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返朴

数学是什么？一位日本数学教育改革者的思索

返远山启约 15 分钟
刚入小学的孩子们几乎都喜欢算术。算术非常单纯，“对与错”的界限清晰，这恰好符合孩子的心性。但是随着年龄渐长，恐惧数学的人越来越多。这是为什么？日本数学家、数学教育巨匠远山启给出了一个论断：问题出在算术和数学的教学方法上。
在本文中，远山启剖析了到底什么是数学？数学是一种什么语言？数学与客观世界的关系究竟怎样？并由此驳斥了一些盛行的观念。
日本著名数学家、菲尔茨奖得主森重文曾盛赞远山启：我高中时读了远山启先生的书，并深受其影响，他的著作让我明白了数学的“语言”究竟是什么。

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远山启《数学与生活》5（图灵出版）
全系列在中国热销10年，累计销售20万册
撰文 | 远山启
翻译 | 图灵出版公司
被制造出的“数学恐惧”
在学校的众多学科中，孩子的父母最为关心的恐怕是算术。算术的对与错泾渭分明，孩子一旦不会，丝毫无法掩饰。
有研究曾调查过孩子的生活环境与学习成绩之间的关系，结果显示，算术几乎不受生活条件的影响。换句话说，贫困家庭的孩子依然可能学好算术，而富裕家庭的孩子也可能学不好。这与社会科学类的科目形成了鲜明对比。社科类科目往往是家庭宽裕、能接触到大量图书杂志的孩子成绩更佳，而贫困家庭的孩子则表现较差。
可以说，算术堪称最为公平、最具平民气质的学科。数学这门学问也有同样的倾向。如果要举出历史上三位最伟大的数学家，人们几乎都会提到阿基米德、牛顿和高斯。追溯他们的出身，会发现颇为有趣之处：阿基米德出身贵族，牛顿来自农家，高斯则是瓦匠之子。三人之中有两位出身平民，这无疑证明了数学是一门公平而民主的学科。
算术的原理极其简单。只要理解这些简单的原理，并能有系统地加以运用，就能够学好算术。它既不需要大量的阅读积累，也不依赖广博的知识。只要孩子诚实、有韧性，就能掌握。
因此，刚入小学的孩子几乎都喜欢算术。算术非常单纯，“对与错”的界限清晰，这恰好符合孩子的心性。即使是平日被视为“不行”的孩子，只要答对题目，就能得到满分。老师若算错了，也只能向学生承认错误——这就是算术的魅力。
然而，随着年级的升高，讨厌算术的孩子却逐渐增多。甚至许多人长大后仍然会被“在数学考试中答不出题”的噩梦缠身，在深夜的惊恐中醒来。这究竟是为什么？
问题恐怕出在算术和数学的教学方法上。因此，即便成年后认为自己数学不行，也无需过度自责。事实上，正是过度强调那些并非必要的难题，才人为地制造出了“数学恐惧”。
小学阶段的复杂应用题，大概是最早导致孩子厌恶算术的根源。那些题目本该借助代数工具解决，教学中却偏要用算术来做，结果只能依赖一些技巧性的“解谜”方法。某些智力不差，却厌恶绕弯思维的孩子，一旦被迫解答这种题目，往往因此疏远算术。
人们常以为“解复杂的应用题能让人更聪明”，其实未必。
进入中学后，学生会遇到因式分解。它同样被认为“做得多就能变聪明”，但这恐怕也是一种迷信。而且，因式分解的技巧在数学体系中并没有那么重要。
这些冗余之所以长久存在于教育中，大多因为入学考试。考试题目往往故意被设计得刁钻古怪，以便淘汰、筛选考生。于是学生不得不反复练习这种题目，考试也愈加困难，以此形成恶性循环，难以停止。
正是这样，算术恐惧者、数学恐惧者被大量制造出来。然而，数学的本质其实远为单纯、直率。真正应用于现实的，恰恰是这些单纯直率的部分。那些需要曲折思维的问题，往往是人为设下的考题；而数学中自然出现的问题，多数却更为简明、清晰。
数学是一种特殊的语言
有关大学入学考试的一则消息曾引发议论。有人说，之前有一位考生数学满分却未能被录取。按理说，数学在总分中占比很高，只要其他科目发挥正常，合格毫无悬念。然而，这名考生的其他科目糟糕透顶，以至于即便数学完美无缺，仍无力回天。
由此有人提出一个问题：这样的学生将来是否会有所成就？对于此问题，各路学者意见纷纭，但最终大致的结论是——其前途不容乐观。特别是语言能力较差的人，在数学上也难有大作为。
回顾历史，真正卓越的数学家鲜有不擅长语言之人。当然，在实验科学或工学领域，即便语言能力不足，依然能够涌现出优秀人才；但数学似乎有所不同。
大体而言，人类可分为两类：一类偏好观念的推演，一类偏爱物体的操作。热爱数学的人大多属于前者，因此在语言这种“观念的游戏”中也往往游刃有余；而实验科学家与工学者偏属后者，即便语言不精，也并不意外。归根结底，这是一种能力类型的差异。
数学与语言的确存在某种相似之处。从人的认知能力来看，它们在深层处往往相通。
随着电子计算机的发展，“模式识别”逐渐成为重要课题。若将最新的计算机与两三岁的幼儿相比较，幼儿在模式识别方面的能力远远超出机器。孩子一旦学会“脚”这个词，便能将自己的脚、母亲的脚、玩偶的脚一并识别为同类。这种能力几乎只能以“灵妙”来形容，即便是最先进的计算机也望尘莫及。
这种惊人的模式识别能力，与语言能力紧密相关。模式识别的原理在于“相似”而非“相同”，即做出“并非完全相同，而是相似”的判断。语言依赖这种能力，而没有这种能力，语言也无法成立。正如莱布尼茨所言，世上从无完全相同的两物。若不能以同一名称称呼相似之物，语言便需要与世间万物等量的名词，人类将难以承受。语言的根本原理即在于相似性。而数学，同样立足于这一原理。
近年来，“结构”一词在数学中流行起来，它对应的英语单词是Structure，当然它也与“结构主义”密切相关。德国人甚至将现代数学定义为“结构的科学”（Strukturwissenschaft）。这种说法对于现代数学而言非常贴切，不过由于大部分人在学校只会接触到近代数学之前的知识，对现代数学并不了解，这里还是简单说明一下“结构”。
所谓“结构”，并非关心“具体的对象是什么”，而是探究“对象之间如何相互作用”。例如“三方互克”关系——“石头、剪刀、布”或“蛇、青蛙、蛞蝓”，其本质是三者之间形成的一种关系模式，这就是一种结构。无论称之为模型、范式还是图式，本质并无区别。现代数学世界的根基，正是这类结构。所谓“结构的科学”，说的就是对这些“结构”的研究。
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“三方互克”关系
结构也存在于其他完全不同的事物之中。比如人的血型大致有O、A、B、AB。这四种血型并非独立存在的，它们之间存在某种关系，即某血型可以向某血型输血的关系。我们将可以向其他血型输血的血型写在上方，可以接受其他血型输血的血型写在下方。这就是一个新的结构。这种结构也存在于其他完全不同的事物之中。比如6 这个整数，我们把它的正因数都写出来，可以得{1,2,3,6}此时，这四个数之间也存在“可被某数整除，不可被某数整除”的相互关系。我们将可以整除其他数的数写到上方，可以被整除的数写到下方，则可以得到一个结构。1可以整除2，2可以整除6，3可以整除6。虽然这些数和人的血型是完全不同的东西，但二者内部元素之间的关系是同构的。
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同构
如果从广义上来思考结构，我们还会发现，在其他领域也存在许多结构，比如音乐的乐谱也是一种结构。乐谱中的Do、Re、Mi、Fa 等音符按照一定的顺序排列，而非仅仅将音符聚集在一起。乐谱中的音符具有结构，并按照这种结构排列，所以我们无法否认这是一种结构。再比如，绘画中的各种色彩也并非杂乱地聚集在一起，而是按照某种结构排列的，画画就是在发现色彩的这些结构；作曲家的作曲其实就是在创造音的结构；围棋高手则是在创造围棋的结构。像这样，将结构在广义上推广开来的话，我们能看到人类所有的创造性活动都必然与结构有关系。创造出新结构的能力就是我们通常所说的创造力。
大学的数学专业被放到理学系中，这在现代数学之前是没问题的，之前的数学研究的主要内容确实与自然现象相关。但是，到了现代数学的阶段，数学也与社会现象产生了种种关系。也就是说，社会现象中存在相同的结构（模式），而这些结构能在其他众多适用的社会现象中使用。
但是，如果把结构推广到这么广的范围，那万事万物就都成为数学了。数学家可能也不得不去学作曲或学画画，这听上去可不太妙。虽然结构可以推广到万事万物，但这样也无法对它进行研究了。因此，数学这门学问也是对“结构”的限定，可以让人集中研究结构。
棋艺高手因熟知无数定式，能在对局中迅速应变；数学家亦然，因脑中储存大量的“结构”，方能轻松破解难题。对于那些把数学仅视为计算的人来说，“数学是结构的科学”的说法或许会让他们感到意外。
然而，人类精神活动本非泾渭分明。如果将重点放在“相似”而非“相同”上，那么数学与艺术等精神活动本就非常接近。诗人的象征与比喻，其原理也基于相似性；小说家的对人物性格的塑造，也是对模式的建构，并会预设读者具备识别相似性的能力。
数学与艺术虽同样依赖“相似”，但其“性格”有些不同。数学的相似是逻辑性的，几乎不依赖感性。艺术的相似则以感性为主，却也蕴含逻辑。若承认艺术中也蕴含逻辑，那么二者之间的距离或许远比想象的要近。
尤其是数学与语言，其距离极为接近。与其说数学与语言相似，不如说“数学本身就是一种特殊的语言”。
例如，近代数学的核心概念——函数，它同时也与语言中的命题密切相关。式子y=f(x)的意义在于：对象x经过作用f，生成结果y。在符号逻辑学中，这被解释为：主语x与谓语f结合，生成命题y=f(x)。
由此可见，数与命题可用同一公式来表达。数的世界与语言的世界，并非遥远分立，毋宁说，它们在某些层面上早已重叠。
数学与其他学科的关联
数学究竟是一门怎样的科学？首先必须指出的，便是它的普遍性。数学的命题对于全世界任何人都同样可以理解，不存在差别。这种普遍性，正是人类理性能够超越民族与习俗差异而具有共通性的最佳证明，也是对狭隘的民族主义和种族偏见最有力的反驳。
这种普遍性还体现在另一个方面：数学作为一门学科，并非由某一民族独力创造，而是全人类共同合作的产物。诚然，进入近代以后，欧洲人的贡献极为突出；但在古代与中世纪，亚洲人留下的功绩同样巨大。
因此可以说，数学是一门全人类的科学。在教授数学时，若能在各种机会中提醒学生这一点，就再好不过。因为在所有科学中，与种族歧视最无缘的，正是数学。
与普遍性同样重要的，是数学的历史性。数学和天文学一样，是最古老的科学之一。虽然难以举出确凿证据，但大概可以认为，作为学科的数学，是在新石器时代开始后不久便已萌芽。换言之，数学并非从天而降，而是在人与人组成的社会中，历史性地形成与发展的。
如果数学是人类和社会共同的智慧活动的历史产物，那么它当然不是孤立的，而是整个文化的有机组成部分，必然与文化的其他领域保持紧密的联系。尤其在今天，更要强调这种联系。因为数学在其本性中，始终潜藏着学术孤立化的危险。对于现代数学而言，这一点更为重要。自1899年希尔伯特发表《几何基础》以来，现代数学在“公理主义”的旗帜下逐渐成形。
公理主义初兴时，确曾传播过这样一种过于急切的想法：只要建立起一个不含矛盾的公理体系，它就可以获得作为“另一种数学”的合法地位。确实，无矛盾是必要条件。若有矛盾，数学体系必然崩溃。但这是否足以构成充分条件？
《几何基础》表明，除了欧几里得几何学之外，还存在无数种几何学。那么，为何欧几里得几何学会最早受到深入研究？原因不言而喻，因为欧几里得的空间最接近于现实的空间。对公理主义的浅薄理解，曾一度将许多无聊的数学结构引入学科之中。
法国布尔巴基学派喜欢将数学结构比作建筑物。那么，在这个比喻下，公理体系便是建筑的设计图。建筑师只要遵循力学的法则，便可以自由绘制各种设计图，并建造相应的建筑。同样，数学家只要遵循逻辑的法则，便可自由设立公理体系。
然而，某个建筑究竟是“好建筑”还是“坏建筑”，并非力学定律所能判定，而是另一个层面的问题，即取决于建筑与人类、社会的关系。因为建筑终究是人类与社会来使用的。数学也完全一样。数学是为人类而存在，而非反之。某个数学结构若能帮助人类探索自然与社会的规律，进而改造自然与社会，使之造福人类，那它便是“好的数学结构”。倘若失去了这一视角，数学便会沦为赫尔曼·外尔所说的“类似象棋的智力游戏”。
当然，这并不意味着要陷入目光短浅的实用主义。数学以及科学的伟大，从来不仅在于它能带来物质上的幸福。即使没有直接应用，它仍能拓展人类的视野，消除无谓的恐惧，这同样是它的伟大所在。
因此，我们必须时刻铭记：数学不是孤立的学科，而是在与其他学科、其他文化领域的联系中发展而来。这一点尤其重要。因此，在推进数学教育改革的过程中，必须牢记这一点。我们期待有更多数学家参与教育建设的运动，尤其在引入现代数学方法之时，更需要学习第一线研究者的思维方式。但与此同时，盲从始终不可取。数学的根本特性之一，便是它始终潜藏着学术孤立化的危险；也正因如此，我们才要不断强调它与其他学科的联系。
这并非什么高深的学术议论，而是连小学算术中都能遇到的现实问题。比如，近来兴起的“集合热”便产生了许多怪现象。有不少孩子说：“集合一开始很难懂，但一旦懂了，就发现没什么大不了的东西。为什么老师要一本正经地把它当宝贝似的教呢？”这种批评非常中肯，也一针见血地指出了“集合热”的缺陷。
集合论确实是现代数学的出发点，却绝不是终点。康托尔的集合论，目的正在于将既有结构尽量粉碎到最小的原子层次。但如果数学停留在康托尔集合论的层面，它就会成为一片荒凉的沙漠。幸运的是，数学并未止步于此，康托尔的集合论让数学家能以原子层次进行分析，希尔伯特的公理主义又让数学家能通过公理体系重新将这些元素联系起来，创造出丰富多彩的结构。由此可见，集合论不过是一次必须回归的再出发点。
数学教育亦然。若不能从集合进一步发展到量、逻辑、空间等更广阔的世界，那么它便毫无意义，只会让孩子们感到枯燥与乏味。
数学是客观世界的反映
关于数学流传着一种普遍的观点，大意是：
“数学是由若干公理体系演绎推导而成的自律性知识体系，与以归纳为基础的其他自然科学有着本质区别。”
由这种数学观衍生出两种截然相反的教育态度：一种是数学无用论，另一种是“为数学而数学”主义。
如果数学真的是“自上而下给定的公理体系所演绎出来的知识”，那么它的确不过是与现实社会毫无关系的“无聊人的玩物”罢了。若真如此，数学无用论就有其道理。战后日本教育界曾盛行的“生活单元主义”大致便立足于这种数学观。1951年日本的中学《学习指导要领》中甚至写道：“我们并不是要教数学。”其背后潜藏着对数学的轻蔑。
然而，从“数学是自律的知识体系”这一前提，又能得出另一种结论：
“数学独立存在，不依赖其他学科，因此学习数学是训练思维、培养逻辑能力所必需的。”
这就是所谓“为数学而数学”的立场，正如“为艺术而艺术”的艺术至上主义。
诚然，数学在锻炼思维能力方面确实有用。但若仅仅为了这一点，围棋、象棋同样也能起作用，并非数学不可替代。而若是为了培养逻辑推理能力，直接教授形式逻辑或许更为直接有效。
近年来，高中教材中已经出现了强调形式逻辑的倾向。逻辑固然重要，但过分强调形式主义，反而可能扼杀学生对几何图形与代数式所蕴含深刻规律的兴趣。逻辑不应脱离图形与公式而孤立存在。
于是，数学无用论与数学至上主义，虽然看似对立，却共享着同一种错误的数学观。
我反对把数学看作是“由若干公理体系演绎而成的自律性体系”。与此相反，我主张“数学是自然与社会的客观反映”。因此，它既非完全自律，也不是纯粹演绎而无归纳的学问。
数学史为这一点提供了确凿的证据。数学史表明，数学是在与其他科学复杂互动的过程中发展起来的。有时是被动地受到外部推动，有时则是主动地开拓。
在开普勒、伽利略的时代，力学处于科学的最前沿。然而，当时力学所需要的数学——微积分——尚未诞生。真正创造出微积分的，是下一个时代的牛顿与莱布尼茨。在这个阶段，数学的发展显然是受到外部刺激而产生的。
但情况并非总是如此。譬如，高斯在土地测量问题中建立了曲面理论，后来由黎曼发展为空间曲率理论。在黎曼的时代，这一理论不过是没有应用价值的假设，直到爱因斯坦将其用于相对论才真正发挥作用。同样，振动弦问题中发展出的微分方程特征值理论，早在19世纪便已建立，但直到20世纪才在量子力学中找到应用。
数学的发展，就像裁缝的工作。若顾客上门量身订制，他按尺寸做衣服——这是被动的。若顾客不来，他仍会设计新款衣服陈列橱窗，等待有人来买——这是主动的。看似“自律”，实则背后依然受制于“普通人能穿”的现实目的。这种所谓的“自律”，其实只是一种相对的自律。
黎曼在没有物理学家需求的情况下提出空间理论，看似自律，然而他仍然是“为了反映自然”而创造的。
数学确实是自然的反映，但这种反映方式并不简单直接。它有时像平面镜，有时像凹面镜，有时像透镜。尽管数学相较于其他自然科学更多地以间接方式反映自然，但其根源在自然这一点毫无疑问。无论公理体系如何整然有序，它们之所以被选择，正是因为能够深刻反映自然。
因此，数学绝非纯粹的形式，而是形式与内容的统一体。数学不能被隔离于自然科学之外。基于错误的立场，将数学与理科完全分割为质上不同的学科的教育理论，理应受到批判。这正是当今教育面临的任务之一。
最后，数学绝不是单纯的演绎学科，它的重要组成部分仍是归纳。这一点与其他自然科学并无根本区别，且更应被强调。
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作者简介

远山启，日本当代著名数学教育家，日本数学教育议会创办人。1938年日本东北大学理学部代数学专业毕业。倡导改革传统的应试数学教育方式，创立“水管式教学法”“磁砖指导法”等新式的数学教学方法，其数学著作影响了森重文、森毅、上野健尔、银林浩、小岛宽之等几代数学家。他在学术方面造诣很深，著述颇丰，“数学与生活”系列深受中国读者好评。

远山启在数学与教育上对“人”的探索，为日本战后的数学教育打开了科学化与现代化的窗口。同时，他通过著作留下的理念与思想，源源不断地赋予当前教育工作者应对新问题的根源性力量，也让更多的学习者获得了精神上的自由。

注：本文封面图片来自版权图库，转载使用可能引发版权纠纷。

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