微积分如何帮助我们理解世界？轻松入门

对于学理科的朋友来说，微积分并不陌生，但是作为一个文科生，我都是在30岁以后才知道微积分是干嘛用的。

它表面上看起来是很复杂的数学，以至于我很长时间都错过了认识它的机会，但实际上微积分是每个人都可以理解的概念。

它就像是宇宙说明书一样，不仅能帮助我们更好地认识这个世界，而且日常生活中的很多事都离不开它，像天气预报、地图导航、甚至很多疾病的治疗，它都在背后起作用。

那微积分到底是干嘛的呢？

这个世界不是静止的，而是在不停地变化的，在微积分发明以前，数学主要是用来描述静止的世界，那时候的人可以算三角形和圆的面积或者柱体的体积，但是你要问他们如果一个圆在膨胀，它的面积是怎么变化的？古人就无法回答。

同样，古代数学也是可以算速度的，但是只能算一段时间里的平均速度。比如你十分钟跑了1000米，每分钟的平均速度就是100米，但现实生活里，运动通常不是匀速的，可能你第一分钟只跑了50米，最后一分钟跑了200米，用平均速度就没办法精准描述整个运动状态。

所以你看，古代数学可以处理静态图形，但无法处理动态世界，可以计算结果，但无法描述过程。

而微积分要做的，就是把“变化”本身变成一种可以计算、可以预测的东西。它第一次发明了一套语言，可以精确表达世界在每一瞬间是如何变化的。

它包含微分和积分两个部分。微分是把世界切成无数个瞬间，看这一瞬间是怎么变化的。积分是把所有的瞬间拼装成一个完整的结果。

没有微积分，我们就无法理解风速怎么变、温度怎么扩散、人口怎么增长、行星运动为什么忽快忽慢，等一系列问题。

科学最重要的职能就是做预测，既然要预测下一刻会发生什么，那我们就要知道此时此刻的速度是多少，此时此刻的变化趋势是什么，那么必然要处理瞬间的概念。

但是，在古典数学里，没有对“瞬间”的合法定义，如果瞬间的时间长度等于0，你用距离除以0，数学上是不允许的。

如果瞬间的时间长度不等于0，假设我们把瞬间定义为0.01秒或者更短的时间，那你算的还是这0.01秒的平均速度，严格来说也不是瞬间速度。

所以如果你要纠结瞬间到底有多长，这就陷入了数学和哲学的双重矛盾，这是一个无解的问题。

微分的革命在这里就诞生了，它没有去定义瞬间是多长，而是让开了这个无解的问题，发明了极限的概念，让瞬间在数学上变成一个可以推理和计算的对象。

那什么是极限呢？

我们永远到不了瞬间，但是可以观察逼近瞬间这个过程的趋势。

于是，我们可以让时间间隔Δt不等于0，而是无限趋近于0。

在这里就会发现一个神奇的事情，当时间间隔越来越短的时候，变化率会稳定地趋近于一个确定的数值，这个数值就是瞬时的变化率。

我举个例子，假设有一个位置函数：

意思是，位置是时间的平方函数。

这个函数的意思是当时间T是1的时候，位置是1，时间是2的时候，位置是2的平方等于4，当时间是3的时候，位置是3的平方等于9。

现在我想要知道，当t=3这一瞬间的速度是多少？

我当然算不了“3的瞬间移动了多少距离”，因为“瞬间没有长度”。

但我们可以做一个动作：取越来越小的时间间隔来进行测算。

第一种情况，当Δt=1的时候，也就是3到4的时间跨度里，这之间的平均速度通过公式算出来是7。

第二种情况，把时间间隔再缩小，Δt = 0.1，也就是3到3.1这个时间跨度，它的平均速度约等于6.1。

第三种情况，把时间间隔进一步缩小，Δt=0.01，也就是3到3.01这个时间跨度，代入公式，算出来速度约等于6.01。

第四种情况，把时间间隔再再再缩小，Δt=0.0001，速度近似≈6.0001。

你发现没有，无论你把时间间隔缩到多小，只要它不是0，变化率就越来越接近6。

于是我们就可以做一个判断，当时间间隔缩小到趋近于0的时候，速度逼近6，那么，此时的瞬时速度就是6。

你可能会问，为什么不能跌破6，变成5点几呢？

因为这个变化率的趋势被数学结构锁死了：

你看这个公式得出来一个结论：时间为 3 的瞬间速度等于6+Δt，我们甚至可以往里面代入负数。

当Δt=-0.1，速度值是5.9

当Δt=-0.01，速度值是5.99

无论你怎么算，正负两边都在无限往6逼近，6这个数值就像有什么引力似的，让所有变化率都向它靠拢，6就是这个情况下的极限值，也是t=3的瞬时速度。

这就是微分的本质，它通过研究瞬间的趋势，让瞬间变得间接可以被计算。

而积分早在微分之前就有了，比如古代刘徽的割圆术：他为了计算圆的面积，把圆切成很多规整的多边形，每片的面积可以算出来，小片越多，总面积就可以算得越精准。这就是早期的积分思想。

有了微分以后，积分的意义彻底变了：积分不只是把静态的面积累加，而是把“无数个瞬间的变化”累加。

于是：

加速度积分 → 速度

速度积分 → 位置

温度变化率积分 → 温度分布

……

积分就从几何技巧变成了动态世界的总和。

那当年牛顿是怎么发明微积分的呢？

1665年，英国爆发大瘟疫，22岁的牛顿被迫回到老家，过上了与世隔绝的生活，他每天就思考一些大问题，比如行星为什么会绕着太阳走，为什么行星轨道是椭圆的，为什么它的速度有时快、有时慢？

当时开普勒已经发现了行星的椭圆轨道，但这些都只是观测经验，没有人能解释为什么。

于是，牛顿就想啊，如果没有太阳拉住行星，行星就会按直线的方向飞走，正因为太阳的引力在起作用，让行星的方向每时每刻都会改变那么一点点，每一次微小的方向变化，累积起来就会形成曲线轨道。

所以，如果想要知道行星整体是怎么运动的，就必须先知道它“每一刻”怎么运动。

这和古代数学的“割圆术”有点像：想知道圆面积，把圆切成很多小片。想知道整体的运动轨道，就把时间切成无数个小小的瞬间。

每一个瞬间，行星都会发生三件事：

1. 它有一个位置

2. 它有一个速度

3. 它每时每刻都会受到太阳的引力作用，位置和速度会被太阳改变。

下一瞬间的位置和方向，就是由这一瞬间决定的，把这些瞬间串起来就是一个完整的轨道。

要描述这些瞬间的关系，需要全新的语言——微积分。

于是，牛顿发明了流率的概念，也就是瞬时变化率：

速度就是位置的瞬时变化率。

加速度就是速度的瞬时变化率，也就是在一个无限小的时间里，速度变化了多少。

这是有史以来第一次给加速度赋予了数学含义。

其实在牛顿之前，伽利略就已经发现了加速度的物理现象，但那是一种经验总结，只能测量平均加速度，没有瞬时的概念。

而牛顿真正定义了加速度，而且是数学定义。

牛顿在这基础上才推导出了牛顿第二定律 ：F=ma。

意思是：当外力作用到物体上时，会让物体的瞬间速度发生变化，外力是导致加速度的原因。

再结合开普勒第三定律，牛顿推导出了万有引力公式。

行星的每一个运动瞬间都符合这个公式，这就是微分，而万有引力公式能够推导出行星的运行轨道，这是积分。

除了牛顿以外，莱布尼茨也在同时期发明了微积分，但是他并不是在处理行星轨道这种物理问题，而是从纯数学符号出发，尝试把无限小、导数这些概念符号化，让微积分变得跟代数一样好用。

今天的微积分符号体系基本来自莱布尼茨。所以牛顿把微积分的思想用到了物理层面，莱布尼茨发明了通用的微积分语法。

相比起他俩的年代，微积分已经迭代了很多，也有了非常广泛的运用，包括AI模型，股票的涨跌，推荐算法、火箭卫星的轨道，天气预报，甚至包括药物浓度在人体内的变化曲线，都要用到微积分。

就拿天气预报来说，天气由一系列“变化率”决定的：

- 气压变化率

- 温度变化率

- 水汽变化率

- 风速、风向的变化率

- 能量传递的变化率

所以天气预报本质上就是：解一组巨大的微分方程，然后把方程结果汇总，预测未来。

你看哈，微积分让我们拥有了描述动态宇宙的能力，让我们理解这个世界是有无数个细小的瞬间组成的，有了微积分以后，世界才变得可以计算，可以被预测。

所以，我们在理解微积分时，不光是在理解数学，而是在理解自然规律本身。