伍鸿熙：向未来的教师传授中小学数学

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翻译 | 陆柱家

校对 | 童欣

什么样的数学应该教给未来的数学教师，一直是数学教育中的一个长期悬而未决的问题。我们主张我们应该准确地教给他们，他们的工作所需要的：中小学数学。

良好的中小学数学教育需要教师有渊博的数学知识。毕竟，一个人不能教他（她）所不知道的内容。但是，至少在美国，我们仍然没有确定我们应该对未来的教师教什么样的数学，以使他们知识渊博^[12]。

在一篇众所周知的早在1990年的文章^[1]中，Deborah Ball 报道了她对5所大学中的252位未来数学教师的候选人（217名小学教师和35名高中教师）的学科知识研究。该研究集中在一个主题上：分数的除法。当出现  的除法和4个故事问题时，只有30%的人能够选择正确代表这种除法的问题。在一项较小的研究中，217名教师中的35名（25名小学和10名高中）被要求创建一个他们自己的应用问题来正确表示这个除法。35位教师中只有4位（即11%）可以提供一个令人满意的答案，所有这4位都是高中老师。Ball 与不打算从事教学工作的大学数学专业的学生（分别的）面谈关于分数除法的同一主题并未产生更好的结果。她的结论是，未来教师的学科准备迫切需要我们认真重新评估。

探究如何最好地帮助未来教师获得教学所需的数学理解自然早于 Ball 的研究，至少可以追溯到20世纪初。在新数学阶段的衰落时期1960年代，E.G. Begle 也思考了教师的学科知识和他们的学生成绩之间可能的相关性。在他1972年对308名高中代数教师的研究^[2]中，他没有发现任何证据表明教师的数学训练数量会导致学生成绩的提高。这一发现在1979年得到进一步证实^[3]。

自从 Begle 和 Ball 的工作以来的几十年里，他们发现的现象变得愈加清晰。我们将首先分析 Ball 关于  的数据，通过接受这样一个事实，即中小学数学是一门独立的学科，与我们在大学教授的数学不同，我们可以正确地看待这些数据。

我们将从两个角度探讨分数除法的主题。首先，我们描述小学生需要知道的回答 Deborah Ball 的问题的知识，其次，大学生在代数课程中关于分数除法可以学到的内容。由于篇幅所限，我们将只关注两者之间的关键数学差异，而不涉及教学后果。

当分数除法的话题在小学高年级被提出时，学生们面临一个真正的概念挑战：分数的概念比他们曾经遇到过的任何事物都具有更高程度的抽象，而除法的概念是关于分数的4种算术运算中最难以捉摸的。如果学生没有被告知这些概念的确切含义，他们就无法克服任何一个障碍。亚利桑那州小学老师 Kyle Kirkman 说：

不幸的是，中小学数学通常不给出分数的一个精确定义，而是用模糊的隐喻向学生解释分数，至少不是学生可以用以推理分数的4种运算。我们必须首先描述针对这种可悲情况的补救措施。我们将根据小学生感觉“真实”和“有形”的东西来定义分数，现在普遍接受的定义是所谓的数直线 (即数轴——小编注)上的一个点（见[9,§12.1-12.2]或[11,第1-18页]），如下所示。我们假设我们可以判断一条直线上的两个线段（即闭区间）是否具有相等的长度。数直线是一条水平线，其上的整数 (本文中，凡（非零）整数皆指正整数。——译注) 已被标识为点，因此数字1,2,3,...相继放置在0的右侧，线段[0,1],[1,2],[2,3],...都具有相同的长度（图1）。分母等于（例如）5的分数由整数和分点组成：每个线段[0,1],[1,2],[2,3],..被划分为5个相等的部分，即5个相等长度的线段（图2）。我们称这个序列是1/5序列。对每个非零整数 ，我们同样可以引进  序列。（观察每个  的  序列与整数序列的相似性。）根据定义，分数是所有非零整数  的 序列中所有点的总和。

接下来，我们介绍某些线段的长度概念。根据定义，线段 （ 是一个分数）的长度为 。因此，与  长度相同的线段现在也具有长度 。为了使用这个定义，我们引入了线段集合的拼接（concatenation）比如  和  一是把这些线段端点接端点地放在一起。(如下图)由此可见3个部分的拼接长度当[0,1]被分成（假设）7个相等的部分时是 ，因为该线段的长度与  相同。

由于除法是基于乘法的，所以我们会直截了当地讨论分数乘法而不讨论等价分数或分数加法。根据定义，  是当线段  分成5等份时2个部分的拼接长度。一般来说，类似地定义两个分数的乘法（见[11,§1.5]或[15,§1.4]）。（对于小学生而言）证明以下乘积公式成为一个不平凡的事实：

见[11,定理1.5,第60页]。

这个分数乘法的定义不是突然出现的。如果在  的定义中，我们将分数  替换为 ，那么  的定义（"当  被分成5个相等的部分时2个部分的总长度"）正好变成了上述  的定义，所以（毫不奇怪） 。此外，如果我们考虑整数的乘积，比如 ，我们也可以将其视为分数  和  的乘积。然后分数乘法的定义说这个乘积是线段[0,3]分成一个相等的部分时2个部分（即当每个部分都是线段[0,3]本身时）的总长度。换言之，乘积 ，无论视为两个整数的乘积还是两个分数的乘积，都只是 。从这个角度来看，我们看到分数乘法的这个定义是熟悉概念的极自然的产物。

这个乘法概念与现实世界有什么关系？对于小学生来说，这是一个重要问题，如下面的问题所示。

例1 如果  桶水正好装满一个水容器，并且如果桶的容积是5.5升，那么容器的容积是多少？

解 重要的是理解给定的数据。由于根据定义 ，容器包含4桶水和  桶水。4个桶的总体积是清楚的：  升。现在，学生必须理解（和老师应该解释）"  升的  "的意思是"当  升分为3个相同体积的部分时，2个部分"的总体积。根据我们对分数乘法的定义，这恰好是数直线上的  升，它的"1"被解释为"1升"。根据分配律，容器的体积为

这样，"5.5升的  "等于"  升"。

顺便说一句，这解释了为什么教科书不定义分数乘法，他们给出死记硬背的指令："of"这个词的意思是"乘"。

接下来，除法。我们要先回顾一下在整数之间除法的概念（见[9,第97-100页]）。我们观察到，虽然我们可以允许任意两个整数相加或相乘，但我们不能随意对任意两个整数相减或相除。例如，在整数的范围内，不允许减法 ，也不允许 。让我们解释后者：在整数中，我们可以写 （相应地 ），只是因为我们提前知道21（相应地15）是7（相应地3）的整数倍。例如，除法  的定义为：

这就是为什么 。这个定义非常清楚地表明，在没有事先保证21是7的倍数的情况下，整数  将无法定义。等价地，如果我们不知道21个对象可以分成3个相等的7个对象一组，那么我们不能谈论 。如果学生发现等式（2）令人困惑，提醒他们（2）与减法的定义没有什么不同：

这次审查之所以很重要，在于整数之间的除法是作为分数之间除法模型的，因为整数也是分数（见[9,第284-289页]）。所以，根据（2），除法 （ 只是 ）将没有意义，除非在下述意义下  是  的分数倍：对于某个分数  有 。（这个  是唯一的；见[9,引理,第286页]或[11,引理1.7,第75页]。）假设有这样一个 ，我们可以用与（2）中完全相同的方式定义 ：

见[9,第289页]或[11,第75页]。

令人惊讶的是，与整数的情况相比，事实证明（3）右端的这样一个分数  总是可以被如下地找到：

从（4）可以看出，如果我们令 ，那么 ，并且（3）将允许我们得出结论

这当然是分数除法的倒置和乘法规则。这种推理被认为是完全通用的。

我们现在给出一个应用问题，其解需要利用Ball的文章^[1]中的除法 ，我们还将解释这是如何产生的。

例2 多少杯水可以装满一个容积为  升的罐子，如果杯子容量为  升？

解 令  杯水充满罐子。利用例1中关于水容器容积的推理，我们看到

根据分数除法的定义，这意味着

最后一个等式是例行计算。

我们现在已经做了足够的工作来展示学校老师对小学生正确地教分数除法所需要的最少的数学知识。我们再次指出，这最低限度的知识通常并不是小学生在学校里被教授的。尽管如此，现在是时候讨论 Ball 1990年文章中关于为什么大学数学专业的学生也可能不具备此类知识的问题了。我们在下面的讨论中将只能提供最简单的大纲。

一门关于抽象代数的大学课程，它包括数学上定义分数的正确方法，本质上是对学生第一次介绍抽象数学。这样一门课程的主要目的是引导学生在所谓的抽象数学的新环境中迈出第一步。因而这些课程不懈强调的是正确的定义和证明，以及通过使用逻辑将所有复杂的数学现象简化为最基本的要素。对于手头的情况，让我们把自己放在学生已经拥有整数集——用  表示——的关头，我们并意识到，从抽象的角度来看  的主要缺陷是除了1和-1，没有其它非零整数有一个乘法逆（multiplicative inverse），即，给定一个整数  或-1，不存在整数 ，使得 。消除这个缺陷的方法是将Z扩展为包括所需的乘法逆元以形成的分式域（field of quotients）。这个  当然就是我们所说的有理数（rational numbers）（分数和负分数），但在抽象设置中，我们不能仅仅将所有新数  等添加到  中，并宣布，"你们在那里！"。毕竟，这些新数是什么，以及我们如何将它们相加和相乘？我们希望学生学习如何使用类似的推理将任何整环（integral domain）扩展为一个域（field），使得整环的每个非零元素都将在域中有一个乘法逆。这样做的方法是形成所有有序整数对的集合 （其中  和  是整数，满足 ），并在这个集合中引入一个等价关系（equivalence relation）（它本质上声明了叉乘算法有效），然后根据定义  是等价类（equivalence classes）集。之后，我们可以证明  中的每个整数  都可以等同于包含  的等价类，并且我们还把包含  的等价类写成 ，以便使新符号与旧符号一致。特别地，这意味着对每个整数  等同于。

对于初学者来说，只是习惯了这种一般的结构，并且了解了  中的每个"数"现在都是一个等价类（每个包含无穷多个数）这一思想，这已经是一份全职工作了。但更多的内容还没有到来。到目前为止，我们只有包含  的一个更大的集合 ，但我们还不知道如何在  中进行算术运算，即，给定  的两个任意元素，我们还不知道如何将它们相加或相乘。因此，下一步是在 （它是等价类集）中定义元素相加和相乘的规则，目的是表明  实际上形成了一个域，这尤其意味着  的每个非零元素  将具有一个乘法逆 ，即，使得 。以下是相关的定义：对于Z中的 ，其中  和 ，有

我们强调，刚刚发生的重大转变即在此。在中小学数学中，分数被认为是学生应该了解的自然的一部分；两个分数可以相乘的想法被认为是理所当然的。需要解释的是，两个分数的乘积与我们周围的日常现象有什么关系，以及为什么积公式（1）是正确的。相比之下，抽象数学从  发展到  只考虑作为已知量的整数，因此将未知的非整数有理数相加或相乘是一个等待填补的空白；这是通过明智地定义两个有理数的和与积必须是什么来完成的。 的内部结构是这里唯一关心的问题，而不是  如何与日常现象有关。特别是，等式（1）是中小学数学中的一个定理，而同样的陈述（5）仅仅是大学数学中的一个定义。

我们现在可以解释为什么大学数学专业学生通常无法向小学生解释如何将两个分数相乘。首先，这些数学专业学生的大多数（如果不是全部的话）在他们自己上小学时都没有获得这种知识^[16]。更重要的是，他们在大学数学课程中学到的分数是关于有理数集作为一个域的抽象结构，而不是关于分数与日常经验的关系。所以，并不是大学数学专业的学生都不懂分数，但他们对分数的理解并非是小学生所顾虑的。就乘法是除法的基础而言，同样的评论将适用于分数除法的中小学数学，正如我们现在所展示的。

作为大学数学使命的一部分，约简所有现象到基本要素，中小学数学中的4个算术运算减少到只有两个，即加法和乘法。在一个域中，根据定义减法  是加法 ，其中  是  的加性逆（additive inverse），根据定义除法  只是乘法 ，

其中  是b的乘法逆。由于非零有理数  的乘法逆显然只是倒数 ，所以现在倒置和乘法规则就像乘积公式（5）一样是一个定义问题：

从抽象数学的观点来看，"除法"只是处于正确位置的乘法。数学专业的学生此时通常会忙于探索新的代数结构（群,域,环等），而根本不顾及任何除法或其在现实生活中的影响带来的任何困惑。如果他们不能帮助小学生克服"我们的问题不是推理，只是倒置和乘带来的任何困惑。如果他们不能帮助小学生克服"我们的问题不是推理，只是倒置和乘法"这样的恐惧，这不是再次——因为他们知道的比学校老师少，而是因为他们知道一些不同于小学生所关心的事情。

通过一个小话题分数除法我们可以看到所谓的大学数学（university mathematics）（大学教授的数学，是为了让学生做好研究数学的准备）和中小学数学（school mathematics）（在K-12学校教授的数学）之间关键的差别。前者的一个主要目标是向学生介绍抽象数学，主要强调的是逻辑完整性，并利用抽象来实现这一目标。不管这做得多么温和，但也太严格、太复杂而不适合在学校使用。主要来自触觉体验世界的学校学生需要一座桥梁来帮助他们过渡到抽象世界。中小学数学是那座桥，它应该被认为是一门独立的学科，致力于定制大学数学以满足学生的需求，就像化学工程是定制抽象化学原理以满足人类需求的学科一样。从这个意义上说，中小学数学是数学工程^[7]。

但是，有好的工程，也有糟糕的工程。好的工程总是遵守与其相关的科学学科的基本原理——例如，机械工程不从事设计永动机——但糟糕的工程可能会做相反的事情。就数学而言，至少在美国糟糕的数学工程已经工作了很长时间；它产生的中小学数学似乎是对数学基本原理的嘲弄^[16]。但在继续之前，让我们陈述数学基本原理的一个版本^[8]：

(i) 明确的定义（Clear definitions）：精确定义了每个概念，以便用于推理。

(ii) 逻辑推理（Logical reasoning）：每个断言都得到以下推理的支持：解释为什么它是真的。（据了解，在少数特殊情形，如代数基本定理，可以推迟推理。）

(iii) 准确的语言（Precise language）：在真假之间的区别是绝对的学科中，没有歧义的容身之地。

(iv) 连贯性（Coherence）：概念和技能不是零散的和碎片，它们是一个连贯整体的一部分。

(v) 目的性（Purposefulness）：每个概念或技能都是有目的的。

在前面关于分数除法的讨论中，我们已经看到了它们的全部作用。因此，分数、分数乘法和分数除法都被精确定义，使得利用推理来解释公式（5）和（6）成为可能。中小学数学中精确度的一个例子是整数除法的定义，它说明了为什么"  "对于两个任意整数  和  并不总是有意义的。至于"连贯性"，我们煞费苦心地解释了分数乘法的定义是如何从分数的定义以及整数乘法的定义演变而来的。我们还展示了分数除法的定义是以整数除法的定义为模型的。最后，虽然分数乘法和除法概念的目的非常明显，但还有许多其他概念或技能在学校课程中的存在并没有得到很好的解释，例如，为什么学习如何四舍五入

到最接近的十或最接近的千（见[9,第10章]），为什么取实数的绝对值（见[15,第130-131页和[14,第120, 123页]）等。另请参阅下面对斜率（slope）的讨论。

我们将参考遵循数学基本原理作为PBSM（Principles-Based School Mathematics（基于原理的中小学数学）；见[5]）的中小学数学。

我们现在有了必要的工具来重新审视教师的数学教育问题，这个问题由 Begle, Ball 和其他人发现，但他们并未给以确切表达。在我们的语言中，他们的信息是，要培养出具有数学知识的教师，我们必须教授他们 PBSM，而不是大学数学。这是因为中小学数学和大学数学是相关但本质上不同的学科，因此了解大学数学并不意味着了解 PBSM。我们用一个小话题——分数除法——强调了他们的不同之处，但是还有很多其他这样的例子。让我们简要地看另外两个附加的例子以进一步为我们所说的理由辩护：一条直线斜率的概念，以及学校几何课程的广泛问题。类似的例子贯穿了6本书（见[9-11,13-15]）。

首先，考虑中小学数学如何处理"斜率"。典型的出发点是让学生保留他们在 Euclid（欧几里得）几何中对直线的幼稚概念，并根据这种幼稚的概念定义斜率。这样，在坐标平面  中给出直线L。假设L不是铅垂的（vertical）（即不平行于  轴）。然后中小学数学将  的斜率定义为下列商

其中  和  是L上任意两个不同的点。我们可以向学生解释（非铅垂）直线的斜率是其相对于y轴"倾斜"的测量值（见[15,第338-346页]）。顺便说一下，这个解释是概念目的性的一个例子。无论如何，关于斜率的核心事实是以下定理（见[14,定理6.11,第354页]）。

定理1 线性方程 （ 和  是常数）的图像是一条斜率为  的直线，反之，一条斜率为m的直线是方程  的图像。

斜率的定义中隐藏着一个微妙之处：我们怎么知道，无论在L上选择哪两个点  和 ，（7）的右边都不会改变？大多数学校的教科书都回避这个问题，导致学生对斜率的理解产生很大的混乱。事实是，要回答这个问题，我们需要两个三角形相似的定理，如果它们有两对相等的角(原文为"if they have a pair of equal angles（如果它们有一对相等的角）"。——译注)。很少有学校课程在处理斜率主题时涵盖相似三角形。因此，很少正确定义斜率。如果一个概念没有正确的定义，那么就不可能有涉及该概念的定理。因此，定理1几乎从不在中小学数学中证明。

毫不奇怪，大学数学处理斜率，忽略对学生幼稚知识的任何提及，并简单地将平面中的一条直线定义为方程  的图像（ 和  是常数）或 （铅垂线）。那么  图像的斜率定义为m。很简单！因此，简洁和完全清晰是以牺牲学生的直觉为代价的。（不幸的是，有些教师的数学教科书忽略了对数学工程的需求，也以同样的方式定义一条直线。）显然，对直线斜率的这种理解虽然在数学上是正确的，但不会帮助中学生接受斜率的概念。

最后，关于学校几何课程的一些评论。这个课程有需要纠正的明显缺陷。我们已经提出了相似三角形教学与斜率教学相协调的必要性；这种需求通常得不到满足。还需要解释全等（congruence）和相似（similarity）的概念，因为它们很自然地出现在日常生活中。但是，学校课程在Euclidean几何课程中通常只教授三角形（triangle）全等和相似，而从不教授一般几何图形的全等和相似。这不仅是通识教育的缺陷，而且对中小学数学课程本身也是有害的，因为抛物线的全等和相似的一般知识将很好地阐明二次方程和函数的主题（见[13,§2.1和§2.2]）。最后但并非最不重要的，Euclidean几何课程通常被炫耀作为学校教育的皇冠上的明珠，它教学生如何在公理的基础上利用逻辑严格地证明一切。我们越早消除学校学生的这种错觉越好！的确，从Hilbert（希尔伯特，1862-1943）的工作开始，我们就知道Euclidean几何的公理系统异常微妙，其内部运作并不适合学校学生的教育（见Hartshorne（哈茨霍恩）著作^[4]的前几章；即使是大学数学专业的学生也会付出沉重的代价）。中小学数学教育应该远离关于Euclidean几何公理系统这种编造，而是尝试引入相当多的冗余假设进入Euclidean几何，以尽量减少学生一开始证明许多无聊、明显且难以证明的定理。比较[15,第4-5章]和[13,第6-8章]。

不用说，大学数学的任何部分都不会在高中几何的演示中解决这些问题。这里需要严肃的数学工程，使平面几何真正为高中生所用。

到目前为止，我们一直主张有必要对未来的教师教授 PBSM。隐含的假设是 PBSM 总是一直在身边，并准备好接受。这是所做的一个令人愉快的假设，甚至是一个可以相信的更令人愉快的假设。然而清醒地意识到，世界上各种有缺陷的中小学数学很可能永远无法定制大学数学在不违反一项或多项数学基本原理的情况下供学校学生使用。Alan Schoenfeld (舍恩菲尔德) 似乎是教育工作者中第一个在 1994 年承认，尽管他认为应该存在类似 PBSM 的东西，但目前还没有书面证据证明确实如此^[6]。我们可以在 2021 年报告，这个假设不再是一个假设：确实存在中小学数学的 PBSM 的完整阐述。它在 6本书中进行了描述: [9, 11]适合 K-5 年级教师，[10, 11]适合 6-8 年级教师，[13-15]适合 9-12 年级教师。

我们可以解释对 PBSM 13 年的完整阐述这样的必要性。已经有一些文章和书籍证明了在中小学数学中将推理引入一两个特定主题的可能性，但如此小规模的讨论无法揭示数学基本原理的本质。例如，为了让教师了解精确定义的必要性，我们不能只向他们展示一些关键主题的 PBSM，因为教师需要在中小学数学的各个方面体验这种需求，包括最普通概念的定义，例如百分率，比，速度，方程，变量，角度，不等式图像等. 考虑连贯性问题: 当通过显微镜观察中小学数学时，它通常是不可见的，例如关注分数加法或分数除法. 但是当分数的主题被作为一个整体来考虑时，那么等价分数定理将分数的所有不同部分一起变得有些令人叹为观止 (见[11, 第 28-86 页])。在稍大一点的规模上，当除法的概念被证明在整数，分数，有理数和实数上都是相同的时，人们也可以看到工作的连贯性^[9]。我们应该补充的是，如果没有对中小学数学的这种纵向概述，学校几何课程的缺陷可能就不会被发现。

6 本书对 PBSM 的阐述，除了为学生的中小学数学课本提供基础之外，还详细展示了我们如何为教师提供更好的数学教育。在美国，对教师的教学分为 3 个年级段: 小学(K-5 年级)，初中(6-8 年级)和高中(9-12 年级)。如上所述，所说到的 6 本书中编写时考虑到了这些年级，因此，总的来说，他们现在对由 Begle, Ball 等人隐含地提出的原始问题提供了一个答案，即我们应该教老师什么样的数学? (在[15, 第 xxi 页]给出了对这个问题更详细的答案。) 毋庸置疑，中小学数学课程现在不是——也永远不会是——都一样，但尽管如此，我们希望这样一个完整的 PBSM 阐述将有助于更好的中小学数学教育，因为教育工作者无需执行必要的数学工程。现在应该相对容易地自由修改现有模型^{[9-11, 13-15]}，以满足不同的需求。

致谢（略）

[1] D. L. Ball, The mathematical understandings that prospective teachers bring to teacher education. Elementary School Journal 90, 449-466(1990)

[2] E. G. Begle, Teacher knowledge and student achievement in algebra. SMSG Reports, No.9, https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED064175.pdf(1972)

[3] E. G. Begle, Critical Variables in Mathematics Education: Findings from a Survey of the Empirical Literature. Mathematical Association of America(1979)

[4] R. Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond. Springer(1997)

[5] R. C. Poon, Principle-based mathematics: an exploratory study. Dissertation at University of California, Berkeley, http://escholarship.org/uc/item/4vk017nt(2014)

[6] A. Schoenfeld, What do we know about Mathematics Curricula? J. Math. Behavior 13, 55-80(1994)

[7] H. Wu, How mathematicians can contribute to K-12 mathematics education. In Proceedings of International Congress of Mathematicians, Vol. III(Madrid, 2006), European Mathematical Society, 1676-1688, http://math.berkeley.edu/~wu/ICMtalk.pdf(2006). 中译文链接>> 数学家如何为中小学数学教育做出贡献

[8] H. Wu, Phoenix rising. Bringing the Common Core State Mathematics Standards to life. Amer. Educator 35, 3-13, www.aft.org/pdfs/americaneducator/fall2011/Wu.pdf(2011). 中译文链接>>伍鸿熙：凤凰涅槃——让核心数学标准焕发生机

[9] H. Wu, Understanding Numbers in Elementary School Mathematics. American Mathematical Society, Providence(2011). 有中译本，中译本书名《数学家讲解小学数学》，赵洁、林开亮译，北京大学出版社.

[10] H. Wu, Teaching School Mathematics: Algebra. American Mathematical Society, Providence(2016). 有中译本，中译本书名《数学家讲解中学数学——代数》，程晓亮、车明刚、郑晨译，北京大学出版社.

[11] H. Wu, Teaching School Mathematics: Pre-Algebra. American Mathematical Society, Providence(2016)

[12] H. Wu, The content knowledge mathematics teachers need. In Mathematics Matters in Education, edited by Y. Li, W. J. Lewis and J. Madden, Springer, Cham, 43-91, https://math.berkeley.edu/~wu/Contentknowledge1A.pdf(2018)

[13] H. Wu, Algebra and Geometry. American Mathematical Society, Providence(2020)

[14] H. Wu, Pre-Calculus, Calculus, and Beyond. American Mathematical Society, Providence(2020)

[15] H. Wu, Rational Numbers to Linear Equations. American Mathematical Society, Providence(2020)

[16] H. Wu, Learnable and unlearnable school mathematics. https://math.berkeley.edu/~wu/AE2020A.pdf(2021)

本文原载于《数学译林》, 2022, 41(3)。

注：本文封面图片来自版权图库，转载使用可能引发版权纠纷。

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