德布罗意的天才洞见，被掩盖在物质波光芒之下

杨欣宜、张一2026年03月24日约 40 分钟

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在纪念波动力学诞生一百周年之际，本文分析了1922-1924年德布罗意关于黑体辐射研究的重要历史文献，回顾了他在提出“物质波”的关键思想概念之前以及之后，对黑体辐射的研究，并指出这一研究对物质波思想的产生的可能影响。

撰文 | 杨欣宜、张一（上海师范大学数理学院物理系）

“瘦削、低调、神秘，路易·德布罗意始终伫立在他所开辟的道路入口，面带绅士般彬彬有礼的微笑，凝视着未来流逝。”（Mince, discret, secret, Louis de Broglie se tient toujours à lentrée de la route qu’il ouvrit et, avec un sourirecourtois de gentilfomme, regarde lavenir passer）

——莫里斯·德吕翁（Maurice Druon，Préface à Louis de Broglie，1973）

德布罗意的物质波（或波粒二象性）概念早已是大学物理系，甚至高中物理教科书的标准内容。然而，除了动量波长关系的公式，极少有教科书触及德布罗意关于物质波的原始论述中的其他要素。甚至德布罗意著名的波长公式本身也被“简化”成了一种“从天而降”的纯粹思辨的结果。例如，德布罗意实际上始终基于狭义相对论讨论物质波（他称为相位波，“phasewave”。关于这一点，作为离题的插曲，本文作者另附注释[1]于文末），波长公式以 λ=h/mv这样简单明晰的形式在其博士论文中（第七章）仅出现了一次。虽然，按照托马斯·库恩（T. Kuhn）的观点，教科书作者通常将科学知识固化为显而易见的相对真理的集合，倾向于抹去争议、危机，以及历史偶然性等^[2,3]。

本文选择黑体辐射这一关键要素作为切入点，介绍1922-1924年德布罗意对黑体辐射的研究，并指出黑体辐射研究对他提出物质波思想的可能影响。之所以选择黑体辐射，是因为黑体辐射对于近代物理学发展的无与伦比的重要性（编辑注：可参见曹则贤《黑体辐射：一只会下物理金蛋的鹅》）。黑体辐射不仅催生了量子力学，还影响了德布罗意物质波思想的提出——其物质波思想的种子，即萌芽于对黑体辐射的研究。遗憾的是，他对黑体辐射的研究，始终被物质波思想的巨大成功所掩盖，几乎在（国内）教科书或物理学史文献中已难觅痕迹。因此，希望本文的介绍能够为教科书论述带来额外的补充和进一步富有教益的讨论。

德布罗意小传

德布罗意全名Loius Victor Pierre Raymond de Broglie（方便起见，以下均按惯例使用德布罗意，虽然严格来说应为德·布罗意），1892年8月15日生于法国迪耶佩（Dieppe），1987年3月19日逝世于巴黎卢维西恩（Louveciennes），是享有世界声誉的法国理论物理学家。布罗意家族的姓氏源于诺曼底（Normandie）地区的一个小镇，后来逐渐成为法国历史上最古老的贵族家族之一，且有从政的家族传统。自17世纪以来布罗意家族中涌现出很多高级军官、政治家及外交家。但是到了德布罗意和他的哥哥莫里斯·布罗意（Maurice Broglie）这一代，他们兄弟相继选择物理学作为职业，打破了家族的传统。

德布罗意是第五代布罗意公爵次子，但是和他的哥哥莫里斯在年龄上相差17岁。他在相对孤独的环境中长大，阅读了大量书籍，尤其偏爱政治和历史。据他姐姐的书信，德布罗意是个活泼且早熟的孩子，有明显的戏剧天赋，晚餐时能为家人背诵古典戏剧的整段场景，显示出极好的记忆力。家人普遍相信他将来会成为一位政治家。

1906年他的父亲去世后，尚年幼的德布罗意基本上处在莫里斯夫妇的监护下。他们将德布罗意送去赛依中学（Lycée Janson de Sailly）^[4]学习。他在法语、历史、物理和哲学方面表现出色，对数学不感兴趣，也不擅长绘画和外语，不过也没有哪一门学科能吸引他的全部注意力。

1909年德布罗意进入索邦大学攻读历史和法律，准备按照家人的意愿为将来从政做准备。1910年他以一篇历史研究的论文获得了历史学学士学位，又攻读了一年的法律。然而，受到哥哥莫里斯的影响，他开始对物理学产生浓厚兴趣。莫里斯本人是实验物理学家，对X射线的实验研究做出了显著贡献，在巴黎的家族宅邸中设有一个设备精良的私人实验室。在此期间，德布罗意广泛阅读了包括庞加莱（H. Poincaré）、洛伦兹（H. A. Lorentz）、朗之万（P. Langevin）、玻尔兹曼（L. Boltzmann）、吉布斯（J. W. Gibbs）等在内的著作，以及普朗克和爱因斯坦的量子论和相对论论文。1912年庞加莱去世的消息给了他深深的触动。但真正激发他选择物理学作为职业的则是深入研读首届索尔维会议有关量子理论的报告^[5,6]。1913年德布罗意获得了物理学士学位（Licence ès sciences）。

1914年第一次世界大战爆发，德布罗意应征入伍，战争期间他大部分时间都在埃菲尔铁塔脚下的无线电报站工作，持续了六年之久。战争结束后，从1920年起，他与莫里斯合作，参与了关于X射线的辐射性质和光电效应的特征等实验研究。这是他物理学研究的开端，发表了关于该工作基础的量子理论的第一批论文。

正是上述研究使德布罗意注意到黑体辐射问题，并开始对原子物理学中未解决的概念性问题产生了兴趣。虽然他和莫里斯一起工作，但真正吸引他的是物理学中纯粹概念性的一面。德布罗意形容自己“更具有纯粹理论家的思维方式，而非实验家或工程师，尤其热爱普遍性和哲学性的观点。”^[7]也许正是这种特质使他后来产生了物质波的思想。

在研究X射线辐射的性质并与莫里斯讨论其特性时，后者认为这些射线是一种波和粒子的结合，这使德布罗意意识到需要建立一个将粒子和波的表现形式联系起来的理论。真正将他引至物质波思想的工作起点是爱因斯坦关于光量子的观点。在他1922年发表的第一篇关于这一主题的论文^[8]中，德布罗意由光量子假设推导了维恩（Wien）黑体辐射定律（详见后文）。如果说黑体辐射催生了光量子假设，那么在通向物质波的思想道路上，它也起到了类似的作用。正是这篇关于黑体辐射的论文成为德布罗意后续研究的起点^[9]。在同年第二篇论文^[10]中，德布罗意试图将光量子的概念与（波动的）干涉现象结合起来，他得出结论，要将某种周期性与量子相联系。

图1 德布罗意的哥哥莫里斯在首届索尔维会议上（后排左6，他下面是坐着的洛伦兹）

这时，将波动概念扩展到任何有质量粒子的革命性想法在德布罗意脑海朦胧浮现。决定性的突破在1923年夏天到来。“经过长时间的独处和冥想，我突然有了个想法……爱因斯坦1905年的发现应推广至所有物质粒子，尤其是电子”，^[7]（黑体均为本文作者所加）。他推断，由于波长非常小，物质波不会影响宏观世界，只会在原子尺度上显现其影响。德布罗意先在三篇简短的通报《波与量子》（Ondes et quanta）^[11]（与此文同名的简报发表于10月23日的Nature^[12]）、《光量子，衍射和干涉》（Quanta de lumière, diffraction et interférences）^[13]，以及《量子、动理论和费马原理》（Les quanta, la théorie cinétique des gaz et le principe de Fermat）^[14]中阐述了他的思想，前两篇通报于1923年9月10日经由佩兰（J. Perrin），第三篇经由迪朗德（M. Deslandres）提交给巴黎法国科学院院报（l’Académie des sciences depuis sa création），这标志着波动力学创立的开始。

同年10月，德布罗意将主要思想整理成文提交《哲学杂志》，于1924年见刊^[15]，随后开始着手撰写博士论文《量子理论研究》，并于1925年发表于《物理学年鉴》^[16]。德布罗意在论文中提出，基于（狭义）相对论，能量为E、速度为v的运动粒子由某种内部周期过程的“相位波”刻画，其频率为E/h（h是普朗克常数）。这就是后来的“物质波”。他还指出，粒子速度等于相位波的群速度，粒子沿着等相位面法线的方向运动。在一般情况下，粒子的轨迹可以由费马原理（对于波）或最小作用量原理（对于粒子）来确定，表明了几何光学与经典力学之间深刻的联系^[17]。这篇划时代的博士论文成就了德布罗意的物理生涯，获得了极高的赞誉。爱因斯坦本人在回复郎之万的信中称德布罗意的工作“揭开了大幕的一角”^[18]；在后来致洛伦兹的信中又称：“这是照亮我们物理学中最糟糕谜团的第一缕微光。我还发现了一些支持他[指德布罗意]构想的东西。”（爱因斯坦致洛伦兹，1924年12月16日）。

值得特别指出，德布罗意（1923年）9月24日发表的论文中还提供了一个可能的实验方案，他写道：“穿过足够小的小孔的电子流应呈现衍射现象。可能正是在这方面，需要寻找我们思想的实验验证。”^[13]这一设想以一种极为偶然的方式被证实。1921年，美国物理学家戴维森（C. J. Davisson）和康斯曼（C. H. Kunsman）利用几十至数百电子伏特的低能电子束对多晶金属薄膜进行散射实验，发现相对电流强度会出现极大值^[19]。但是由于技术以及材料的原因，实验结果并不稳定。后来能够得到稳定的结果完全是由于一次偶然的实验“事故”。

同时期，还是德国哥廷根大学研究生的埃尔萨瑟（W. Elsasser）^[20]第一个从“（电子）物质波”的角度来解释戴维森和康斯曼衍射实验的结果。1925年5月的一天，埃尔萨瑟在图书馆读到爱因斯坦新近发表的两篇关于量子理论对气体的影响的论文^[21,22]。爱因斯坦指出，低温下简并气体行为更像波，而非粒子，并提到了德布罗意关于物质波的论文。埃尔萨瑟找到了它，立刻想到戴维森和康斯曼观察到的现象是否是电子类似于X射线穿透晶体产生的衍射。他计算出了产生上述实验中的极大值对应的电子能量，结果正好吻合。他将自己的计算总结成文，提交给《自然科学》（Naturwissenschaften）杂志发表（审稿人是爱因斯坦）。这一解释连同德布罗意的物质波思想，经著名物理学家玻恩在牛津的演讲传播到了英国物理界，其时戴维森也恰逢其会，立即意识到了他的实验的重大物理意义，回美国后迅速组织力量投入新的实验测量。到1927年，戴维森和革末（L. Germer）在美国^[23]，乔治·汤姆逊（G. P. Thomson，J. J. Thomson之子）在英国先后确认了物质波对晶体的衍射，宣告了德布罗意的物质波思想的胜利。1929年诺贝尔奖委员会因其“发现电子的波动性质”而授予德布罗意诺贝尔物理学奖。

图2 黑板前的德布罗意

获得博士学位后，德布罗意先是留在索邦大学任教，1928年起在庞加莱研究所任理论物理教授，一直到1962年退休。他的讲义写得很优美，但被认为是一个平淡无奇的讲师，喜欢单调地朗读讲义笔记，而他的理论物理研讨班更受欢迎。

他的物理学生涯后半时期继续在量子力学的基础领域探索、发展他的博士论文中其他非常有价值的物理学思想。例如，德布罗意假设电子具有一个内部时钟，这个时钟是引导粒子运动的“导波”（pilot-wave）机制的一部分。沿此路线，他还试图复兴他的量子力学因果模型，以取代量子力学中的正统诠释，该模型在20世纪50年代由玻姆（D. Bohm）再次提出，今天一般被称为德布罗意-玻姆理论^[24]。关于这一理论的晚近发展，可参考，例如^[25,26,27]。

德布罗意最后的思考是孤立粒子的“隐（变量）热力学”（Hidden thermodynamics），试图将物理学中的费马原理、莫培督（Maupertuis）原理和卡诺原理结合起来。其中作用量变成了一种与熵相对应的概念，通过一个方程将两个普适量纲联系起来：

德布罗意一生著述等身，其主要著作（以及其他本文未能尽述的物理学研究）请读者参考维基“德布罗意”词条^[28]的有关介绍^[29]。

历史背景：光量子假设

在深入理解德布罗意应用光量子假设于黑体辐射的研究之前，有必要对光量子假设的历史发展背景作简要回顾。

自1900年普朗克提出革命性的量子假设之后，应该说，多数物理学家对此的反应平淡、表示怀疑，甚至包括普朗克本人在内。例如，1911年，普朗克提出了一个“新的辐射假说”，宣称量子化仅适用于光发射，不适用于光吸收过程^[30]。1905年，爱因斯坦意识到普朗克推导的理论基础并不稳固。他怀疑该定律暗示了辐射本身的非经典的、微粒性的性质。借助玻尔兹曼的著名方程S=k_BlnW，使用维恩关于辐射熵的结果来计算热辐射熵的体积依赖性，爱因斯坦得出了一个极其重要的结论^[31]：低密度的单色辐射在维恩辐射公式的有效范围内，在热力学上表现得好像它由大小为Rβν/N等份的相互独立的能量量子组成。因子Rβν/N=hν，光量子的概念因此应运而生（现在称为光子）。爱因斯坦在文中对于热辐射熵对体积依赖性的推导令后来为他做传的佩斯（A. Pais）专门指出^[32]：

“人们可能会好奇究竟是什么促使爱因斯坦想到将熵的体积依赖性作为其推导的工具。如果回想一下，一年前体积依赖性的问题对他分析辐射能量涨落似乎相当重要，那么这一选择就不那么令人惊讶了。” [One may wonder what on earth moved Einstein to think of the volume dependence of the entropy as a tool for his derivation. That choice is less surprising if one recalls that a year earlier the question of volume dependence had seemed quite important to him for the analysis of the energy fluctuations of radiation.]

实际上，爱因斯坦从涨落的角度研究黑体辐射的思路一直都是清晰、连贯的（这篇论文的技巧和思想，在 20 年后又会进一步为他带来理想玻色气体的玻色-爱因斯坦统计。）。爱因斯坦将光量子的思想应用于三个经验上已知的现象：光致发光（photoluminescence）中的斯托克斯（Stokes）定律、光电效应（photoelectric effect），以及紫外线对气体的电离。其中，对光电效应的应用最终使他获得了1921年度的诺贝尔物理学奖（实际上光电效应的讨论仅占爱因斯坦1905年论文的2页半，还有9页在讨论热力学、统计物理问题！这篇文章中还首次出现了“玻尔兹曼原理”这一称呼）。但是光量子假设并未为当时的物理学家所普遍接受，因为爱因斯坦关于相互独立的能量量子的想法仍有其自身的问题：与普朗克分布相冲突。后者需要不可区分和关联的（光）量子，而不是相互独立的（光）量子^[33]。

这一阶段，即从1900-1908年，可以视为光量子思想发展的初期^[34]。也就是大约到1908年，普朗克辐射定律虽已确立，但其深层意义仍未明晰。物理界普遍接受勒纳德（P. Lenard）的触发（trigger）假说来解释光电效应[35]，排斥爱因斯坦的光量子假说。然而普朗克辐射定律中蕴含着波粒二象性（wave particle duality）[36]的本质内核此时已逐渐显现。

1909-1913年大致可以看作光量子假设发展的第二阶段，争议期。爱因斯坦以经典辐射理论需彻底革新为前提，1909年发表两篇重要论文^[37,38]，并在1911年首届索尔维会议上受邀作有关固体比热的报告^[39]，主张光的波动说与发射说应相互融合。但这种对波粒二象性的支持并未获得普朗克、维恩、索末菲（Sommerfeld）等大学者的认同。爱因斯坦对波粒二象性的倡导，甚至被视作对其1905年光量子思想的某种退却——向经典观念的回归。直至1912年，普朗克仍然认为量子化应作用于原子过程中的“作用量”，而非发射或吸收的辐射能量。同样，玻尔（N. Bohr）也未完全接受这种离散性严格适用于辐射本身^[40]。

1914-1920年，“僵持”期：密立根（R. Millikan）为爱因斯坦光电效应定律提供了实验支撑^[41,42,43]，却依然拒绝光量子假说^[44]。爱因斯坦试图基于吸收与发射概率的新概念重新推导普朗克定律^[45]，但论证仍未臻完善。波粒二象性在1921年第三届索尔维会议上再度成为焦点。

在此期间，鉴于普朗克定律在逻辑上缺乏令人满意的推导，以及其理论基础仍然令人担忧，一大批物理学家从各个不同的角度持续地探索黑体辐射以及光量子的物理本质，包括（但不限于）爱因斯坦、洛伦兹、庞加莱，金斯（J. Jeans）、德拜（Debye）、埃伦费斯特（P. Ehrenfest）、泡利（W.Pauli）、劳厄（M. von Laue）等^{[46,47,48,49,50]}。这其中又以爱因斯坦的一系列研究极具代表性——他在1905-1927年间以几乎年均一篇的速度，发表了二十多篇关于黑体辐射的重要工作。这一时期，按照佩斯的评价[32]，是爱因斯坦生命中“科学创造力鼎盛的二十年”[the twenty-year of period of highest scientific creativity in Einstein’s life]。

尽管如此，所有这些尝试都有一个缺点：即普朗克定律的第一个因子，8πν²/c³，总是按经典电动力学取为单位体积、单位频率间隔内辐射的简正模数，而且都是通过为不同的基本过程专门假设特定规则导出第二个因子。除了德拜的推导之外，所有其他人的尝试都使用了普朗克的假设，即量子化仅限于辐射和物质之间的能量交换。然而1923年，康普顿（A .H. Compton）通过实验对光量子的实在性给予了强有力的支持^[51]，此即康普顿效应，它表明辐射本身也是由能量量子组成的。经典的辐射波动理论无法解释观察到的被散射的X射线波长的变化。康普顿实验清楚地指出了光量子和原子中电子之间能量转移的基本过程。

特别值得注意的是，在这一历史阶段，还没有人将光量子假设和黑体辐射联系起来。就是在这样的背景下，德布罗意登场了。在提出他的革命性的物质波思想之前，德布罗意首先将光量子假设置于黑体辐射这一重大理论问题的语境之中，开创了利用光量子假设研究黑体辐射的先河^[52]，并最终导致他提出物质波的天才设想。

德布罗意的黑体辐射研究

前已提及，德布罗意是利用光量子假设研究黑体辐射的第一人。正是在对黑体辐射与光量子本性的联系进行深入探索的过程中，促使他寻求将波动性与粒子性统一在一起的理论。在其思想突破前后的1922-1924年，德布罗意发表的相关论文如下，从光量子到物质波的推断，分布于1923年发表的4篇通讯及其博士论文中：

1922年：黑体辐射和光量子^[8]、论干涉与光量子理论^[10]；

1923年：波与量子^[11]、光量子、衍射与干涉^[13]，量子、气体动理学理论与费马原理^[14]；

1924年：光量子的尝试性理论^[15]、博士论文《量子理论研究》^[16]。

图3 德布罗意 1925 年正式发表于《物理学年鉴》的博士论文 ^[16] 首页

本文的解读主要集中在德布罗意关于黑体辐射研究直接相关的论文，即1922年发表的两篇论文，以及1924年博士论文第七章“统计力学和量子”（正式发表于1925年）。但是，作为德布罗意物理思想演变的连贯整体，物质波思想不可能完全从其黑体辐射的研究中割裂出去。因此，我们只在必要处给出简单评论，并不加以细致解读以致偏离本文主题过远。

德布罗意关于黑体辐射的研究始于1922年的论文^[8,10]。他在其中首次研究了光量子假设和维恩辐射公式之间的关系。在摘要中他即开篇明义地写道：“此项工作的目标，是仅基于热力学、动理论以及量子理论，完全无需电磁学的介入，来推导出辐射理论中的一系列已知结果。”[Le but dece travail est d’établir un certain nombre de résultats connus de la théoriedu rayonnement par des raisonnements qui s’appuient uniquement sur lathermodynamique, la théorie cinétique et celle des quanta sans aucune intervention de l’électhomagnétisme.]此句不仅表明德布罗意清楚地认识到黑体辐射问题中的首要疑难，也就是普朗克定律的第一个因子8πν²/c³；而且，可以将它对比2年后另一位当时同样尚名不见经传的作者论文中的话：“所有这些情况下的推导从逻辑角度来看都没有得到充分证明。与此相反，光量子假说与统计力学（为满足量子理论的需要而制定的形式）相结合，似乎足以独立于经典[电动力学]理论来推导该定律[In all cases ... the derivations have not been sufficiently justified from a logical point of view. As opposed to these the light quantum hypothesis combined with statistical mechanics (as it was formulated to meet the needs of the quantum theory) appears sufficient for the derivation of the law independent of classical theory]^[53]，不难发现二者间惊人的相似。后者正是玻色（S. N. Bose）！

论文正文开始，德布罗意写道：“我们采用光量子假设。平衡温度T下的黑体辐射，可以认为是能量为hν的光原子（d’atomes de lumière）所形成的气体”。这里德布罗意所说的“光原子”具有极小但非零静止质量m₀，能量为W=hν。这里忽略了2, 3, …, nhν个光原子组成的“光分子”（molécules de lumière）的可能性。因为“从光量子的观点来看，维恩定律的形式是在忽略原子结合的情况下，从完整的普朗克定律推导出的。”这样，德布罗意一上来就在没有任何实验证据，物理学界还在半信半疑的情况下全盘接受了爱因斯坦的光量子（他称为“光原子”）假设。同时，德布罗意大胆地赋予光原子极小的质量m₀，这也是违背当时任何已知的实验事实的，虽然从纯粹理论的角度，这也并非不可以讨论的问题。在他1924年的论文《光量子的尝试性理论》^[15]中，德布罗意估计m₀<10^-50g。根据相对论，对于W=hν的光原子，有，其中β=v/c（下文各公式中的玻尔兹曼常数，德布罗意原文用k，本文一律以k_B代之）。极小的m₀导致光原子速度v无限接近光速c，即β≈1。由此可得光原子的动量p≈hν/c（德布罗意使用记号“G”），并可得到光压的传统结果P=u/3。

接下来，利用今天任何统计物理教科书都讲授的方法，由粒子数密度的麦克斯韦-玻尔兹曼分布，

其中C为归一化系数。考虑单位体积，以及代换|p|=W/c，上式变为

这里C′为吸收了k_B、c等常数的新系数。积分此式就是总（光）原子数（密度），于是有

单（光）粒子能量由此可以方便地确定，即

此式如果代入W=hν即是维恩定律的结果（至一个待定系数）！如果上式积分则可得单粒子能量（密度）：u~3k_BT，这个结果比非相对论情形（3k_BT/2）大了2倍。

借助热力学基本方程dS=dU/T+PdV/T的标准方法可以确定黑体辐射的熵S、斯特藩-玻尔兹曼辐射定律（即辐射能量正比于温度的四次方），以及自由能F=-Nk_BT等。若令粒子数密度n≡N/V=A(k_BT)³，A是待定系数。德布罗意问，能否确定这个待定系数呢？“我们可以尝试一下曾由普朗克、萨库尔（O. Sackur）、泰特罗德（H. Tetrode）和其他人用于计算化学常数的方法。我们必须紧跟近来由普朗克所发展的理论”，也就是由自由能的吉布斯正则分布表示出发，

使用6N维相空间积分表示F（并除以N!），即可算出自由能F，这里直接给出结果，

这个结果应该和热力学的结果一致，因此有

便可确定=_W的表达式(5)，就是完整的维恩定律的结果，除去一个因子“2”:

德布罗意随后说明，因子2的差异是由于未在理论中计入光的偏振，完整的光量子理论中，每个光原子可与右旋或左旋两种可能的圆偏振内部态耦合，从而消除此差异。

德布罗意进一步论述说，如果考虑单原子、双原子等混合光原子气，则得到普朗克定律的表示，

方括号内的指数求和给出普朗克谱的第二个因子

《黑体辐射和光量子》是德布罗意物质波思想的起点。从德布罗意随后的论文中我们会看到他不断对这篇论文里那些模糊的思想概念加以更为详尽的论证和打磨，直到最终1924年博士论文中完整的物质波概念诞生。这其中的关键一环出现在1922年第二篇论文《论干涉与光量子理论》^[10]中。1922年11月6日德布罗意将此文提交巴黎科学院，全文仅两页半，其中考虑了光量子的干涉问题。为了解释观察到的种种干涉现象，德布罗意认为必须引入关于光量子行为的某种假设，即“应该考虑发展一种与光量子存在性相协调的干涉理论。”[nous voulons insister sur une idée susceptible peut-être de faciliter la construction d’une théorie des interférences en harmonie avec l’existence des quanta de lumière.]

德布罗意选择从爱因斯坦关于普朗克定律的黑体辐射能量涨落^[37,39]入手，揭示这种假设的内涵：

这里是瞬时能量和平均能量的偏差。从上式很明显可以看出能量涨落是两项之和，每项单独来看均有其来源：(i)若辐射是纯波动的，即经典电动力学的结果；(ii)若辐射完全以hν量子化的，即维恩定律的结果。

有了涨落的表示，德布罗意笔锋一转，立刻回到了前一篇论文中那个他并无把握的式(10)，他说：“从光量子理论的角度看，将普朗克公式写成如下形式似乎是合乎逻辑的”，即：

也就是说，黑体辐射的能量涨落的(11)式可写为：

这不仅和光原子加光分子气模型吻合，也和爱因斯坦已经得到的结果完全一致：

德布罗意因此得出结论：“从光量子（理论）的视角来看，干涉现象似乎与光原子聚集体（d’agglomérations d’atomes de lumière）的存在相关——这些聚集体的运动并非相互独立，而是具有相干性。由此自然可以设想：倘若光量子理论有朝一日能成功阐释干涉现象，必然需要引入这种量子聚集体的概念。”

我们如何看待这种光原子聚集体的物理含义？德布罗意将普朗克谱展开为无穷级数^[54]，发现里面每一项都与维恩分布形式相同，连同能量涨落的形式都一样，因此每一级数项都可认为对应能量单元nhν。德布罗意的逻辑似乎是——在本文作者看来——如果对这些不同能量单元的光（原）分子找到恰当的概率分布，那么基于光量子理论就有可能同时得到普朗克分布和爱因斯坦的涨落结果？然而，德布罗意的推理到此戛然而止，只留下了关于光量子相干性的直觉洞察。另外需要指出的是，德布罗意并非唯一产生这一设想的人。实际上，在1921年（甚至更早），沃尔夫克（M. Wolfke）就做了类似的推导^[55]（但是本文作者并没有看到文献表明德布罗意受到沃尔夫克的影响）。

从1922年的论文中，读者似乎看不到任何与物质波相联系的字样。但是，按照德布罗意以及布里渊（L. Brillouin）的文字记录，这一伟大思想，已经蕴含在当年1月的黑体辐射论文中。在带“脚注(1)”的那行文字中，德布罗意写下了：“它们（光量子）的动量[即能量为hν的光量子的动量]是hν/c”（第422页）。1964年春，在写给库布利（F. Kubli）的信中，德布罗意证实了相位波（物质波）的思想正是始于这句并不起眼的话^[18]。

德布罗意1922年《黑体辐射和光量子》一文朦胧闪现的“相位波”的影子，在1923年夏天突然变得明朗。据德布罗意自己的回忆：“在我与兄长的交谈中，我们得出在X射线情形下既有波又有粒子的结论，于是突然——我无法给出确切日期，但肯定是在1923年夏天——我萌生了一个想法：必须将这种二象性扩展到物质粒子，尤其是电子。我意识到，一方面，哈密顿-雅可比理论在一定程度上倾向于这一点，因为它适用于粒子，此外，它代表了几何光学；另一方面，在量子现象中，我们得到整数，这在力学中很少见……但在波动现象及所有涉及波运动的问题中却频繁出现。于是我对自己说，必然存在与量子现象相联系的波动性质，于是我……的三篇通讯，试图精确阐述这些想法。这三篇短文包含了后来进入我随后撰写的博士论文中的核心内容。”^[56]

德布罗意提到的三篇通讯就是前述《波与量子》^[11]，《光量子、衍射与干涉》^[13]、《量子、气体动理学理论与费马原理》^[14]。在《波与量子》一文中，德布罗意指出若要将光原子视为真实运动物体，须解决狭义相对论时空变换下的频率问题。他假设一静止质量为m₀的运动物体，在其静止坐标系中的“固有能量”为m₀c²。假设该运动物体内部存在一个频率为ν₀的周期性现象，满足hν₀=m₀c²。当其相对于静止观察者以速度v=βc运动时，观察者会观测到不同的频率。而从量子的角度，运动粒子的总能量为，即频率为：

而根据相对论的时间膨胀，观察者看到的内部频率ν₁为：

联立式(15)和(16)可得基本关系：。为调和的矛盾，德布罗意提出了相位和谐（harmony of phase）定理^[15]：粒子的内部周期性振荡相位始终与伴随粒子运动的相位波在粒子位置的相位相等。假设t时刻粒子位于x=vt，粒子和相位波的相位分别为：

而相位和谐定理要求二者恒相等，即

利用基本关系式，即可得

换言之，相位波频率为ν，以相速度V、群速度U=v=βc传播。

德布罗意由此确立了相位波的相对论运动学基础，随后在第二篇论文^[13]中进一步解释了干涉、衍射现象。他指出，微观粒子的运动以如下公设作为自由质点动力学的基础：“在轨迹的每一点上，自由移动的物体都跟随其相位波的射线做匀速运动。”在第三篇论文^[14]（及其博士论文）中，德布罗意发现，几何光学中的费马原理与经典力学中的莫培督最小作用量原理在数学形式上具有一致性：

当相速度满足V=c²/v且动量p=h/λ时，粒子的运动轨迹与相位波的波阵面相同。这一结论证明了相位和谐定理（同时也解释了玻尔的原子轨道稳定性条件：量子化的稳定轨道，即∮pdq=nh，实质上是相位波沿闭合路径形成的驻波相干共振。这是美妙的联想，标志着经典力学的轨道概念可以和相位波概念整合为一体）。至此，德布罗意的物质波（相位波）思想完全成型。本文旨在关注德布罗意的黑体辐射研究，，并不打算在此对物质波思想的演变加以详尽介绍，感兴趣的读者一方面可以阅读德布罗意的博士论文有关章节；另一方面，也可参考有关论文（例如，[52,57,58]及其中所引文献，需注意，今天正统量子力学中物质波或波粒二象性的观念，距离一百年前已经有本质的不同）。

现在，“似乎已到……统一微粒观与波动观，从而对量子的真实本质有所洞见的时刻……本论文的主要目标，便是对我们所提出的新思想、它们所取得的成功，以及它们仍然包含的诸多空白，进行更为完整的论述。”^[16]（第30页，以下如无说明，页码均指发表于《物理学年鉴》的版本）。自然，物质波的引入要求对黑体辐射进行新的诠释。德布罗意在论文第七章再次讨论黑体辐射问题。

在回顾了统计力学的一些基本结果后，他陈述道：“我们很自然地会考虑到——正如金斯先生在其黑体辐射概念中发展的一样——构成定态系统（即在空腔尺度内共振）的相位波是唯一稳定的。这种稳定的驻波系统在热力学平衡时才会出现”（博士论文第110页）。于是，可以计算单位体积内包含的，位于给定频率间隔(ν,ν+dν)之间的驻波模式数n_νdν,

其中，对于纵（横）波，因子r=1(2)。前已证明，与速度v=βc的原子相耦合的相位波具有相速度V=c/β，群速度U=βc，频率为。记（W为动能），相对论给出。驻波数分布为：

每一个驻波模式（即一个h³）可承载多个原子。根据统计力学的正则分布，在体积元dxdydz且动能为W的范围内，原子总数为：

式(23)是普遍的结果。若对于物质原子（气），在非相对论极限下(α≈0)即过渡到金斯的结果。

但是，对于光原子气，仍然需要新的假设（1922年德布罗意已经发现它给不出普朗克谱）。这个新的假设是：

如果两个或多个原子的相位波精确地叠加，可以说它们被同一个波输运，那么它们的运动将不能再被视为完全独立，并且这些原子在概率计算中将不能再被当作独立的单元来处理[Si deux ou plusieurs atomes ont des ondes de phase qui se superposent exactement dont on peut dire par suite qu’ils sont transportés par la même onde. leurs mouvements ne pourront plus être considérés comme entièrement indépendants et ces atomes ne pourront plus être traités comme des unités distinctes dans les calculs deprobabilité]

他强调说，“‘同波’的原子之间由于相互影响所表现出来的相干性而无法确定它们各个体的运动……每一基本驻波都可以输运0, 1, 2,…光原子”（注意，输运的数目并没有上限）。利用正则分布，单位体积内，总能量对应于频率介于ν和ν+dν之间的原子数为

其中A是待定系数。对于光（原子）气体，A=1（可以采用多种方法证明之，例如德布罗意1922年论文中结合热力学的办法），r=2，上式变为：

注意，上式求和从 p=1 开始。如果联系到恒等式

则立刻发现式(25)右端中求和给出的普朗克定律里的因子，联系着式(26)中的级数求和的比值，

。德布罗意再一次从物质波的角度给出了黑体辐射的普朗克定律。另一方面，式(25)让熟悉统计物理的读者很难不联想到玻色的结果。譬如，在黑体辐射的玻色统计那里，我们问：n_s个全同的光量子占据能级的平均占据数为几何？

由以上，光原子气的能量密度因此是：

这正是普朗克定律的级数展开形式，可参见前文式(10)或(12)。它不再是1922年德布罗意并无把握的级数展开的结果，而是重新建立于物质波相位和谐定理的基础之上！单位体积的辐射总能量（密度）因此是：

上式带有花括号的最后一项正是黎曼ζ(s)函数（这里s=4，求和结果是π⁴/90）。至此，黑体辐射的所有结论都已在物质波的框架下得到解释。

德布罗意的物质波思想带来以上全新的处理意味着什么呢？在一般情况下，考虑普朗克谱级数展开的第p项：

也可以写成：

换言之，德布罗意认为：“黑体辐射可以被视为无穷多种气体的混合物，每种气体由一个整数p表征，并具有以下性质：位于体积元dxdydz内且具有介于phν和ph(ν+dν)之间能量的一个气体单元的可能状态数等于

最终，在结尾处，德布罗意由以上思想为基础，再次得到了和爱因斯坦涨落公式一致的结果，这当然并不意外。德布罗意得出结论：“可以不借助干涉理论，而仅通过引入与同一个相波相关联的原子的相干性，同样正确地求得黑体辐射的涨落。”至此，德布罗意通过物质波概念完成了（物质）粒子属性与波动属性的统一。

1924年秋天，爱因斯坦正在进行他的理想气体低温简并性质的计算，他收到了郎之万寄给他的德布罗意的博士论文，立刻看到了它与他正在研究的问题之间的联系。如果说德布罗意受到爱因斯坦的狭义相对论以及光量子假设的“启蒙”并实现了飞跃的话，那么现在，他的物质波思想又在某种程度上“反哺”爱因斯坦，使后者对于量子气体的低温行为产生新的物理洞察，并由此导致一系列的理论发展，特别是对薛定谔提出波动力学的启迪，深刻地印证了爱因斯坦（对德布罗意物质波思想）的评价：“它掀开了大幕的一角”。

大幕掀开之后——并非“尾声”的尾声

运用经典统计方法处理黑体辐射问题中所暴露出的缺陷和困难，最终由玻色在1924年解决。玻色通过将普朗克的物质振子量子化方法推广到辐射本身，改变了状态计数的统计方法，引进全同粒子（光子）的不可分辨性质，“把光量子假说和统计力学结合起来”，从量子理论中推导出包括第一因子在内的完整的普朗克定律，一举完满地解决了黑体辐射问题。整个物理学由此面目为之一变。与玻色-爱因斯坦统计相对应，费米和狄拉克各自独立地在1926年发现了关于费米子的费米-狄拉克统计，狄拉克还创造了“玻色子”一词。费米首次公开阐述其统计计算是在1926年2月7日于意大利林琴科学院（Accademia dei Lincei，意大利国家科学院）。费米将核心结果先发表于林琴科学院院刊^[59]，随后以更详实的形式发表在德国的物理学杂志^[60]。费米的这两篇论文并未获得应有的反响，直到狄拉克独立地从考虑多电子体系波函数的对称性中推导出相同结论后，物理学界才认识到其价值所在^[61]。

另一方面，被爱因斯坦誉为“揭开大幕一角”的德布罗意物质波思想，经过薛定谔在百年前那个圣诞节“神秘的”直觉飞跃，终于蜕变而成量子力学的波动形式，在证明了量子力学的波动形式和矩阵形式的等价性之后，量子力学的波动方程——薛定谔方程，开始在物理学的各个领域插上旗帜。量子革命的大幕由此拉开。

最后，也许用1929年瑞典皇家科学院诺贝尔物理委员会主席奥辛（C. W. Oseen）对德布罗意的赞颂^[62]来结束本文再合适不过了：

你还很年轻之时，就投身于围绕物理学中最深远问题的激烈争论中。你有胆量在没有任何已知事实支持的情况下断言，物质不仅具有微粒性质，还有波动性质……后来的实验证实了你的观点是正确的。你为一个已经荣耀了数百年的盛名增添了新的荣光。

参考文献与注释

[1] 注 0：德布罗意从狭义相对论出发讨论相位波的性质，（也许）无意中使他更容易得到相位波的运动学基础。作为一个例子，直到物质波思想提出 50 年后，仍有物理学家质疑德布罗意物质波的动量-波长公式违反了伽利略相对性原理。虽然这种质疑并不正确，然而其背后的原因却不能说是平庸的。

[2] T. Kuhn, The structure of Scientific Revolutions, (University of Chicago Press, Chicago, 1996).

[3] T. Kuhn, The Essential Tension: Selected Studies in Scientific Tradition and Change, (University of Chicago Press, Chicago, 1977).

[4] 注 1：Lycée Janson de Sailly 成立于 1884 年，是法国公共教育体系中在巴黎最著名、规模最大的综合性高中之一。

[5] 注 2：莫里斯当时由庞加莱邀请，担任索尔维会议的秘书之一，并同郎之万一起负责出版会议的报告和讨论，德布罗意对此进行了深度阅读。他后来回忆说：“With the enthusiasm of my age, I had been thrilled by the interest in the problems studied, and I had promised myself to devote all my eforts to understanding the true nature of the mysterious quanta [...]At the time, I had already perceived the importance [...] of Analytical Mechanics. ”参见，L. de Broglie, Vue d’ensemble sur mes travaux scientifiques, In: Louis de Broglie. Physicien et penseur, Paris, Albin Michel, (1953).

[6] B. Wheaton, Atomic Waves in Private Practice, In: J. Evans and A. Thorndike, Quantum Mechanics at The Crossroads, New Perspectives from History, Philosophy and Physics, Berlin-Heidelberg, Springer-Verlag (2007).

[7] L. de Broglie, Nouvelles perspectives en microphysique, Albin Michel (1956).

[8] L. de Broglie, Rayonnement noir et quanta de lumière (Blackbody radiation and light quanta), Journal de Physique et le Radium 3, 422-428, (1922).

[9] 1963 interview in Paris with Thomas S. Kuhn, Andre George and Théo Kahan, Archive for the History of Quantum Physics.

[10] L. de Broglie, Sur les interférences et la théorie des quanta de lumière, Comptes Rendus (Paris) 175, 811-813, (1922).

[11] L. de Broglie, Ondes et quanta (Wave and quanta), C. R. hebd. Séanc. Acad. Sci. Paris 177, 507-510, (1923).

[12] L. de Broglie, Waves and quanta, Nature 112, 540, (1923).

[13] L. de Broglie, Quanta de lumière, difraction et interférences, C. R. hebd. Séanc. Acad. Sci. Paris 177, 548-551, (1923).

[14] L. de Broglie, Les quanta, la théorie cinétique des gaz et le principe de Fermat, C. R. hebd. Séanc. Acad. Sci. Paris 177, 630-632, (1923).

[15] L. de Broglie, A tentative theory of light quanta, Phil. Mag. 47, 446, (1924).

[16] L. de Broglie, Recherches sur la théorie des quanta (On the Theory of Quanta), Thesis, Paris, (1924); Ann. de Physique 10 (3), 22-128, (1925); 英译本参见：Foundation of Louis de Broglie, English translation by A. F. Kracklauer, (2004). [本文作者注：德布罗意博士论文的这一英译本是我们仅见的英译版本。经过对部分章节法语原文的对照，我们发现此英译本存在一些错误，例如，第七章题目 “La mécanique statistique et les quanta”，译为“Quantum Statistical Mechanics”（量子统计力学），应为“统计力学与量子”更准确妥当；第七章(7.3.16)式漏掉了重要的n_p，否则得不到正确的结果。]

[17] M. Jammer, The Conceptual Development of Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, (1966); 2nd ed., American Institute of Physics, (1989).

[18] 爱因斯坦致郎之万，1924；引自 F. Kubli, Louis de Broglie und die Materiewellen, Archive for History of Exact Sciences, 7(1), 26-68, (1970).

[19] C. Davisson and C. H. Kunsman, The scattering of electrons by nickel, Science, 54, 522-524, (1921).

[20] 注 3 ：W. 埃尔萨瑟 (Walter Elsasser) 也是一位富于传奇色彩的德裔美籍物理学家。埃尔萨瑟职业生涯的后期转向理论生物学研究，跟本文主题无关联。

[21] A. Einstein, Quantentheorie des einatomigen idealen Gases (Quantum Theory of a Monoatomic Ideal Gas), Sitzungsberichte der Preussischen Akademieder Wissenschafen, Physikalisch-mathematische Klasse, 261-267, (1924).

[22] A. Einstein, Quantentheorie des einatomigen idealen Gases, zweiteAbhandlung (Quantum Theory of a Monoatomic Ideal Gas, Second Treatise), Sitzungsberichteder Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse, 3-14, (1925).

[23] C. Davisson and L. H. Germer, The Scattering of Electrons by a Single Crystal of Nickel, Nature 119, 558, (1927).

[24] 注 4：亦称“玻姆力学”。注意，德布罗意理论并不完全等同于玻姆力学，特别是，德布罗意本人实际上对玻姆诠释持反对态度。

[25] 例如，D. Bohm and B. Hiley, The de Broglie pilot wave theory and the further development and new insights arising out of it, Foundations of Physics, 12 (10) 1001-1016, (1982)，

[26] P. R. Holland, The quantum theory of motion: An account of the de Broglie-Bohm causal interpretation of quantum mechanics, Cambridge University Press, Cambridge (1993).

[27] “Guiding Waves in Quantum Mechanics: One Hundred Years of de Broglie-Bohm Pilot-Wave Theory”, A. Oldofredi ed., (Oxford University Press, 2025).

[28] 参见：维基百科德布罗意词条，https://en.wikipedia.org/wiki/Louis_de_Broglie

[29] 注 5：在作者完成本文之际，发现国内已出版了《德布罗意文选》（北京大学出版社，2012）。该书收录、译介了包括德布罗意的博士论文在内的重要文献，但未收录德布罗意 1923 年的三篇论文。

[30] M. Planck, Eine neue Strahlungshypothese (A new radiation hypothesis), Verhandlungen der Deutschen physikal, Gesellschaft 13, 138-148, (1911). 本文作者注：普朗克在论文中明确说明，其动机是为了避免因所有相互作用能量都量子化而导致振子能量的有效量子化。这一新的假设甚至促使普朗克修正了他的辐射定律，为每个振子能量增加了一个与温度无关的项 hν/2——这恰好对应振子在绝对零度时的能量。这似乎是“零点能”概念的首次出现。

[31] A. Einstein, Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betrefenden heuristischen Gisichtspunkt (On a Heuristic Point of View Concerning the Production and Transmission of Light), Annalen der Physik 17 (1905), in “The Collected Papers of Albert Einstein: Vol. 2 The Swiss Years: Writings, 1900-1909”, trans. Anna Beck (Princeton: Princeton University Press, 1989), p. 97.

[32] A. Pais, Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein, New York: Oxford University Press (1982).

[33] P. Ehrenfest and H. Kamerlingh Onnes, Simplified Deduction of the Formula from the Theory of Combinations which Planck Uses as the Basis of his Radiation Theory, Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences 17, 870-73, (1914).

[34] J. Hendry, The development of attitudes to the wave-particle duality of light and quantum theory, 1900-1920, Annals of Science 37, 59-79, (1980).

[35] B. R. Wheaton, Philip Lenard and the photoelectric effect, 1889-1911, Historical Studies in the Physical Sciences 9, 299-322, (1978).

[36] 注 6：由于历史原因等，将 wave-particle duality 称“波粒二象性”在坊间已经约定俗成。本文亦按此。但是值得指出，“二象性”似已无“duality”蕴含的“对偶”意味，后者在物理学中有更深刻的影响。

[37] A. Einstein, Zum gegenwärtigen stand des strahlungsproblems, Physikalische Zeitschrift 10, 185-193, (1909).

[38] A. Einstein, Über die Entwicklung unsere anschauungen über das wesen und die konstitution der strahlung, Physikalische Zeitschrift 10, 817-825, (1909).

[39] A. Einstein, Zum gegenwärtigen Stande des Problems der spezifischen Wärme (On the Present State of the Problem of Specific Heats), The First Solvay Congress, Brussels,(1911).

[40] N. Bohr, On the constitution of atoms and molecules, Part I., Philosophical Magazine 26 (Series 6), 1-25, (1913).

[41] R. A. Millikan, Einstein’s photoelectric equation and contact electromotive force, Phys. Rev. 7, 18-32, (1916).

[42] R. A. Millikan, A Direct Photoelectric Determination of Planck’s h, Phys. Rev. 7 (3), 355-388, (1916).

[43] R. A. Millikan, The existence of a subelectron?, Phys. Rev. 8, 595-625, (1916).

[44] 注 7：Millikan 在[42]中评论说：“ ……爱因斯坦得出这个方程式的半微粒理论目前似乎是完全站不住脚的。”[Yet the semi-corpuscular theory by which Einstein arrived at his equation seems at present to be wholly untenable.]

[45] A. Einstein, Zur Quantentheorie der Strahlung, Zürich Mitteilungen 18, 47-62, (1916).

[46] M. Planck, Zür Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normal- spectrum (On the Theory of the Energy Distribution Law of the Normal Spectrum), Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, 237-45, (1900); Zür Theorie der Wärmestrahlung (On the Theory of Thermal Radiation), Annalen der Physik 4, no. 31, 758-68, (1910).

[47] P. Debye, Der Wahrscheinlichkeitsbegrif in der Theorie der Strahlung (The Concept of Probability in the Theory of Radiation), Annalen der Physik 338, no. 16, 1427-34, (1910); Zerstreuung von Röntgen-strahlen und Quantentheorie (Scattering of X-rays and Quantum Theory), Physikalische Zeitschrift 24, 161-66, (1923).

[48] A. Einstein, Zür Quantentheorie der Strahlung (On the Quantum Theory of Radiation), Physikalische Zeitschrift 18, 121-28, (1917).

[49] W. Pauli, Über das thermische Gleichgewicht zwischen Strahlung und freien Elektronen (About the Thermal Equilibrium between Radiation and Free Electrons), Zeitschrift für Physik 18, 272-86, (1923).

[50] A. Einstein and P. Ehrenfest, Zür Quantentheorie des Strahlungsgleichgewichts (On the Quantum Theory of Radiation Equilibrium), Zeitschrift für Physik 19, 301-306, (1923).

[51] A. H. Compton, A Quantum Theory of the Scattering of X-Rays by Light Elements, Phys. Rev. 21, 483-502, (1923).

[52] H. A. Medicus, Fifty years of matter waves, Physics Today 27, 38, (1974).

[53] S. N. Bose, Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese, Zeitschrift für Physik 26, 178-81, (1924); 英译本参见：S. N. Bose, Planck’s Law and the Light Quantum Hypothesis, Journal of Astrophysics and Astronomy 15, 3-7, (1924).

[54] Jun Ishiwara（石原纯）, Zur Theorie der Strahlungserscheinungen, Phys. Zeitschrift 13, 1142-1151, (1912). 石原纯似乎是最早利用级数展开来研究普朗克定律的。

[55] M. Wolfke, Einsteinsche Lichtquanten und räumliche Struktur der Strahlung (Einstein’s light quanta and the spatial structure of radiation), Phys. Zeitschr. 22, 375-379, (1921).

[56] L. de Broglie, Conversations; AHQP Interview, (7 Jan. 1963). 第 5 页. [Online: https://repository.aip.org/node/130439]. 作者注：访谈以法语进行，原文如下：... Et, comme dans mes conversations avec mon frère nous arrivionstoujours á la conclusion que dans les rayons X aussi on avait ondes et corpuscules,tout-á-coup, je dois dire – je ne peux pas dater exactement quand, mais c‘est certainement au cours de 1été de 1923-j’ai eu 1’idée qu’il fallait étendre cette dualité aux corpuscules de matière, et en particulier aux électrons. Et j ’ai remarqué que d’une part la theorié d’Hamilton-Jacobi tendait un peu á cela puisqu‘elle est applicable á des particules et que dçjà elle est une optique geometrique en plus de ca, et que d ’autre part, dans les phénomènes de quantification, on avait des nombres entiers, des nombres entiers qui se présentent très rarementen mécanique, dans certains problemès de mécanique céleste, je crois bien, tresrarement, et qui, au contraire, sont tout á fait courants dans tous les problemès ondulatoires, dans tous les problemès de dimension d’ondulation. Et alors je mesuis dit: mais il doit y avoir une nature ondulatoire de la quantification, etalors j’ai fait trois notes au compte-rendu en Septembre et dêbut Octobre 1923, dans lesquelles j’ai essayé de mettre d’une façon précise ces idées. Ces troisnotes, en somme, contiennent 1’essentiel de ce qui a été plus tard dans ma thèse, que j’ai développée ensuite.

[57] M.-C. Combourieu and H. Rauch, The Wave-Particle Dualism in 1992: A Summary, Foundations of Physics 22, 1403-1434, (1992).

[58] A. Aspecta and J. Villainb, The birth of wave mechanics (1923–1926), C. R. Physique, 18, 583-585, (2017).

[59] E. Fermi, Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico, Atti dell’Accademia dei Lincei 3, 145-9, (1926), 也就是说费米理论的萌芽可追溯至 1925 年夏季。

[60] E. Fermi, Zur Quantelung des idealen einatomigen Gases, Zeitschrift für Physik 36, no. 11-12, 902-12, (1926).

[61] P. A. M. Dirac, On the Theory of Quantum Mechanics, Proceedings of the Royal Society (London) A 112, 281-305, (1926). 实际上，我们现今所使用的费米-狄拉克统计分布表达式，正是狄拉克所用的表述形式。

[62] When quite young you threw yourself into the controversy raging round the most profound problem in physics. You had the boldness to assert, without the support of any known fact, that matter had not only a corpuscular nature, but also a wave nature. Experiment came later and established the correctness of your view. You have covered in fresh glory a name already crowned for centuries with honour.Presentation Speech by Professor C. W. Oseen, Chairman of the Nobel Committee for Physics of the Royal Swedish Academy of Sciences, on December 10, 1929，诺贝尔奖委员会官网 1929 年物理学奖颁奖词.

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