对话丘成桐等三位大师：停滞是研究的常态，要学会享受“挣扎”

丘成桐、孙理察等2026年03月11日约 34 分钟

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2026年恰逢几何分析学科发展五十周年。1976年，丘成桐攻克卡拉比猜想，开启了几何与分析交融的新方向。此后，他与众多合作者如沃尔夫奖得主孙理察（Richard Schoen）、几何分析学家利昂·西蒙（Leon Simon）、郑绍远等共同发展了几何分析领域的一系列重要方法与工具。如今，几何分析已成为连接数学与物理、贯通纯粹与应用研究的关键桥梁。

丘成桐院士与他的两位老友——孙理察、利昂·西蒙进行了一场特别访谈，回顾了现代几何分析学科萌芽与奠基的阶段。早在半个世纪前，他们便在斯坦福校园结下了深厚的情谊：丘成桐、西蒙是孙理察的博士导师，三人不仅是生活中的挚友，更是学术上的黄金搭档，共同见证、推动了极小曲面理论与广义相对论中正质量猜想证明等难题的突破。

西蒙在访谈中指出，数学研究绝大部分时间都在停滞不前中度过，若无法享受这种被“卡住”的状态，便难以取得成功；孙理察强调了独立思考的重要性，认为学生不应止步于阅读文献，而要勇于发展自己的观点；丘成桐则以“毅力、自信、勇气”寄语年轻一代，希望他们敢于挑战重要问题。

本访谈拍摄于2024年国际基础科学大会期间，由ICBS独家授权《返朴》整理、翻译（访谈视频见文章开头，配有英文字幕）。

受访 | 丘成桐、孙理察、利昂·西蒙

采访 | 王慕道（美国哥伦比亚大学数学系教授）

翻译 | 叶凌远

审核 | 杨杰

访谈视频（英文）| 王若水、牛芸、王一婷、余景浩

王慕道：非常高兴国际基础科学大会（ICBS）提供这个机会，让我们能在这样一个轻松融洽的氛围中采访三位数学家。

今天的访谈分为四个部分，想聊聊你们对数学的兴趣、研究经历、对数学人才培养的看法，以及对本次大会的感想。

首先我想很多人都好奇，是什么激发了你们对数学的兴趣，又是什么让你们决定选择数学家作为职业？

选择数学的契机

丘成桐：对我来说，这始终是出于好奇心和数学之美。我在13岁时开始对数学产生兴趣，当时读初二，按美国学制大概是八年级。那时我学习平面几何，发现它极其优美，仅仅从几个简单的公理出发，竟能推导出那么多美妙的定理。我开始尝试摆弄这些公理来构造一些有趣的定理，结果非常有收获。从那时起，数学上的重要“进展”总是深深触动我，让我对未来充满好奇。我也对费马定理和那些陈述简单的定理很感兴趣。我曾以为自己能证明它们，当然没有成功。但这也逐渐引导我深入数学的美丽世界。

当时香港没有多少专业图书，甚至连数学图书馆都没有。我只能去书店，站着读那些买不起的书。我发觉见证新事物的诞生是一件非常有趣的事。尤其是当你看到某个理论被成功证明之后，它不仅能经受住漫长岁月的考验，更能产生深远的影响，甚至改变整个世界。无论是工程学还是物理学，都在使用这些定理，我觉得这很迷人。

孙理察：我在美国农村长大，具体是在俄亥俄州的一个农场。我的父母完全没有受过教育，两人都没有高中文凭。我有很多兄弟姐妹，其中两个哥哥都是数学专业的，都上了大学，现在也是博士了。他们对我的影响很大，实际上正是他们给我带书回来读。在我成长的那个年代，有一些非常扎实的高中数学书籍。大约在八年级，通过阅读兄长带回的书，我开始理解数学是非常优美的——通过基本的推理，你可以建立起无可辩驳的真理。换句话说，可以明确判断一个陈述的真伪，这对我非常有吸引力。

另外我觉得还有一个因素，就是当时正处于所谓的“斯普特尼克时代”（Sputnik era，1957年苏联成功发射人类历史上第一颗人造地球卫星“斯普特尼克1号”，标志着美苏太空竞赛开端——编者注），太空竞赛如火如荼，美国举国上下都在大力推动数学和科学的发展，所以我想这大概也是（影响我走上数学道路的）原因之一。

我的高中老师也功不可没。当我九年级刚进高中时，有一位老师会给我开小灶，他利用自习课时间单独教我，对我格外关照。这些经历改变了我的人生轨迹。

王：利昂，你来自澳大利亚，经历可能有所不同。

利昂·西蒙：我的成长经历确实非常不同。我是在南澳大利亚的阿德莱德长大的，那是南澳州的首府。我早年没怎么真正接触过数学。在高中，虽然也学习了欧氏几何之类的东西，但我当时并没有表现出特别的天赋。直到上了大一，我才突然发现，那些数学课对我来说竟然如此清晰和简单。反而在高中时，我学得挺吃力，得费点劲才能拿到不错的成绩。那时我绝对没什么过人天赋，至少表面上看不出来。这种改变直到上了大学才发生。不知怎的，我开始觉得数学既刺激又充满挑战。解决难题会带来一种成就感和兴奋感。

王：我们想听听故事。我想知道有没有什么特定的事件、经历，或者哪位老师，真正激发了您最初对数学的热情？有什么故事可以分享吗？

丘：对我来说，有一件事非常重要，就是我开始对几何产生兴趣。那时候我每天从家去高中，中间得坐火车。我大约早上6点半醒，7点左右出门。路上要花一个半小时，我觉得这段时间浪费了太可惜，就开始边走路边思考数学。我脑子里装着这些几何公理，就开始琢磨，尝试构造一些有趣的东西。这里面是有规则的，给定三角形的边长、角度、角平分线的长度等，我要画出三角形的三条边和三个角。我大概总结出了5种情形。我把这些情形都试了一遍，试图用尺规作图把它们画出来。

王：所以就是一边走路，一边……？

丘：对，走路的时候。在脑子里琢磨如何用尺规作图把它画出来，那种感觉很不错。我当时念初二，对此颇为自豪。只有一个情况令我苦思不解，现在还记得清楚：给定三角形的一角、对边长度和其角平分线的长度，仅用圆规和直尺，能否把三角形画出来？我绞尽脑汁，但总不得其解。这令人丧气——我的意思是，按理说这应该可行，但偏偏就是做不到。我费了很大功夫，记得当时还问了老师，但他也答不上来。这让我相当失落，因为我本以为自己能解决所有情形，偏偏这一个无能为力，一定是哪里出了问题。但当时没有图书馆，我也不知道该怎么办。

那时我喜欢在周末放学后去书店。我们星期六还要上半天学，所以星期六吃完午饭，我就跑去书店看书。然后有一天，在书店泡了几个小时后，我发现了一本书，是一个日本人写的。很幸运的是，我竟然看到了这个问题，那本书里提到了它。而且书中证明了这种情况用尺规作图是解不出来的。

西蒙：那一定让您感觉很好。

丘：确实。另一方面，它是用伽罗瓦理论来证明的。虽然只是简单的伽罗瓦理论，但我当时才初二，所以我无法理解这个证明，只能看个大概。但我仍然觉得这很迷人。也许正是从那时起，我开始训练自己如何提出好问题，如何探索一个完全陌生的全新世界。对我而言，这是作为研究生涯开端的一次极佳锻炼。

王：孙理察，你小时候有没有什么特别的经历或故事？

孙理察：如我所说，我在农场长大，农场里很多活都比较辛苦，有些还很枯燥。比如犁地。当你犁地时，一次只能翻很小的一垄，耕完得花上好几天。所以和丘教授类似，我会坐在拖拉机上做脑力劳动，思考数学构造和定理。我认为这其实非常有用，因为它让我有大段时间去培养自己思考事物的方式。所以在这一点上，我认为在农场工作实际上对专注力、思维的集中和提高是有好处的。

还有一件事，我刚才提到我的高中老师。除了那位对我非常上心的数学老师，高三那年物理老师还送了我人生的第一套西装。

王：那是您第一套也是最后一套西装吗？

孙理察：那一套我早就穿不下了。但说回正题，他认为我很有前途，就带着我和我母亲去了附近镇上的服装店，给我买了一套西装。这某种程度上鼓励了我，让我相信自己未来能有所作为。

丘：多么特别的经历。仅仅是表达一份善意，就能给年轻学生带来这么大的鼓励！我认为这非常重要。

西蒙：是的，这些举动的影响比我们预料的更为深远。

西蒙：我的故事有点不同。直到大一之后，我才开始真正认真思考数学。不过大一也有些经历让我印象深刻。我们有一位讲师，他甚至没有博士学位，是一位男士，名叫格雷先生。他人很好，非常朴实，性子很慢。他的板书非常漂亮，讲课也非常清晰。那时我还不知道自己将来会专攻数学。我原以为上完大一这门课，和数学的缘分就到此为止了。我还需要一些鼓励。关于他的课，有一点我记得特别清楚：当讲到一些比较微妙难懂的地方时，他会说类似这样的话：嗯，这部分很难。对我来说，这反而是莫大的鼓励，因为你经常会遇到那些喜欢炫技的老师，他们会说，哦，这太简单了。但这其实对学生没有帮助，反而会让你觉得更受挫。所以，大一的那些经历不知怎的对我非常有帮助。大约就是从那时起，我开始认真地思考数学，以及数学到底意味着什么。然后我开始意识到，也许我真的可以专攻数学。

半个世纪的友谊

王：孙理察的博士导师是丘成桐和利昂·西蒙。我们想知道，关于这段特殊的时光，有没有什么特别难忘的经历？

孙理察：和所有的学生一样，和导师见面的时候我非常紧张。但我的导师们都非常热心、随和，因此氛围很好。其实我和利昂见面挺多的，但那时他已经成家了。我和丘一起度过了非常长的时间。

丘：这基本上算是我们三人相识50年了。1973年到1974年，那是我们第一次开始合作，在1974年。

西蒙：是的。特别的时光。

丘：我们合写了一篇自己非常引以为豪的论文，但被拒稿了。

西蒙：这事我记得很清楚，我们当时非常沮丧。没记错的话是被《数学年刊》（Annals of Mathematics）拒稿了。

丘：（拒稿人其实是）我的朋友阿尔姆格伦（Almgren），他后来承认了这事，还说“噢，这其实是一篇非常重要的论文。”

西蒙：但幸运的是，这篇论文被《数学学报》（Acta Mathematica）接受了，也不比《数学年刊》差。

丘：那是50年前的事了，整整50年前。这的确是件值得纪念的事。

西蒙：但那段时光于我而言尤其影响深远。因为我当时刚从澳大利亚的一所小学校出来。阿德莱德大学，你知道，虽然也算世界前100名的大学，但也仅此而已。初到斯坦福，我就像个初出茅庐的新兵。丘（成桐）的到来以及我与孙理察的互动，在那段时期确实塑造了我，产生了持久的影响。

丘：那是一段峥嵘岁月。我认为非常重要的是，大卫·吉尔巴格（David Gilbarg）真的很看重你。

西蒙：是的。没错，这也正是斯坦福那些教授们的特别之处。虽然他们都是年长的前辈，早已功成名就，但对我们所有人都非常支持。

丘：尤其是大卫·吉尔巴格。

西蒙：是的，尤其是吉尔巴格。

丘：还有罗伯特·奥瑟曼（Robert Osserman）。

西蒙：奥瑟曼也是。那是一个卓越的环境，非常了不起。

孙理察：显然，那些年对我来说也非常美好。我并非刚入学的新生，其实早一年就到了。进来的时候我并不确定自己想做哪个方向。我在分析方面有很好的基础，代数方面相对弱一些。我第一年选了一门几何课程，这很幸运，因为后来我们做的正是这个领域的研究。能有这些合作伙伴，我很走运。（要不是他们，）我都不知道自己还能跟谁做研究。

王：所以这是半个世纪的友谊了。

西蒙：是的，一点没错。

王：所以你们认为友谊是（做学术的）一个重要因素。

西蒙：绝对是，非常重要。我们在某种程度上都在努力争取同行的尊重和认可。当时的数学系氛围非常融洽，特别是我们三个人的关系，真的很难得。

丘：那时候我几乎所有时间都泡在办公室。

孙理察：我记得有一次，有人晚上九点钟闯进了你的办公室。

丘：哦，对，他还带着刀。

西蒙：你应该讲讲那个故事。

丘：要知道，斯坦福是一个非常宁静、和平的校园。但我刚到斯坦福的那年，学校大教堂里发生了一起谋杀案。

西蒙：对，就在斯坦福纪念教堂里，那是一桩悬案。

丘：大概过了几天，凶手出现了。当时我晚上在办公室工作。晚上8点左右，这家伙路过我办公室，还带着刀。真的吓到我了。

孙理察：带着刀？

丘：是的，兜里揣着把刀。

西蒙：一把很大的刀，他也是个大块头。

丘：他问了我一些问题，我现在都记不清了。万幸的是，他走了。

西蒙：不光是系里的学术研究，丘对大家的社交生活也产生了巨大的影响。他经常带大家去当地的中餐馆吃饭之类的。还教会了我们使用筷子。

孙理察：没错，我就是那时候学会用筷子的，在那之前我从没吃过中餐。

丘：那是一家叫“明月楼”的中式餐馆，老板一家有几个女儿。利昂总是拿我打趣，说是因为老板想把女儿介绍给我，给我们上的菜比平时好得多。

西蒙：我很确定我是对的。

丘：当时我们在斯坦福数学系的二楼，利昂的办公室就在我的隔壁。

西蒙：应该是走廊对面？

丘：反正我们离得非常近，随时都能看到对方。而且，二楼还放了一张乒乓球桌，那有一个公共休息室，面积相当大。现在已经被改成了办公室。

西蒙：真可惜，那原本是个喝茶的好地方。

丘：这是个非常好的区域，有茶歇，还有沙发。我们经常坐在那里，有时甚至还在那里睡一会儿。学生们也经常来，我们聊得很开。我认为这非常好，研究生们也坐在那儿，天南地北地聊。当然，聊的大多不是数学，但偶尔也会讨论数学。那时候我们还有一位同事叫保罗·科恩（Paul Cohen），他可是风云人物，经常身边围着一小圈学生听他高谈阔论，大谈自己的数学观。那场景还挺有意思的。当时还有一位，钟开莱（Kai Lai Chung）。

西蒙：他是个很有个性的人。

缘起极小曲面

王：我们接下来聊聊研究经历吧。第一个问题有关极小曲面。我想这应该是你们三位研究的一个共同核心主题。

西蒙：其实我也不太确定我是怎么踏入这个领域的，因为在阿德莱德，当时根本没有人专攻这个方向。

我非常幸运，我的导师吉姆·迈克尔（Jim Michael）是一位非常优秀的分析学家。他是个慢条斯理的人，来自南澳大利亚州北部的一个农场。他思考问题缓慢而慎重。当你向他解释一件事情时，必须得耐着性子慢慢讲。但他非常非常聪明，是一位思想极其深刻的学者。

不知怎的，我就对这个方向产生了兴趣。但无论如何，他对此非常支持。同时他正从其他领域转向，开始对PDE（偏微分方程）越来越感兴趣。所以实际上，我们算是一起学习、共同进步。在这一点上我非常幸运。

我们学了很多有关PDE的内容，特别是钻研查尔斯·莫里（Charles Morrey）的那本书（指Charles Morrey的名著Multiple Integrals in the Calculus of Variations，在数学界以内容博大精深但极其难读而著称——编者注）。这是一本很棒的书，但非常难读，因为它的结构编排相当混乱。但这确实是一本好书，里面包含了极其丰富的内容。最终我对极小曲面产生了兴趣，并以此为题完成了博士论文。虽然我也说不清具体缘由，但最终结果就是这样。

孙理察：我最初是通过上利昂的课才开始接触极小曲面。那是1973年的秋天，丘也旁听了那门课。

丘：对。那时我刚从洛杉矶过来。

孙理察：利昂讲了极小曲面的非参数理论，詹金斯-塞林（Jenkins-Serrin）定理，还有一些关于极小图存在性和唯一性的基础内容。我就是这样入门的。

后来在冬天，我跟利昂上了一门研读课。我们研读了詹姆斯·西蒙斯（James Simons）关于锥体不稳定性的论文。那时，利昂其实还没真正涉足几何测度论，他当时更感兴趣的是一些构造性估计的问题。所以我们的一部分目标是试图在极小超曲面的正则性理论中剔除几何测度论。

所以我开始研究，仅利用稳定性不等式而不作锥体假设，能有什么样的结论。最终我们完成了那篇有关曲率估计的论文。我最初就是这样对这一领域产生兴趣的，真的多亏了这几位伙伴。

西蒙：你们记得吗，那时奥瑟曼组织了一个关于几何测度论的研讨班。对我们的学习很重要。

孙理察：是的，那好像是一年后的事了，我想是在1974年。

西蒙：我想是的。这又是一个斯坦福教员们托举我们的例子。

丘：我在伯克利读研究生时，陈省身第一年其实不在那里。我是跟莫里学习的PDE。我们用了他的书作为教材。莫里授课的方式很有趣。每周他会让学生上台解决他布置的问题，而我总是那个上去做题的人。其他学生大部分都被吓跑了，一个接一个地退了课。到最后，班上就剩下我一个学生了。其实莫里人非常好，他还拉着我去图书馆查阅参考资料。当然我也读了他的书。正如利昂所说，那本书很难读。不过我还挺习惯这类阅读体验。有时我会倒着读书，从后面往前读。

西蒙：是的，读书绝不能按部就班一页一页读。

丘：我习惯前后反复跳着读，莫里也是这样做的。这很有意思，因为莫里教了我不少东西，比如奇异积分。那时我刚从香港过来，没有意识到奇异积分有多重要。我是从他那里学会奇异积分的。后来我才知道，索伯列夫（Sobolev）不等式，据莫里自己说，其实他在索伯列夫之前就已经发现了。

西蒙：没错。他在他书的前言里提到了这一点，不过表达得相当委婉。

丘：随后我又发现他还做了许多重要的工作。比如 1949 年关于流形中极小曲面的研究，就是他做的。我也开始涉猎一些他1948年那篇著名论文的相关内容。但所有这些我都是第一次接触，觉得很迷人。就在那时我认识到，分析学，具体来说是PDE，应该是理解几何的关键。尽管我当时师从陈省身和其他一些前辈，但他们从不使用PDE。我就断言这不对，我认为必须使用PDE。这就是我当时的想法，也正是从这里开始，我探索了很多不同的发展路径。

西蒙：你和莫里讨论过这个观点吗？

丘：没有。他是个非常传统的人，不像我们说话很随意。

西蒙：我懂。但另一方面，他的书里也有很多几何内容。

丘：是的，他总是做一些与几何相关的内容。所以在这方面我深受他的影响。他研究几何的-Neumann问题、实解析嵌入等等。所以我深受他的影响。但无论如何，我认为这（引入 PDE）是一个好方法，是做几何研究的正确方式。所以那时开始，我已经开始尝试了，很有兴趣这么做。陈省身也对极小曲面感兴趣，但他做研究主要靠计算，直接的计算，并没有真正用到分析。所以我当时多少有点失望，因为我觉得那样做走不了太远。尽管如此，我还是对这个领域感兴趣。

其实我的博士论文与极小曲面毫无关系，而是关于基本群的。之后我去了普林斯顿。大概有一年时间，我开始自己研究极小曲面。然后不知何故，我得到了奥瑟曼的赏识。奥瑟曼写了一篇论文，我则做了一项后续研究。不知为何，那篇论文给他留下了非常深刻的印象。所以后来他就想让我去斯坦福，这也是我最终去了斯坦福的原因。

我是1971年在普林斯顿时开始对极小曲面产生兴趣的。之后，我在石溪大学遇到了吉姆·西蒙斯（Jim Simons）。西蒙斯那时已经不再研究极小曲面，而在研究陈-西蒙斯（Chern-Simons）理论了。与此同时，我也开始关注凯勒（Kähler）几何，因为我对卡拉比猜想（Calabi conjecture）感兴趣。为了理解凯勒几何，我又对单值化定理（uniformization theorem）产生了兴趣。单值化的一个重要问题是，什么条件下流形会像复欧几里得空间。

而在凯勒几何中，有界的全纯函数是否存在是个很重要的问题，这就是刘维尔定理（Liouville theorem）。我在莫里的课上学会了如何证明刘维尔定理。但我当时认为，那套论证方法在流形上行不通，所以我开始自己发展一套梯度估计的方法来解决这个问题。那时我还在石溪，正准备去往斯坦福的时期。

在斯坦福期间，我在这方面做了大量且深入的工作，没日没夜地坐在那里钻研。我尝试过的论证工具自始至终都是极大值原理。直到我遇到了利昂·西蒙，我开始思考索伯列夫不等式。虽然我从莫里那里学过，但西蒙先生教会了我如何去使用索伯列夫不等式。他把索伯列夫不等式教给了每个人。于是我也开始思考这个问题。总之，那是一段非常美好的时光。那时我和他们一起研究极小曲面，同时我也和郑绍远合作研究蒙日-安培方程（Monge-Ampère）。

西蒙：我必须得讲一个关于丘和蒙日-安培方程的故事。他以前经常来我的办公室。刚才说过，我们办公室就在走廊对门，随时都能聊天。有一天他走进来对我说：“我想我已经想出怎么证明其存在性了。你只需做一个迭代过程……”他才讲了一句，我就立刻打断了他，问道：“你取子序列了吗？”他说取了。我就说，那这个证明就是错的。他当时大吃一惊，说，天哪。我说：“没关系，莫里在他1938年的论文里也犯了同样的错误。”

王：有趣的是，我们最初的问题是关于极小曲面的，但你们三人都强调了PDE。

孙理察：我想说，在那个时期这两者的结合是自然的。因为在60年代，PDE和极小曲面理论都取得了巨大的发展。比如 De Giorgi-Nash 理论，以及很多非线性椭圆和抛物理论都是在那时发展起来的。因此，将这些理论带入几何背景是相当自然的事情。丘当时正在做流形上的刘维尔定理，这种情况下常数依赖于曲率而不是椭圆性条件。这些工作在当时是自然而然的。

丘：1973年还有一个很好的机缘，当时斯坦福举办了一个大型的微分几何会议，是由奥瑟曼和陈省身组织的。我正是在这个会上了解了正质量猜想（positive mass conjecture）。

王：正质量猜想刚好是我们接下来要谈的话题。大家对你们两位的合作过程很感兴趣。另外我们也想听听你们关于威滕的看法，他后来也给出了一个（关于正质量猜想的）证明。

丘：那是很久以后的事了，是的。

王：我们感兴趣的是，您对他的证明感到惊讶吗？您如何看待物理学与数学之间的这种联系？

两种证明

丘：首先，我们是在1973年了解到这个问题的。罗伯特·格罗赫（Robert Geroch）在斯坦福的那次会议上做了一个报告，它被约化为了一个关于正标量曲率的简单陈述：能否找到欧几里得三维空间上的一个度量，使其标量曲率处处非负，且在一个紧集上为正，同时在该紧集之外度量为标准欧几里得度量。这在当时对一大群几何学家来说，非常具有挑战性。没人能回答这个问题。每个人都很困惑，不知道该怎么做。实际上，威滕后来那种论证的简化形式，本质上正是（当年大家试图）证明正标量曲率的思路。人们尝试过，但没成功，至少解决方法是不明显的。

当时有很多人研究这个问题，相当令人兴奋。但人们讨论了很多年，没有人做出来。那段时间我跟孙理察谈起了这件事。在1977年到1978年我去访问伯克利，孙理察碰巧在那里。

孙理察：是的，我当时是讲师。

丘：很幸运我们又聚在一起了。实际上，我那一年开了一门课。孙理察没结婚，我在1976年刚结婚。我母亲和我住在一起，我妻子在圣地亚哥。所以我们经常聊天，我也多次邀请孙理察来我家吃饭。我母亲做饭非常好吃。吃完饭，我们慢慢地走在校园里，一路走回伯克利的北校区。我依然记得我们讨论这个问题的场景：漫步在美丽的伯克利校园里，周围有很多参天大树。我想正是在那次谈话过程中，我们萌生了这个想法的雏形。我认为那非常有趣。

孙理察：最关键的一步，是要将超曲面的稳定性与标量曲率联系起来。我们在那一年意识到了这一点。之后我们很快就能处理三维环面的情况，以及在一个紧集之外都是欧式度量的情况。

我记得1977年、1978年我正在找工作，在石溪有一个面试，格罗莫夫（Gromov）当时在石溪。那是我第一次见到格罗莫夫。我把三维环面没有正标量曲率度量的证明讲给格罗莫夫听。他看着我听完，然后站起来鼓掌。没过一年，他也在研究这个问题了。

丘：还有一个故事是这样的。1978年，我被邀请在赫尔辛基的国际数学家大会上做一小时大会报告。当时孙理察和我利用极小曲面证明了正质量猜想的第一部分，即时间对称的情况。

关于这部分我们写了一篇论文，发表在《物理评论快报》（PRL）上。事实上，同样的论证可以对所有具有正标量曲率的三维流形进行分类，它们是那些透镜空间（lens space）的连通和。我们当时已经知道如何做正标量曲率流形的连通和。这些结论实际上当时已经发表了。在去赫尔辛基之前，我在巴黎待了大约一个月，然后去了波恩，我在波恩还遇到了利昂。

西蒙：那是一段好时光。

丘：是的。在我待在巴黎的一个月，我遇到了劳森（Lawson）。我告诉他我们如何构造正标量曲率流形的连通和，我还告诉他，我们应该能做割补理论（surgery）等等。但不知怎地，他们试图把这个想法抢过去，我觉得那相当难堪。

不管怎样，当我们完成证明的第一部分时，那些研究广义相对论的人不相信我们，其中甚至包括我的一些研究广义相对论的中学老同学。他们说：“这些数学家根本不知道自己在说什么。”“他们可能甚至不知道那是什么意思。”

此后，霍金（Hawking）说，（这个证明）看起来不错，他邀请我去拜访他。在我回来的路上，顺路去拜访了霍金。

西蒙：那时霍金已经坐轮椅了吗？

丘：是的，他已经坐轮椅了，不能走路，那时候还能说一点话。但我听不懂，是他的学生为我翻译的。他工作起来精力十足，从早上8点半左右开始，一直工作到晚上9点半。他告诉我正作用量猜想（positive action conjecture）的高维版本。回来之后，我和孙理察一起，把这部分也做出来了。但我们仍然被指责没有证明完整的猜想，因为正质量猜想应该是非时间对称的。我记得那些搞相对论的人们开始向我们发难。

西蒙：是渐近行为导致了（问题）。

丘：不仅仅是渐近行为，还有对时空的假设。后来我被邀请去哈佛，我想他们其实是在面试我，考虑要不要给我职位。我做了一个报告，一大群搞相对论的人坐在下面，质疑我们的证明，嚷嚷着“你们没有证明它。”但幸运的是，那时孙理察和我已经解决了一般情况。

孙理察：我当时在纽约，在纽约大学。当时有些人反对的声音很大，比如吉姆·约克（Jim York），他这个人稍微有点……非常激进。所以我特地去了一趟马里兰，那儿有米斯纳（Misner）和其他好几位相对论专家。吉姆·约克在北卡罗来纳州，他也来了。我解释了如何基于渐近史瓦西解的稠密性来解决渐近问题。他们哑口无言，这是完全严格的数学。我想他们是非常惊讶的。

丘：（他们质疑的）第一步是普遍的渐近理论。他们认为我们做不到。实际上，斯坦利·德塞尔（Stanley Deser）和波士顿的几个人一直试图把我问倒。结果当我们真的做出来时，他们彻底震住了。

王：能评论一下后来威滕的证明吗？似乎在那之后，（你们和）物理学家之间的关系有所改善。

丘：事情是这样的：到了1978年、1979年的时候，我们已经完成了整个证明。在1979年初，我想大家基本上都接受了我们的结果。那一年我们在普林斯顿有一个特别学术年，你们还记得吗？是在普林斯顿的高等研究院（Institute for Advanced Study）举行的。我想那时候所有的物理学家都已经认可这个问题解决了。我从1980年开始被高等研究院聘用，因此我那时候在普林斯顿。

人们开始谈论威滕，他们想把威滕招进来。威滕当时还是哈佛的初级研究员，没有获得终身教职，但大家对他评价极高。我想是在1981年中，弗里曼·戴森（Freeman Dyson）来到我的办公室，他说我们有个年轻人你应该见见。于是他把威滕带了过来。于是，威滕开始向我描述他的证明。其实我当时完全震惊了。当然，他的核心思路并不陌生，只是需要正确地将证明形式化。所以，我觉得这听起来完全合理。我没有抄录任何东西，只是惊鸿一瞥。孙理察当时在澳大利亚。

孙理察：是的，我记得在澳大利亚读了那篇论文。

丘：孙理察也认可了那个证明，这说明它没问题。当然，后续需要在细节上完善这一论证，我想是克利福德·陶布斯（Clifford Taubes）和汤姆·帕克（Tom Parker）完成了这些工作。

孙理察：我想，威滕是出于物理学的动机，但这其实也可以从数学角度出发。狄拉克算子（Dirac operators）和曲率之间的联系在当时已经广为人知。所以事后看来，我觉得自己错失了这个证明。但整件事的结果非常好，因为威滕的证明提供了一种分析这些问题的新工具，和极小超曲面的方法截然不同。两者在不同的情景下提供了不同的信息，所以这真的是一种建设性的良性竞争。

丘：这两种证明是互补的。但另一方面，我们对正质量猜想的证明，确实总是能给出一些重要的推论，例如，当物质非常致密时，黑洞的存在性。我当时没有意识到这一点，我那时在和孙理察讨论，他当时在伯克利，对吧，在1982年？

孙理察：1982年初。

丘：我记得当时正在跟他通电话，那年我正往返于普林斯顿和费城之间，突然间我灵光一闪，想到我们的证明会有这个推论。我以为物理学家肯定早就知道这回事了，但结果发现，他们一直以来只是口头上说，如果物质非常致密，黑洞就会形成。

我当时没有意识到，我们的工作实际上是第一个从基本原理出发且证明为真的表述。原来，每当物理学家论证时，他们总是假设物质有某种特定结构，满足如压强等于密度之类的状态方程。所以实际上，我们1983年的论文是第一篇证明黑洞存在的文章。

孙理察：我们的方法基本上求解了视界（horizons），归根结底就是这样。实际上有一次我在加州理工学院的数学物理会议上做报告，会议由巴里·西蒙（Barry Simon）每年组织。当时基普·索恩（Kip Thorne）也在场。报告结束后，他站起来说，哇，年轻人，这些结果真的很不错。我的意思是，他非常肯定这些结果。

丘：实际上，当我做这个报告时，威滕也在听，在普林斯顿的时候，安迪·斯特罗明格（Andy Strominger）那些人也都在。反响虽然不错，但他们似乎不太谈论这个，我想大概是因为他们没有很好地理解这个证明。

孙理察：这的确是问题所在。

被“卡住”的状态

王：我们来到研究经历的最后一个问题。我想换一个角度，你们能谈谈在研究中面临过的挫折、挑战和困难吗？你们是如何应对的？

西蒙：这就是做数学研究的特点，你必须接受这样一个现实：绝大部分时间，你都会停滞不前。无论如何，你必须学会享受这个过程。如果你讨厌被卡住，或者受不了这种状态，我觉得你会很难成功。我的意思是，你得享受这个过程，并且要怀有信心，或者至少抱有希望，相信只要你足够努力，终究会打破僵局，挺过难关，得到一个好的结果。我想每个数学研究者都是如此，都会花费相当大比例的时间处于一种无望的境地，但我觉得他们会享受这种挣扎。

王：那您自己呢？您个人是如何应对这种情况的？

西蒙：正如我所说，我还挺享受这种挑战和挣扎的。你会长时间钻研一个问题，但偶尔也会休息一下，做点别的事情。但只要你享受整个过程，我认为这就完全不是问题。

王：孙理察，您有什么想补充的吗？

孙理察：我同意这一点。我认为做数学时，你必须取得一种平衡。如果你在研究一个非常困难的问题，却没有一个好的想法，那么感觉会挺绝望的。但另一个极端是，你只研究那些你基本上早就知道怎么做的问题——不幸的是，很多数学家都在这样做。这样你确实可以写很多论文，但里面没有什么真正的新东西。所以你必须做出选择：为了做出真正有创造性的工作，你愿意在多大程度上忍受“被卡住”的状态。我觉得每个人对这种状态的忍耐度是不同的。

就我而言，我对那些太过常规的东西会感到厌倦，所以我更喜欢研究那些我还不知道怎么做的问题。我经常把我感兴趣但并没有真正研究的问题交给学生，有时这种做法的效果也非常好。所以我觉得这纯属个人风格。当然，别因为解决不了一个问题而沮丧，因为确实有很多东西是（目前）根本做不出来的。

西蒙：如果你一被“卡住”就抑郁，那么数学研究就不适合你。

王：丘教授，您如何处理这个问题？

丘：当然，我同意他们的看法。面对数学的困难非常令人沮丧，但我们在做之前就已经知道会受挫了。我想，当我们对一个问题感兴趣时，若能至少解决其中一部分，那就已经非常有成就感了。

最令人受挫的事情其实是，你发现你正在做的问题被其他人解决了，而你原本对这些人的期望并不高。那之后你就学会谦虚了。我有过几次这样的经历，不过当然，后来我很佩服他们。

凯伦·乌伦贝克（Karen Uhlenbeck）是我一位很好的朋友。我第一次在伯克利见到她时，她还是个博士后。我仍然记得，她在莫里主持的一次研讨会上，突然问，什么是极大值原理？我当时差点笑出来，心想，唉，她怕是一直都学不会 PDE 了。

后来，孙理察和我研究调和映射（harmonic map），我们处理了不可压缩的情况，这是解决三维环面问题所必须的。然后我建议看看球面情况，考虑极小球面。结果我一查通告，发现正是那位女士，竟然已经宣布证明了这个结果。一开始我想，她怎么可能做得出来？她没这个水平，我不相信她能做。后来我拿到她的手稿，非常仔细地读，结果每一步都正确无误，于是我开始佩服她了。实际上，在当时还没人相信那个证明。

孙理察：可去奇点定理（Removable singularities theorem）。

丘：是的，关于极小球面存在性。我到处去宣传这个成果，在这之前我甚至不知道这篇论文其实还没被接收。所以我想凯伦非常感谢我帮她宣传，那篇论文最后也被接收了。

孙理察：凯伦的背景非常非传统。

丘：是的，她的导师Richard Palais，是帕莱斯-斯梅尔（Palais-Smale）定理的提出者之一。她面临一些问题，但在这方面付出了极大的努力，我真的很佩服她的毅力。

第二个例子是孙理察·汉密尔顿。我当时正在考虑做类似的事情，就是关于空间度量演化之类的研究。在康奈尔大学，我遇见了他，他告诉了我他正在构思一个大项目（即里奇流）。我那时认为这家伙不可能做出来，因为他以前从未做过这类事情。我以为他唯一擅长的是扰动、变形之类的技术。

西蒙：让我们所有人都印象深刻的是，他最终成功了。

丘：是的，所以我真的很佩服他。正打算去攻克那个问题，结果别人已经把它解决了。从某种角度看，确实会让人感到受挫。但之后我们也会一起合作。这是一段非常美好、有趣的研究旅程。

毅力、自信、勇气

王：这实际上和我们第三部分要讨论的内容密切相关。你们谈到了有各种背景的数学家，能否具体指出，对一个数学研究者来说，哪些是最重要的品质或能力？

西蒙：我觉得没有单一的标准。数学家的类型太多样化了，没办法说哪一组特征就一定会导致成功。不过我想，成功数学家的确有一些共同之处。首先，你必须愿意努力工作，并且保持高度专注，你必须能够长时间集中注意力。

丘：还有毅力。并且有勇气去攻克那些重要的问题。

孙理察：我觉得还要有独立思考的意愿，对问题要能发展出你自己的观点。有时你会遇到那种学生，他们只想读读别人的论文，然后把里面的东西稍微改改就拿来交差。所以我更欣赏这样的学生——不只了解文献，还能从整体上把握一个领域，并发展出自己的看法和思想。

西蒙：这一点说得非常好。当我看到这种学生，总是让我很担心：你给他布置一篇论文，结果他真的就一页一页去读。我不认为那是阅读数学论文的正确方式。你应该试着理清主要思路，然后设法靠自己尝试推导出部分结论。只有当你卡住时，再回头看看论文。

王：是，这是很好的建议。

丘：你们应该知道威尔·米克斯（Will Meeks）吧，他是我的老朋友。我研究生第一年时认识的他，他当时在伯克利读大四。我从那时候起就认识他了。他一直对三维欧氏空间中的极小曲面感兴趣。在我们刚认识的时候，关于三维欧氏空间中的完备极小曲面，我们所知道的也就那么寥寥几个。他一心想对这些曲面进行分类。我当时心想，这可是个苦差事。但他坚持下来了，并且基本上解决了整个问题。我真的很佩服他，几乎孤身一人地坚持做这个问题。那时没几个人研究它，后来加入的人才多了起来。

西蒙：现在是有很多人在做了。

丘：是的。但在那时，也就是七八十年代那会儿，真的很少有人研究这个。他有着惊人的自信，有点像嬉皮士，至少我第一次见到他时是这样，但他对于要解决这个问题异常坚定。所以我真的觉得，保持乐观、自信，并且在解决问题时持之以恒，这真的太重要了。记得在1982年，我们在普林斯顿高等研究院有一个几何专题年。我当时是那里的教员。他也来了。我仍然记得，他在壁炉前躺下来，然后对我说，丘，我相信只要下定决心，我就能解决任何问题。

西蒙：那真是自信。

丘：可能有点过头了，但他对他想做的事情非常自信。所以这非常重要。

王：对。毅力、自信、勇气。

丘：这些都发生在我身边的朋友身上。所以我真的很幸运，能遇到所有这些优秀、有趣的人。

王：丘成桐教授几年前创办了求真书院，从全国招募年轻人才。你们想对这些年轻的、有志于数学的研究者说些什么吗？

西蒙：我得说，这真的很了不起。凭一己之力，我们的这位老同事、老朋友，竟然成就了这番事业。我认为这是一件了不起的事情。

孙理察：他们免除了入学考试？

丘：免除高考，每年招收 100 名学生。这是第一个重大的突破。你必须坚定地去做你应该做的事。有一点至关重要，我想在此强调，在整个项目中，我没有从中获得任何个人利益。没有拿一分钱，没有工资，什么都没有。我觉得这一点非常重要。因为在中国，有很多事情打着非常高尚的旗号，但其实是有些人想要中饱私囊。而我绝对没有这种情况，在这方面无可指摘。

王：你们见过其中一些年轻学生吧？对他们有什么建议吗？

西蒙：很遗憾，我没有亲自见过他们，我给他们上过两次线上课程。他们给我的印象非常深刻，但线上课程效果总是不到位的。

丘：但他们还是学到了东西。

西蒙：他们确实学有所得，但我没机会和他们深入互动。

王：孙理察，通过这次采访，你有什么建议给学生吗？

孙理察：我觉得这是一个非常有趣的项目。据我所知，在其他国家还没有先例。至于他们将来作为数学家能有多成功，还要拭目以待。我猜他们之间会互相交流，这很重要。不要与世隔绝，这点很关键，我希望他们之间能有良好的同窗情谊。这真的很重要，因为数学并不仅仅是一个人坐在那里思考，你还要学会如何与人交流，如何向别人解释自己的研究内容，诸如此类。所以我希望他们在这些方面也能得到锻炼。

丘：他们来到这里学习，确实非常努力。有些人非常有动力，但也有些人的表现还像是高中生。总体来说，他们做得很好。我们需要有更多杰出的数学家来到这里。整个项目成熟时，我们应该会有 1200 名学生。现在我们有 400 名（截至2025年，增至700名）。目前看来，我们的师资仅仅是勉强够用。虽然已经度过了初创的关键时期，但现在迎来更关键的阶段——研究生阶段。完成了本科三年的课程，我们正面临研究生阶段的挑战。

孙理察：本科三年，研究生五年？

丘：是的，五年的研究生阶段。其实可以说，前两年探索方向，后面几年写博士论文。基本上是五年。其中有几个人已经写出了相当不错的论文。但现在才是最具挑战性的阶段——要看他们是否能写出一流的博士论文。

我们需要更多人手。比如利昂，我们可以送学生去跟你学习，相互交流。这是非常重要的。比如你的课，一些学生学到了很多。他们现在知道如何做估计了。在我研究卡拉比猜想的工作四十年后，有学生发现了一种显著的简化证明的方法，比我当年的方法更简洁。大多数人的工作基本上都只是在跟随老路子，但这个学生确实有新的想法，我觉得非常好。所以这些孩子正在成长，而我们正面临学院最关键的时期——他们是否真的有能力做科研。现在是他们做全职研究的时候了。

西蒙：是的，做真正严肃的数学。

活生生的大人物

王：好的，让我们进入采访的最后一部分，有关这次特别活动——基础科学国际大会（ICBS）。我想 ICBS 是丘教授的心血结晶。丘教授能不能谈谈你是怎么想到这个主意的？

丘：我多年来一直组织会议。但这是第一次把物理、数学和计算机科学结合在一起。我觉得现在是时候让大家意识到这些领域之间互动的重要性了。这种交流对大家都有好处。来到这里后我发现，我二十年前做的一些工作其实现在有了新的应用。一些应用数学方面的工作你们之前没有意识到，一些结论其实可以用于生物学等领域等等。我觉得能促进这样的交流真是太好了。

让我惊喜的是，很多人对于参会的反应都很积极。我们还颁布了前沿科学奖（FSA），我认为这个奖项很好，因为我们是根据论文来评奖，而不是根据一些抽象的陈述，比如“他做了很好的工作”之类。这样就成了一个客观标准。我们设置了五到十年的跨度，大多数写出好论文的人都会被认可。这将为大家树立一个良好的客观标准，对许多年轻学生或年轻教员来说，也是一种鼓励。

孙理察：我觉得 FSA 奖项特别好。因为终身成就奖那类奖项的得主其实已经得过很多奖了，在某种意义上对他们而言不那么特别。但 FSA 奖励的是论文，很多数学家做了很好的工作，却从未真正被认可，因为他们没达到最顶层，奖项总是有限的。所以针对具体好论文颁奖的想法，我觉得非常棒，它会激励年轻人继续努力。

丘：同时，人们也能知道哪些研究方向值得关注，哪些报告是值得去听的，他们可以直接从中学习。我太忙于组织会议了，其实有很多报告我想去听，因为它们和我的兴趣非常接近。就我看来，这是一个很好的会议。

王：我想 ICBS 也为中国学者创造了一个与国际接轨的重要平台。你们能谈谈这种国际交流的意义吗？

西蒙：我有过类似的经历。我在澳大利亚读博士快毕业时，其实挺孤立的，除了导师没人可以交流。那时尼尔·特鲁丁格（Neil Trudinger）刚从美国做完博士后回来，在澳大利亚昆士兰任教。他组织了一个国际会议，路易·尼伦伯格（Louis Nirenberg）和于尔根·莫泽（Jürgen Moser）等人都来了。我对这些人非常敬畏，因为我博士论文的核心内容和他们的工作密切相关。能见到他们真的让我受益匪浅，而且也让我意识到——他们并不是神，而是普通人。

丘：这点非常重要。

西蒙：他们非常友好，也很支持且鼓励后辈。我觉得这很重要。

王：孙理察，你怎么看？

孙理察：我认为这对中国年轻数学家来说这是一个很好的机会，可以见到那些以前只从书上听说过的名字，并且意识到他们其实也是活生生的人。

王：事实上，你有不少中国学生吧？

孙理察：是的，很多中国人认识我，因为我有很多学生在这里。我其实来过很多次，十年前我在清华讲过课，所以我算常来的人。但其他一些人可能从未到过中国，我不知道安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）以前有没有来过。所以这是一个宝贵的机会。

丘：现在中国学生去美国，已经不像以前那么容易了。在求真学院，我们设立了八年制的（本博贯通）项目，之所以请数学家们来中国，是希望学生们能多接触外界，特别是与伟大的数学家们接触。当然我们仍然会安排他们在暑期出国交流。

但我这次真被学生们的反应打动了。他们说：“那些课本上的大人物，终于见到真人了！这太让人兴奋了！”我觉得这是一件好事，因为他们终于有了榜样。就像利昂所说的，这些人不是神，他们和我们一样，我们最终也可以和他们一样。这非常非常重要。当然，现场的报告也启发了未来可能的研究方向，了解哪些方向更有趣，这非常重要。

而且这也改变了我许多国外同事的看法。很多人原以为中国有许多问题，但来了之后发现完全不是那么回事。实际上，我已经在这里待了四年。我不认为中国会把任何国家视为敌人，而总是致力于合作。我相信这会给学生们带来很大的激励，也会促进不同人群之间的友谊。会有越来越多重要的人愿意来。

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