dirac矩阵，而是放宽为任意的形式，这样的相互作用项自然破坏了规范对称性，不描述真实世界中的电动力学。但是如果我们将可以产生最大程度的纠缠作为一项基本相互作用的性质来对其施加约束，将会得到对称性更高的解[2]。对这一可能性进行分析，通过计算该理论中各种基本QED过程的并发度，并且要求它们可以取到最大值，可以得到这样一组解：

其中所有符号都相同的情况，对应于符合真正量子电动力学的解。这说明在最大纠缠假设下，QED确实是一个可以满足条件的解。

在粒子物理的标准模型当中，电弱相互作用是统一的，由的规范对称性描述，可以尝试进一步将上述假设考虑到电弱理论中。 在弱相互作用中，玻色子和电子的耦合顶角是：

对于电子来说，轴耦合与矢量耦合分别是和。称为温伯格混合角，是标准模型中的一个重要参数。通过计算玻色子衰变到过程的并发度，对于初态玻色子的三种极化方向，可以得到：

其中的下标（0, L, R）代表着初态玻色子的三种不同极化方向，，可以看到，如果要求三种情况下的并发度均能取到最大值，那将有，这对应着两种情况。如果,那么将得到Weinberg混合角等于，这一参数的最新测量值大约是,与该预言值非常接近。另一组解对应于，这就回到了QED的情况（相差一个总体的因子）。

总而言之，通过将最大纠缠假设作为一个基本的要求加入到一般形式的电弱理论中，在得到的一组解中，自动包括了量子电动力学以及一个“看上去很像”交换玻色子的电弱相互作用理论的结果[2]。

对于强相互作用，也存在类似的现象。高能标下的强子结构由部分子模型描述，例如在高能轻子与核子的深度非弹性散射实验中，发现高能标下的核子内部具有类点状的部分子结构，这些部分子之间近似无相互作用。一般用部分子分布函数描述携带的动量与核子的总动量的比值为的部分子出现的概率，它们是描述高能核子结构的重要函数。

将质子作为一个整体的量子态来考虑，它本身是一个纯态。但是在深度非弹性散射实验当中，通过高能量探针对其进行探测，只能探测到其中的一小部分，这实质上是进行了一次量子测量，因此被探针探测到的这一部分与未探测到的这一部分将产生量子纠缠。在一个测量过程中，尽管总系统是纯态，但其中一个子系统的约化密度矩阵将不再描述纯态，使得它与总系统中的其他部分产生非的纠缠熵。深度非弹性散射过程中质子系统的纠缠熵可以表示为：

其中表示探测到个部分子的概率。在此前的研究[3]中，作者使用高能量下部分子演化满足的BFKL方程[4]研究了深度非弹性散射过程中核子的纠缠熵，发现在小区域，纠缠熵与部分子分布函数之间有一个很简单的关系：

这一形式说明在高能量的情况下，将质子作为宏观态来考察，那所有具有不同数目的部分子的微观态出现的概率是相等的。这一条件下中定义的纠缠熵正好取到最大值。

由于此处纠缠熵的定义与部分子的个数有关，在高能对撞机上，由同一个初态部分子演化出的末态强子的个数对应的多重数分布(multiplicity distribution)可以测量，这一物理量与纠缠熵能够产生直接的联系，因此可以基于最大纠缠的假设来计算高能标强子化过程中的纠缠熵，并将其与强子结构函数联系起来。近年来，这一方法被用到高能强子结构的研究中，取得了一些有意思的结果[5-7]。

最大纠缠方法给出的理论预言与ATLAS实验数据的比较[7]

相关阅读

1 量子蒙卡新算法，让纠缠熵不再难缠

2 量子多体纠缠计算新范式：抽样约化密度矩阵

3 经典理论都与量子理论“纠缠”，为何热力学是唯一例外？

4 用量子纠缠编织时空

近期推荐

1 徐一鸿：物理学的十大基础理念 | 视频+文字

2 庞加莱的博士论文写完，就立成经典

3 一场持续百年的脑科学争论，终于迎来最有力答案

4 爱因斯坦的皮夹克，至今还留着淡淡烟草味

5 院长的屈辱：兄因反伪科学而死，弟却“拥抱”仇人