人忘，科学不息

【几人能够做到】

近期，清华大学高等研究院陈静远团队发表两篇文章，解决了格点量子色动力学中杨-米尔斯场的瞬子该如何定义的长久难题。更重要的是，解决这一问题必须要用范畴学的数学语言重新建立对格点量子场论的基本认知，这种底层观念上的革新会产生广泛而长远的影响。此外，这一项目需要涵盖从抽象的高阶范畴学，到粒子物理、凝聚态物理、拓扑场论，再到具体实践中的数值计算、机器学习等多个领域的多种视角，不同领域间视角的交错启发也体现了理论物理研究之趣味。

1. 格点杨米尔斯场论

物理学中，常常会有一些理论，它的形式非常简洁优美，它的现象却极为丰富，同时也因而复杂难解。描述自然界四种基本力之一的强核力的基本理论——量子色动力学，就是这样一种理论：基本粒子夸克通过简洁优美的杨米尔斯场论发生相互作用，但杨米尔斯相互作用的过程会层层自我迭代，变得异常复杂。它最终到底通过什么样的机制导致质子、中子的形成，以及其它有趣现象的产生，是物理学中影响极深远的难题。

既然这样的重要问题很难把它解出来，那么我们能否起码在计算机上将它模拟出来？早在1974年，物理学巨匠Kenneth Wilson就提出了这种理念。虽然Wilson最初认为这种模拟所需的计算力远超当时计算机的水平，但几年后Michael Cruetz就作了最早的实践尝试。此后的几十年里，这种实践一步步成熟，诞生了基础物理学的一大领域：格点量子色动力学，取得了大量丰硕的成果。这也是如今人们理解杨米尔斯场论的动力学的最主要方法。

为什么这个领域叫“格点”量子色动力学呢？因为杨米尔斯场是遍布在时空中的，而时空是连续的，任何一个局部的区域里都有无限个点，但计算机计算能力再强也只能作有限的计算。因此，我们要用离散的格点来“采样近似”替代连续的时空。Wilson1974年的工作里就指明了如何在离散的格点上恰当地定义杨米尔斯场论：其中一个重点是，杨米尔斯场不能定义在格点的每个点上，而必须定义在点和点之间的每根连线上。

Wilson提出的格点杨米尔斯场论，不仅是计算机模拟之必须，更对人们从思想观念上理解杨米尔斯场论本身，有非常深远的影响。

2. 瞬子问题

在杨米尔斯场论的诸多丰富现象中，尤其有趣的一个现象是“瞬子”的存在。瞬子是杨米尔斯场在时空中的一种拓扑构型（就像一根橡皮筋绕一根棍子一圈、两圈、三圈……就是不同的拓扑构型）。通过一些在数学上非常深刻、且人们已有良好理解的物理过程，瞬子会对夸克的行为有很特殊的影响【注1】，并产生重要的物理后果。譬如，有一种微观粒子叫η′介子，它有一大部分质量是来自于瞬子对夸克的特殊影响所产生的能量。

既然瞬子这么有趣，那么按说它应该在Wilson提出的格点杨米尔斯场论的计算机模拟中得到很充分的研究。然而事实恰恰相反：瞬子本是定义在连续时空的杨米尔斯场论中的，而在离散的格点上，自1974年Wilson提出格点杨米尔斯理论以来，五十年来人们甚至未能在格点上良好地定义出“何为瞬子”，遑论良好的计算机模拟了。

这并不是一个计算机编程的技术性问题。这个问题的根源来自于，在Wilson定义的格点杨米尔斯理论里，格点杨米尔斯场的任意一个取值构型，都能连续变化成任意另一个取值构型，而“拓扑”的概念应当是在连续变化下不受影响的，因此，Wilson定义的格点杨米尔斯理论本质上就不可能良好地定义出“不同拓扑构型”的概念。由于有这个本质问题，从80年代以来，人们虽然对于在格点上定义瞬子有过大量权宜之计的尝试，并进行计算机模拟，但这些权宜之计都天然不可避免地有种种问题。

因此，在格点杨米尔斯场论中如何良好地定义瞬子，是一个自1974年格点杨米尔斯场论诞生以来便存在的重要难题。甚而，许多人认为这个问题本质上就天然存在，似乎不该有所谓的根本性解决方案。

3. 范畴学重建格点杨米尔斯场论，瞬子问题的解决

2022年之前，陈静远研究员已逐渐意识到了一个情况：在凝聚态物理中，有一个可以类比于格点杨米尔斯瞬子、但简单得多的拓扑问题，是早已从根本上被解决了的。

这个问题是，假如在一个平面里，每个格点上有个小箭头指向不同的方向，那么要如何良好地定义某处是否有一个漩涡呢？

这个问题早在1971年就由VadimBerezinskii在研究如今被称作Berezinskii–Kosterlitz–Thouless相变的问题的过程中解决（Berezinskii英年早逝，而Kosterlitz和Thouless因这项工作获得了2016年的诺贝尔奖）。他的解决方法，如今我们可以如下理解：虽然原本的小箭头是长在格点上的（下图红色），现在我们却要进一步关注格点跟格点之间的连线（下图灰线），要在每条连线上引入一个新的自由度，它的意义是“脑补”出在这条连线上还密布着很多小箭头（下图蓝色），这些“脑补”出的蓝色小箭头代表了一个格点上的红色小箭头的指向如何逐渐转动到相邻格点上的红色小箭头的指向。

而这个新自由度可以有不同的取值，代表“脑补”出的“逐渐转动”的不同可能性（上图展示了两种可能性），且每种可能性会被赋予合适的概率（如上图中，应该是第一种可能性的概率高，第二种可能性的概率低，其它更复杂的情况概率更低）。有了这些在格点连线上“脑补”出的中间过程后，任何一个地方有没有漩涡就完全被良好地定义了。由于这些“脑补”的自由度是概率性的，因此，先前“无漩涡”和“有1个漩涡”的对比图，更准确的描述是“大概率无漩涡”和“大概率有1个漩涡”；改变格点上的小箭头方向的时候，各处的漩涡数的概率分布也会发生相应的变动。

这个方法对于Berezinskii推导出Berezinskii–Kosterlitz–Thouless相变有重要意义，后来又被Jean Villain发展推广，如今称作Villain方法。

在2022年之前，陈静远研究员已研究了五年Villain方法及其各种应用，逐渐意识到了Villain方法所解决的简单拓扑问题，一定与格点杨米尔斯场论中多年未解决的瞬子拓扑问题有深刻关联。但到底要从Villain方法中提炼出什么核心要义，才能进而用于解决瞬子问题呢？

2022年初，陈静远研究员注意到了Anton Kapustin和Ryan Thorngren在2013年的两篇文章，提及了Villain方法（的某种变体）可以用数学中的一种范畴学结构来描述。受此启发，陈静远研究员意识到范畴学的视角正是审视Villain方法的最恰当视角，在这一视角下反复“温故”，应当能提炼出Villain方法之所以成立的深层原因，进而能“知新”，找到从根本上解决格点杨米尔斯瞬子问题所需的数学结构。

如果说数学是自然科学的基础语言，那么范畴学可以说是当代数学的基础语言。范畴学的起源和发展有多方面的动机，而研究拓扑同伦是其中一个重要的动机——数学家需要一种足够灵活，不拘束于表面细节条框，同时却仍然严谨的语言去描述拓扑同伦。因此范畴学一个非常鲜明的特点是，相较于描绘事物（数学对象）的本身细节，它更着重于事物之间的关系，乃至关系之间的关系，而这些关系反过来也可以重构事物本身的特性（所谓“人是其一切社会关系之总和”）。经过伟大的格罗滕迪克等数学家的洗礼，范畴学在过去几十年里早已给数学的思维范式带来了极为深远的改变。

从2022到2024两年多的时间里，经过对大量相关数学文献的学习，以及对这些数学与眼前的物理问题间关联的思考，陈静远研究员逐渐意识到格点量子场论（包括格点杨米尔斯场论，也包括许多其它格点理论）从基本认知上，就需要被范畴学语言所重新构建。这种看似抽象的重新构建，会落实到具体的格点模型上，对具体模型有重要的改进，其中的拓扑问题就会自然地被解决。这种思想应用到最简单的例子里，恰好就会复现上述前人早已发现的Villain方法。而当这种思想应用到更复杂的格点杨米尔斯场论上，会发现由Wilson提出、沿用了五十年的格点杨米尔斯场论的理论形式其实并不完备，而经由范畴学改进过的更完备的格点杨米尔斯场论，里面自然而然地就定义好了瞬子，瞬子问题不复存在了。

也就是说，一个过去五十年的重要难题的解决，其实是一整套更大的新认知框架中的一个具体应用，这套新的框架比某个具体难题的解决更加激动人心。许多其它高能物理、凝聚态物理中的重要问题也都可以纳入到这套框架体系中研究。譬如非常重要的陈省身-塞蒙斯理论的格点实现。又譬如，这套体系还可以应用在π介子的格点有效场论上，而这一应用，与其在格点杨米尔斯场论上的应用，是通过一个潜藏的杨-巴克斯特方程所联系起来的，因而，杨振宁先生的两个看似独立无关的最重要的理论工作，杨米尔斯场论和杨巴克斯特方程，在这一套新的体系里产生了意外美妙的关联。

经由范畴学改进过的格点量子场论，和传统上的格点场论相比，有如下特点。回顾一下，在上述的Villain方法里，原本的小箭头是定义在格点的每个点上的，我们却要去关注点和点之间的连线，在每根连线上引入一个新自由度，大致上代表“在连线上脑补出小箭头连续变化”的不同可能性。类似地，在Wilson 1974年定义的格点杨米尔斯场论里，杨米尔斯场本是定义在格点之间的每根一维连线上的，而现在在经由范畴学改进的模型里，我们还要在格点上的每个二维方块、三维正方体、四维超正方体里都引入恰当的新自由度，它们大致上的功能都是将Wilson的离散杨米尔斯场给“脑补”回它在连续时空中可能的样子，并且给不同的可能性赋予恰当的概率（至于何谓“恰当”的自由度及概率，其判定标准正是必须由范畴学描述的）。当模型依据这样的数学原则构建好后，回过头看，这些新自由度其实并非那么抽象——它们在“脑补”什么都是有明确的物理图像的。这种物理图像其实和当初数学家们用范畴学去发展拓扑同伦理论的想法在根源上是一致的，所以看似抽象的范畴学出现在这些真实而具体的物理拓扑构型问题中，恰是自然的。【注2】

2024年6月，陈静远研究员完成了这项研究工作的初版预印本。此后一年多，又经过多番重要改进，这篇一百多页的文章Instanton Density Operator in Lattice QCD from Higher Category Theory于2025年12月正式发表在开放期刊SciPost Physics上。

在此期间，陈静远研究员又与学生张碰共同完成了另一篇相关文章An Explicit Categorical Construction of Instanton Density in Lattice Yang-Mills Theory，对具体模型进行了更细节的构造描述，并发表于Journal of High Energy Physics。这篇文章的出发点是要将新的格点杨米尔斯场论模型在不远的将来真正落实到计算机的数值模拟之中，关于这点我们下文还会讲到最新的进展。

4.范畴学框架中的重整化与机器学习

自2023年至今，这项工作已在国内国际顶尖院校、国内国际会议上，在量子色动力学、凝聚态、拓扑场论、纯数学等多个领域的场合，受邀讲演三十余次。许多专家同样对这一意料之外的突破感到振奋，并对这一项目未来更大的发展非常期待。

在2024年第一篇文章预印本发出后，陈静远研究员就得到了国家自然基金委的理论物理专款前沿引领项目的资助。两篇文章的最终修订完成，当前及未来几年的这一项目进一步的研究开展，都得益于该专款项目的支持。

目前最显要的一个任务，是将重建后的格点杨米尔斯场论真正落实到计算机模拟中。前文说到陈静远研究员和学生张碰已为此发表了一个具体的模型构造。而经过进一步的研究思考，团队发现，如此由人为构造细节所得到的模型，虽然能符合范畴学所要求的成立条件，但许多具体细节没有必然性，并非实践中最佳。更好的格点模型，不论在数学理论上而言还是计算机模拟的实践上而言，都应当是：在符合范畴学所要求的框架条件之内，通过格点上的重整化过程，自动优化出有效作用量的具体形式——过去这样的实际操作几乎不可能实现，而今这却是机器学习最容易处理的问题。由此，看似偏向工程实践的机器学习方法，顺其自然地成为了看似非常抽象的范畴学框架下的格点量子场论中的重要一环。这是团队当前正在积极推进的工作。

在更理论、更数学的层面，同样有许多工作正在开展。团队正在将这套范畴学格点量子场论框架用于处理凝聚态领域的向列相（nematic phase）拓扑问题、强核力领域的Hopfion拓扑问题等其它问题。此外，在理论层面，有一个非常重要，且与计算机模拟实践结合最直接、最紧密的问题：如何用范畴学的语言系统性地理解格点重整化。重整化是上世纪物理学中出现的最重要概念之一，文章开头提到过的提出格点量子色动力学的物理学巨匠Kenneth Wilson，恰也是重整化概念的大成者（他因为重整化的工作获得了1982年的诺贝尔奖）。如果能将格点量子场论及其重整化过程，都系统性地用范畴学的语言重新描写，不仅在实践上将对如何作计算机数值重整化有更清晰的指导，更会是我们在理解物理的基本观念上前进的一大步。因此这是陈静远研究员团队当前着力的理论方向。

可以预见的是，现有的成果仅是一片新局面的小小开端，这套新体系真正的潜力和图景还远远没有被大幅展开。范畴学的观念和方法也还很新，要成为物理学相关领域研究者所熟悉的共识性语言，尚有时日；而这套体系图景逐步展开、持续带来重要结果，将会是对此最好的推动。未来有许多工作要做，有许多新的认知要在探索中形成，这将会是一段漫长的时间，也是令人满怀期待前进的时间。

论文链接：

1. https://scipost.org/SciPostPhys.19.6.158

2. https://link.springer.com/article/10.1007/JHEP06(2025)085

讲演视频一例（KITP量子场论会议）链接：

https://online.kitp.ucsb.edu/online/particles-c25/chen/

【注1】:具体而言，瞬子的拓扑由杨米尔斯场的第二陈省身示性类描述，它通过Atiyah-Singer指标定理，给夸克带来手征反常。

【注2】:值得一提的是，范畴学此前也曾在物理学中出现——它在拓扑场论（凝聚态中称作拓扑序）和共形场论领域早已有重要地位。然而在本项目中，所用到范畴学内容是和此前不同的另一分支，所处理的物理问题也非常不同——处理的杨米尔斯场是连续取值而非有限取值，而且它是具体的动力学问题而非普适性或对称性问题。因此，此处范畴学切入物理学的途径是全新的。有趣的是，如果将本项目中杨米尔斯场替换成有限群，那么本项工作中的范畴结构会退化成过去在拓扑场论中著名的Dijkgraaf-Witten模型，似乎预示着本项目中的范畴语言的兼容性更高。由于拓扑场论和共形场论可以看作一般性的量子场论的重整化不动点，这看似不同的范畴学语言背后如何统一，应是非常深刻的大问题，有待未来探索。

本文转自清华大学高等研究院