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返朴

天才数学家的烦恼

返春日真人约 7 分钟

1970年代末，天才数学家威廉·瑟斯顿提出“几何化猜想”，极大推进了三维流形的拓扑与几何研究，并因此获得1982年菲尔兹奖。但他并没有选择继续攻克这个伟大的猜想，转而广泛探索新领域。为什么？

撰文 | 春日真人
翻译 | 武晓宇
在1983年的菲尔兹奖颁奖典礼上，瑟斯顿（William Thurston）博士因其提出的几何化猜想“使三维空间的研究重新回归数学的主流”，而受到了极高的赞誉。那么，博士最终是否证明了这个猜想呢？
要证明瑟斯顿的几何化猜想，必须先找到一种方法，将宇宙优雅地分解为八种几何结构。然而，这种分解极为困难。在尝试分解时，往往会遭遇形状突然崩塌的现象。这种导致计算无法继续的状态被称为“奇点”。几何化猜想的证明因此遇到了巨大的障碍。
瑟斯顿博士作为几何化猜想的提出者，尽管面对外界的高度期待，但他还是放弃了证明这一猜想的挑战。
事实上，从采访开始，我们就对瑟斯顿博士放弃证明几何化猜想的原因充满疑问。这是一个巨大的谜团。但是，回想那些将毕生精力奉献给解决庞加莱猜想的数学家们的生活方式，我们不得不觉得，博士选择放弃或许是一种明智之举。 
一些数学家认为，瑟斯顿博士对证明几何化猜想本身并没有太大的兴趣。通常来说，数学家可以粗略地分为两类：“提出概念型”和“解决问题型”。前者善于从无到有地创造出前所未有的新概念倾向于不断提出冠以“×× 猜想”的新想法。亨利·庞加莱就是这类数学家的典型代表。而后者则擅长逻辑性地验证这些猜想是否正确，他们拥有工匠般的特质，善于使用各种数学技巧。帕帕基里亚科普洛斯（ChristosPapakyriakopoulos；编者注：通常称为帕帕）可以被视为这类数学家的典型。当然，也存在极少数兼具两种特质的“全能型”数学家。 
如果按照这种分类，瑟斯顿博士显然属于“提出概念型”的数学家。他提出了几何化猜想，为庞加莱猜想的研究开辟了广阔的前景，但对是否要亲自完成严密的证明并不执着。
然而，也有不少数学家对瑟斯顿博士没有继续尝试证明几何化猜想感到难以理解，认为这种选择非常不寻常。其中之一盛赞瑟斯顿博士为“魔术师”的法国数学家瓦伦丁·波埃纳鲁（Valentin Poénaru）博士。他评论道：“瑟斯顿在某个时刻突然停止了自己的‘魔术’。没有人知道具体原因，但从那以后，他再也没有发表任何数学研究成果。他当时还很年轻，也没有迹象表明他的能力有所减退，但不知为何，他的数学研究就此止步。”
几何化猜想被认为是超越庞加莱猜想的“伟大猜想”。博士是否因为畏惧挑战而放弃？这似乎也不太可能。
也许有一篇论文可以帮助我们更深入地了解瑟斯顿博士复杂的内心世界，那就是他于1994年发表的《数学中的证明与进展》（On Proof and Progress in Mathematics）。在这篇论文的后半部分，瑟斯顿博士记述了一个重要事件如何促使他对数学的看法发生了重大改变。 
以下是论文中相关部分的内容。

在研究生时期，我选择“叶状结构理论”作为研究主题。叶状结构理论当时是一个备受关注的领域，吸引了许多从事拓扑学、动力系统以及微分几何学研究的学者。我迅速证明了叶状结构理论的分类定理，还提出了许多其他重要的定理，在这一领域取得了显著成果。当时，我的脑海中不断涌现出证明的灵感，甚至几乎没有时间将它们整理成论文。 

然而，没过多久，一个奇怪的现象发生了。在短短几年内，研究这个领域的学者人数急剧减少。一些数学同仁告诉我，学术圈内竟然传出了“最好不要再碰叶状结构理论”的议论。意思是我已经快要将这个领域“蚕食殆尽”了。甚至有朋友对我表示赞赏时，还特意用反话调侃道：“你简直快把这个分支彻底终结了。”于是，研究生们纷纷放弃叶状结构理论作为研究方向，而我自己也很快转向了其他领域。 
但这一领域的研究者减少，绝不是因为其研究价值已经耗尽。事实上，这个分支依然存在许多有趣的问题，拓展的空间也依然广阔。 
通过这一事件，我开始自我反省，找出了自己研究工作中的两个问题。 
首先，我的论文通常以一种过于陈旧和晦涩的数学论文格式呈现，令人生畏。我缺乏对自己所述理论之背景的详细说明（当时也没有充裕时间写这部分），导致论文变成“只有懂的人才看得懂”的状态。例如，有一篇论文的标题为“Godbillon-Vey 不变量度量叶状结构的螺旋摆动程度”（Godbillon-Vey invariant measures the helical wobble of a foliation），这种表述对许多数学家来说既难以理解也难以接受。 
其次，我误以为学术界热切期待“答案”的出现。我天真地认为，如果自己能够提出许多有力的证明成果，那一定是对其他数学家的极大帮助。但实际上，大家所追求的并不是答案本身，而是思考的过程。
与瑟斯顿博士有深厚交情，并曾邀请他到访日本东京工业大学的小岛定吉（Sadayoshi Kojima）教授指出，这次几乎导致整个研究分支被废弃的事件，可能对瑟斯顿博士的数学研究态度产生了重大影响。 
小岛教授认为：“对于敢于迎接一切挑战的瑟斯顿来说，这次经历或许是非常痛苦的。在20世纪 70 年代后期，他开始重视将三维流形、克莱因群和双曲几何这些原本相互独立的领域结合在一起的研究。他放缓了脚步，把精力投入到改善学术研究环境中。” 
小岛教授还提到：“不断证明优秀的定理未必一定能推动数学的发展，反而在某些情况下可能会削弱其他学者的研究热情。这种认识或许促使瑟斯顿博士逐渐转变了想法，他开始意识到‘数学是一门在人与人的交流对话中得以存在的学问’。”
实际上，在20世纪70年代后期，瑟斯顿博士的研究态度确实发生了显著转变。他开始将更多精力投入到数学教育和与同行的交流之中，不再将重点放在撰写论文上。他在普林斯顿大学以“三维空间的几何与拓扑学”为主题开设的讲座，以其独特的讲解方式和简明易懂的内容广受好评。其讲义的复印件更是在全球范围内广泛传播。
到了20世纪90年代，作为美国国家数学科学研究所的主任，瑟斯顿博士经常热心前往各地初中和高中进行讲座，通过这些活动努力向公众推广拓扑学的魅力。 
关于几何化猜想，瑟斯顿博士是因困难而放弃了证明，还是有意停止了研究？为了解答这个疑问，我们在采访的最后直接向他提出了问题。 

记者：“许多数学家都疑惑，作为几何化猜想的提出者，为什么您没有坚持完成证明工作呢？”

瑟斯顿博士：“我尝试过努力证明它，但我所设想的方法最终都行不通。继续下去也看不到成功的希望。在这种情况下，我认为退出是更为明智的选择。毕竟，人生的目标并不只有一个。”

记者：“您是否舍弃了独自证明的执念，选择通过与其他数学家的交流来共同推进研究呢？”

瑟斯顿博士：“如今，许多数学家正在学习我曾经独自思考的内容，这不是很棒吗？有那么多人正在为几何化猜想和双曲几何等领域做出贡献，这些都是我曾经肩负的研究方向。理解我的理念的人越来越多，我不再像过去那样孤独。当你最初提出一个全新的想法时，孤独是无法避免的，这种感受让我铭刻在心。” 

对于这个话题，瑟斯顿博士仅谈及此。 
尽管他并未亲自完成几何化猜想的证明，但他始终致力于将“宇宙有八种形状”的理念普及到大众中去。他与弟子杰弗里·威克斯（Jeffrey Weeks）合作开发了一款名为“弯曲空间”（Curved Spaces）的计算机软件（网址：https://www.geometrygames.org/CurvedSpaces/）。不妨打开计算机，亲身体验一下“弯曲空间”这款软件。无论是否能完全理解其中的深意，至少可以切身体会到瑟斯顿博士那宏伟而奇妙的“魔术”。
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本文经授权节选自《庞加莱猜想：追寻宇宙的形状》（新星出版社，2025年8月版），第6章“20世纪80年代 天才瑟斯顿的光与影”，有删减。
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