矩阵的若尔当标准型

当一个方阵无法对角化时，我们还能将它简化到怎样的程度？这是线性代数中一个自然又深刻的问题。本文围绕上述疑问展开，介绍了若尔当标准型——它是方阵在相似变换下所能达到的"最简形式"，也是最接近对角矩阵的标准结构。

无论你是初学线性代数的学生，还是希望重温这一经典课题的数学爱好者，本文都将带你一窥矩阵内涵的简洁之美。

关于矩阵，我们近来已经写了几篇文章，如特征值问题、矩阵可对角化的充分必要条件，以及可对角化的几类矩阵，如实对称矩阵和正交矩阵。然而，当一个方阵不可对角化时，或者等价地说，该矩阵至少有一个特征值的代数重数大于几何重数时，可提的一个数学问题是：通过相似变换，它能被简化到什么程度？换句话说，对于任意方阵 ，如何选择非奇异矩阵 ，使得  尽可能地接近对角矩阵？

先来检视一个最简单的非对角矩阵：

它有一个特征值 ，其代数重数为 。假设  能对角化，则存在非奇异矩阵

使得 ，或其等价形式 ，其中

恰好也是单位矩阵 。将等式  的左边乘出来，便有

比较两边对应元素得  和 ，故 。这说明非奇异矩阵  的第二行元素全为零，这与  的非奇异性矛盾。因此  是不能对角化的。

同理可证如下的特殊三阶上三角矩阵

也是不可对角化的。更一般地，与上面二例模式相同的任何  阶上三角矩阵  都不能相似于对角矩阵，其中  的主对角元都是同一个数 ，位居主对角线之上的"超对角元"都是 ，而其余的元素全为 。

对于长成这番模样的矩阵，以及与它们具有相似关系的其他矩阵，其背后暗藏着怎样的玄机？本文旨在揭开这类矩阵的神秘面纱：在我们熟知的特征值与特征向量背后，还隐藏着一类"广义特征向量"。它们与普通特征向量一起，如同一根根立柱，共同支撑起矩阵内部结构最简洁的呈现形式——"若尔当标准型"。由于一般矩阵在实数范围内可能没有实特征值，下面的讨论都是在复数域中进行。

让我们再次将目光投向前述的三阶上三角矩阵，其主对角元为任意复常数 ——它同时也是该矩阵的唯一特征值：

先算出对应于  的特征子空间：求解齐次线性方程组 ，即

显而易见，系数矩阵  的秩为 ，故对应于特征值  的特征子空间  的维数等于 ，其中  是  维复空间。换言之， 只有一个线性无关的特征向量，而不是可对角化所需的三个。取  这个特征向量，则它是特征子空间  的一个基底。可惜，这个基底  只满足 ，与对角化所需的三个类似等式尚有距离。

怎么办呢？回答是：设法扩大"特征子空间"，增加它的维数以期获得更多向量的支持。这条锦囊妙计的根据来自于矩阵理论中的一个基本事实：任给  阶复数方阵 ，它的零空间包含在矩阵  的零空间之中。道理很简单：如果 ，则 。用零空间的记号就是， 属于  隐含  属于 ，即存在包含关系 。由此进而推出，

其中  表示  维复向量空间。现在证明，上述序列中集合的一致包含关系一旦在某一步变成相等关系，则相等关系将永远保持下去。这个性质在本文如此重要，必须写成如下的引理。

引理. 若 ，则 。

证明. 因为 ，只需证明 。任取 ，有 。令 ，则 ，即 。由条件  得 。换言之 ，即 。

引理表明，对于  阶非零方阵 ，在嵌套关系链（2）中，从  起到某个  为止，每个包含关系都是严格的，用维数的术语说就是它们当中后一个空间的维数比前一个至少增加 。幂指数  一定存在，它满足不等式 ，理由是非零方阵零空间的维数小于矩阵的阶数。在集合论中，集合  是集合  的严格子集一般写成 。

将上面的知识用到三阶矩阵（1），依次计算

因为  的秩为 ， 的秩为 ，且  的秩为 ，故它们的零空间的维数依次是 ，，。这样就建立了严格的包含关系

前面已知三阶单位矩阵  的第一列  张成 。不难发现  和  的第二列  张成 ，最后  和  及  的第三列  张成 。虽然  是  与特征值  相关的特征向量， 和  却担当不起这个角色。然而它们既与  线性无关，又彼此之间线性无关，分属  和 ，并且都属于最后那个空间 。注意到特征向量  属于 ，出现在幂指数上的差别足以让人们将  和  称为矩阵  对应于特征值  的"广义特征向量"。

那么，如果将特征向量  及广义特征向量  和  放在一起考量，又会产生出什么样的效果呢？不难看出

及

故有 ， 和 ，用矩阵乘法表达就是

或写成相似变换的形式

上式最右边的矩阵称为对应于  的一个若尔当块，记作 ，下标  表示它的阶数是 。一般地，阶数为任给正整数  的若尔当块定义为

它可以分解为单位矩阵  的  倍和所谓的" 阶幂零矩阵"  之和：

给  冠以幂零之名是因为存在正整数  使得 ；而  当且仅当 。此外， 幂指数从  到  的矩阵幂，其秩从  开始依次递减，直至为 。

若尔当块是一般方阵作为块对角矩阵的"若尔当标准型"的对角块。它本身几乎是对角矩阵；如果将它排在超对角线上的所有  都换成 ，它就变成  乘以单位矩阵的这种特殊对角矩阵了。对于（1）式给出的矩阵 ，由于它本身就已经是若尔当块，以它作为自己的"若尔当标准型"也就不足为奇了；此时（4）式所示相似关系  中的非奇异矩阵  即为单位矩阵 。尽管这个相似变换仅仅显示平凡的等式 ，然而上述推算过程却揭示了"任意方阵可以相似于它的一个若尔当标准型"的基本思想。

要充分理解矩阵化简的思路和其中的奥秘，搞懂若尔当标准型的第一步依然要从最简单的低阶矩阵谈起，还是让  阶矩阵打头阵吧。此时的问题是：与若尔当块  相似的所有  阶方阵  会发出哪些信号？

设非奇异矩阵  使得 ，即 。令  的列为 ， 和 ，则从条件

知，， 和 。换一种写法就是

它们清晰地表达了如下特点：这三个线性无关的三维向量 ， 和  满足 ， 和 ；其中的符号""表示前后两个集合在集合论意义下的差，即属于前一个集合而不属于后一个集合的元素全体。由此得到与矩阵（1）同样的包含关系（3）。

反过来，假设三阶方阵  只有一个特征值 ，并且严格包含关系（3）成立。下面证明，可以找到三个线性无关的  维向量 ， 和 ，使得（5）式成立。因为所述严格包含关系链中的那三个零空间的维数分别为 ， 和 ，三阶矩阵 ，故 。因为 ，存在  中一个非零向量，记为 ，使得 。然后令 ，它当然不会等于 ，否则从  就可以推出 ，与选取  所满足的条件  矛盾。最后，再令 ，同理可知它也不等于 。这样依次获得  和 ，而从  得到 。

现在验证 ， 和  线性无关。若有三个数 ， 和  使得 ，则用  左乘等式两边，并由于  及 ，得 。既然 ，系数 。再用  左乘余下的等式 ，得 。因为 ，系数 。最后，由于 ，从余下的等式  知 。所以 ， 和  线性无关。结论是：存在非奇异矩阵  使得 。

看懂了如上过程的读者想必会认识到，前述推理即刻可推广到任意  阶方阵 ，只要它满足条件： 只有一个特征值 ，且有严格的包含关系链

这时，存在  的一个特征向量  和  个广义特征向量 ，它们线性无关，满足等式 ，。这些向量可以如下构造：在C^m中选取向量  使得 。然后循环地定义

在矩阵及其更加抽象的有限维向量空间中的线性算子的若尔当标准型理论中，这有限个向量序列  或其反序写法  有个专门术语，叫做"若尔当链"，其中向量的个数  称为链的长度。可用

表示若尔当链，其中的箭头表示箭头前向量由  作用于箭头后向量得到。令 ，则相似矩阵  将  化简为若尔当标准型：。

到目前为止，为介绍若尔当矩阵标准型的基本思想起见，仅对所得到的标准型只有一个若尔当块的那些矩阵开发出了一个相似变换化简程式。这类矩阵仅有一个特征值，它的代数重数自然等于矩阵的阶数，但几何重数只为 ，故只能锻打出一条若尔当链，对应的标准型仅有一个  阶若尔当块，而依次为  阶、 阶等直到  阶若尔当块的数目为 。

可以从该例验证关于若尔当标准型不同阶数若尔当块个数的计算公式。这  个零空间  的维数分别是 。对 ，用  表示  的维数，则差

是标准型中阶数大于或等于  的若尔当块的个数。显然  是非递增的非负整数序列。既然  等于阶数大于或等于  的若尔当块的个数，差

则代表了标准型中  阶若尔当块的个数。对于本例，当  时，，而 。故

即，计算公式（6）给出本例矩阵标准型各阶若尔当块的个数。

几乎所有的矩阵都不会是这么特殊的，所以需要继续挖掘标牌为"若尔当"的矩阵数学金矿。然而，为了让读者稍稍放松一下思考中的神经，先离开线性代数的主题，从近代欧洲的数学史中稍稍了解一下若尔当这位十九世纪杰出法国数学家的简历。

卡米尔·若尔当（Camille Jordan，1838-1922）以与伽罗瓦群有关的基础性研究和教科书《巴黎综合理工学院分析教程》而闻名于世，但他的半生职业却是工程师。后来他在综合理工和法兰西学院教书。他在分析学中最著名的工作是复分析中需要用到的一个拓扑结果"若尔当曲线定理"，即该闭曲线将平面分为以曲线为共同边界的有界"内部"和无界"外部"；这几何上看似直观，却非显然。若尔当矩阵是他留给线性代数这门当今大数据时代最实用学科之一的重大遗产。若尔当于  年首次提出了现以他名字命名的矩阵标准型。

下面将考虑一般方阵的若尔当标准型问题。这时，所给矩阵通常有相异的特征值，并且每个特征值的几何重数可以是不大于代数重数的任意正整数。因而可以想象它的这个"最简结构"通常含有若干个若尔当块。在进一步的讨论前，先引进若尔当型矩阵的正式定义。

定义. 主对角块是若尔当块的一个块对角方阵  被称为是若尔当矩阵。

由于若尔当矩阵中的若尔当块都是上三角矩阵，而且每个若尔当块只有一个特征值，它就是主对角线上共同的常数，故若尔当矩阵所有特征值的全体，若按代数重数排列，则与所有若尔当块的主对角元一一对应。这里提醒读者注意，不同若尔当块的主对角元可能相同，或言之，每个相异特征值都有可能"携带"一个或几个主对角元都等于这个特征值但尺寸却可以不一的若尔当块，全依这个特征值的"级别"而定。这就像国际航空公司的"常旅客计划"会员制，普通会员只能免费托运一件行李，金卡会员却可以免费托运两件行李，而最高级别的钻石会员则能享受到最高礼遇：免费托运三件行李。正是由于这个待遇，笔者之一去年退休回国时，三件托运行李中的一只帆布大包，装进了几十年教学生涯中收集保存的近百本《美国数学月刊》，赠送给了新近成立的广州南方学院数学与统计学院。希望这一批拥有全世界读者最多人数、文字与数学均编辑得极为专业、几近完美的阐述性数学期刊，能给今年秋季入学的"创院首届生"留下难以磨灭的数学阅读记忆。

有了上述若尔当矩阵的定义，我们可以进而讨论怎样将一般方阵通过相似变换尽可能地化简到一个最靠近对角矩阵的"极简矩阵"；这就是它所对应的"若尔当标准型"——若尔当矩阵。作为证明这个标准型存在性定理的先期准备，我们再考虑一种方阵，巩固读者对若尔当链和若尔当块的印象。新的矩阵比之前的要求稍微少了一点限制。

现在考虑的情形是： 阶方阵  虽然还是只有唯一的特征值 ，其等价说法是它的代数重数同前面一样依然等于 ，但是几何重数却容许大于  了，设其为 ，即特征子空间  的维数是 。根据引理，存在正整数  使得

这个  是确定  的标准型的关键整数，所以专门为它起了个名叫特征值  的指标。因为  是  的唯一特征值， 的特征多项式 。根据凯莱-哈密尔顿定理——任意方阵都满足其自身的特征方程，。因而有等式 。

零空间  被称为矩阵  对应于特征值  的广义特征子空间，它由所有对应于特征值  的广义特征向量（含特征向量）另加零向量构成。

沿用上面讨论  特殊情形时的方法，可以得到一条若尔当链

即从满足  的某个向量  开始（因为 ），循环定义 ，其中 。这样就获得了  的尺寸最大的一个若尔当块 。若将特征向量  和广义特征向量  作为列，构成一个  行  列的矩阵 ，则 。逐列写出来，该等式就是：

与之前不同的是，当 ，或等价地， 时，就会出现不止一条若尔当链。事实上，它们的个数恰好就等于  的几何重数 。为什么呢？这是因为若尔当链与若尔当块一一对应，从若尔当链的生成方式易见， 的  个线性无关的特征向量分别引导出  条互不相交的若尔当链；可以证明，这  条链中的所有向量合起来仍然线性无关（证明与前文三维情形类似）。所以在最终形成的等式  中，非奇异矩阵  恰有  列为  的特征向量，而  有  个若尔当块。

然而，具体地将所有的若尔当链都提取出来，对一般矩阵而言，写出详细的构造性证明是一项颇为繁琐的工作。在包含若尔当矩阵的书籍中，若尔当矩阵标准型定理的证明都有好几页的篇幅，有的需要若干个引理的预备结果。比如美国矩阵理论行家霍恩和约翰逊在他们合著的内容洋洋大观的《矩阵分析》的第三章第一节专讲若尔当标准型定理，借助于舒尔定理"任意复方阵酉相似于上三角矩阵"，先证明了这个上三角矩阵又相似于一个块对角上三角矩阵，其中每个对角块都有相等的对角元素，继而证明有相等对角元素的上三角矩阵相似于一个若尔当矩阵。这个过程复杂而冗长。 年，苏联数学家菲利波夫（Aleksei F. Filippov，1923-2006）发表了一个精巧的证明，其对若尔当标准型的归纳法构造思路，被美国麻省理工学院的数学家斯特朗（Gilbert Strang，1934-）在他的教科书《线性代数及其应用》的附录 B 中称为"可能是最清晰简单的"，并把它放进了自己的著作里。

这里，为缩短本文篇幅起见，跟随菲利波夫思路，用数学归纳法证明

若尔当标准型定理. 任何复方阵相似于一个若尔当矩阵。

证明. 设  为一  阶复方阵。它与一若尔当矩阵  相似意味着等式  中非奇异矩阵  的所有列  满足如下关系：对 ，

且每一个若尔当链以一个特征向量起头。定理对  是显然的，因为  阶矩阵已是自己的标准型，而本文前面的讨论本质上证明了  和  时的定理。现在假设所有阶数小于  的方阵都有自己的若尔当标准型。

首先设  为  阶奇异方阵，则它的值空间  的维数 。既然  将  映射到自身之中，它限制在这个维数小于  的空间上则表现为一个  阶矩阵。根据归纳假设，它有若尔当标准型，故在  内存在  个线性无关的向量 ，使得对 ，

现在考虑零空间和值空间的交，即 ，并令  为其维数。这个子空间中的非零向量都是  对应于特征值  的特征向量，故在上一段内的  中有  个成员是与  相关的特征向量，其对应的  条若尔当链之每一条由某个  引导出。由于该  个特征向量属于 ，且它们所落脚的若尔当链中的向量也都位于 ，特别这  个  也在  中，从而存在  使得 。

众所周知，矩阵零空间的维数等于矩阵的列数减去矩阵的秩（值空间的维数），故  的维数是 。上面的  个特征向量在  中张成一个  维子空间，它在  内的补空间的维数等于 。设  代表该补空间的  个基元素，它们自然也是从属于特征值  的特征向量。

可以断言：上述的  个 ， 个  和  个 ，总共这些  个向量构成了  的全部若尔当链。事实上，将它们重新标记为 ，使得其中每个  排在它所对应的  之后，从而完成了与特征值  相关的一条若尔当链；这是因为等式 。所有的  排在序列  中的最后，每一个都独自为长度为一的若尔当链，它们也与特征值  相对应。具有非零特征值的若尔当块已由归纳假设完成，具有零特征值而属于值空间的每个特征向量将  在  上的若尔当块增加了一行一列，而剩下的每个特征向量则贡献了  的若尔当块 。如此排列的特征向量和广义特征向量  符合（7）式，这决定了相应的若尔当矩阵 ，故矩阵  满足等式 。现证  的列线性无关。

若上述的  个 ， 个  和  个  有一线性组合等于零，即

则等式两边同乘以 ，并利用（8）和性质 ，得

注意到每个  是所在若尔当链的最左向量，等于与特征值  相关的特殊 ，因此它们不会出现在上面两式中的第一个和中（它们在  中的系数 ）。这样，上两式实际上是  的线性组合。由于所有  属于 ，归纳假设保证它们线性无关。所以每个系数  必定为零。此时就剩下

上式左端属于 ，而右端只有为零向量时才在  之中，故所有  都为零。最后剩下 ，但既然  线性无关， 对每个  都成立。

现在设  为非奇异矩阵。取  为  的任一特征值，则矩阵  是奇异矩阵。根据如上所证，存在  的若尔当标准型 。另一方面，

这就证明了任何方阵都相似于一个若尔当矩阵。

举一个五阶矩阵的例子来帮助理解定理的证明。取矩阵

它的特征值按代数重数列出来是 。值空间  由  阶单位矩阵的第一、第二和第五列  张成，故维数为 。在  上  等价于三阶矩阵

它的特征值为 。不难发现  在  中的若尔当标准型来自三向量

它们都属于 ，满足若尔当链的条件：

这样  在值空间中的两条若尔当链分别是  和 ，其对应的若尔当块是

矩阵  的零空间  由  和  张成，所以它和值空间  的交由  张成，故定理证明中的 ，且向量  满足 。故  在  维空间  中长度为  的链  延伸到长度为  的链 。

现在，定理证明中的 ，而零空间  中的向量  不在值空间  里，就取 。它对应于  的长度为  的链：。

综上所述，就得到了  的全部三条若尔当链 。它们满足

写成矩阵相似的形式，就是 ，其中

若尔当标准型的归纳证明虽然精炼，但不完全是构造性的证法，因为它假设了低一阶矩阵的标准型已被建立。给定一个  阶方阵 ，计算它的若尔当标准型通常按如下步骤进行：

1. 计算  的特征多项式 ，在复数域上将之因式分解；每个相异特征值所对应的线性因子的幂指数为该特征值的代数重数。

2. 计算每个相异特征值  的指标 ，即嵌套式零空间序列

中的那个正整数 ； 的代数重数就等于  的维数。

3. 对于每个特征值 ，通过分析比较  不同幂次  的零空间的维数，以确定若尔当块的大小，其中  从  递增到  的指标 ；块的数量等于  的几何重数，即  的维数；通过跟踪  之维数变化按（6）式来确定计算对应于  的所有  阶若尔当块的个数。

4. 最后，将这些块按对角线排列，形成  的若尔当标准型 。

现在，用一个例子来促进消化如上给出的矩阵标准型计算程序。只需考虑仅有一个相异特征值的矩阵就够了。设

它的特征多项式是

。

故A有唯一特征值2，其代数重数为6。通过计算，零空间的维数等于3，的维数等于5，而当时，的维数等于6，故特征值2的几何重数为3，指数也为3。因而A的标准型有3个若尔当块，其中1阶、2阶和3阶的个数由公式（6）算出：

，

，

。

设是获得若尔当标准型的相似矩阵，其中J的三个对角块依次为，则相应的若尔当链为：

; ;  。

它们可如下得到：首先，选取广义特征向量，它属于且满足要求。逐次迭代得到广义特征向量和特征向量。其次，选取广义特征向量，它与同属，并线性无关，且满足不等式。然后迭代得特征向量。最后选取特征向量与和线性无关。如此获得的向量构成了的一个基底，使得

将A相似变换到若尔当标准型

一般方阵的若尔当标准型给出了在相似变换下，该矩阵能够达到的最简形式。它保持原矩阵的特征多项式不变，也继承了特征值及其代数重数和几何重数。对于可对角化的矩阵，若尔当标准型的外形是对角矩阵。在许多涉及矩阵的问题中，将矩阵化约成对应的若尔当标准型，不仅有可能使得分析和计算更易进行，甚至在某些方面是唯一可行的求解方案。这里给出两个应用例子，一个早就写进了教科书，另一个则是十多年来的研究论题。

在常微分方程的定量理论中，求解线性常系数常微分方程组在实际应用中常会遇到，如最优控制。令  是时间  的向量函数，其分量函数为 。假设给定关于未知函数  的一个线性常微分方程组 ，其中  头顶上的点号表示它对自变量  的导数， 是某个  阶的常数方阵。求解此方程组就是要寻找一个函数 ，使得恒等式  在实数轴上处处成立。为了使得求解过程较易进行，将  相似变换到它的若尔当标准型  是一聪明之举。若 ，则将变量  通过  线性变换到变量 。因为 ，原先的方程转化为 ，化简后得 。由于经过变换后的微分方程的系数矩阵  有特殊结构，用代数方法即可求解。譬如，若  就是本文开篇那个二阶若尔当块，写成向量  分量形式的微分方程组便是

第二个关于  的一阶线性齐次微分方程的通解是 ，其中  为任意常数。代入到第一个方程，得到关于  的一阶线性非齐次微分方程 ，其对应的齐次方程  的通解是 ，其中的  为第二个任意常数。再用待定系数法求出非齐次方程的一个特解 ，因而方程组（9）的所有解为

由此得到原方程组  的通解

下面略述若尔当标准型在求解杨-巴克斯特型矩阵方程中的应用；这是在过去的十五年间被不断耕耘的一个线性代数子领域。或许这个领域属于将代数几何与应用领域相结合的新兴学科"非线性代数"，理由为该方程不是线性的，而是二次的。设  为一个已知的  阶复方阵，用  表示未知的同阶方阵，则形如  的非线性方程被叫做杨-巴克斯特型矩阵方程，它在形式上与经典的杨-巴克斯特方程  一致。杨振宁于  年以及澳大利亚理论物理学家巴克斯特（Rodney Baxter，1940-2025）于  年分别导出现以他们的名字共同命名的如上方程；这是杨振宁三大物理贡献之一，其他两项是他与李政道合作的诺奖工作以及与米尔斯合作的杨-米尔斯非阿贝尔型规范理论。在写作本文、查询巴克斯特的维基百科介绍时，笔者意外得悉他比杨振宁早三个月离世。哀悼留下传世的"杨-巴克斯特方程"的这位澳洲杰出学者！

杨振宁在一次采访中，用"扎辫子"的过程通俗形象地解释了杨-巴克斯特方程的特性。女士扎辫前先将长发分成三股，按相对位置分别记为"左股"、"中股"、"右股"。令  代表将左股与中股对换， 代表将右股与中股对换。则  表示扎辫子先  后  两个操作的结果：先将三股长发的右股与中股对换，继之将左股与新的中股对换；而  则先将左股与中股对换，然后对换右股与新的中股。显然，这两种不同次序的扎辫方式两次过后效果不同，即 。然而对  结果再做 ，或对  结果再做 ，就会发现，这两种按不同次序扎辫三次的效果都一样：原先三股头发的次序从"左股-中股-右股"变成了新次序："右股-中股-左股"，符号表示就是 。

上段的阐述，姑娘们应该一看就懂。如果小伙子们因为没有扎辫子的实践经验而依然存疑，可借助于下面的排列法帮助理解：令  为  的排列 ， 为排列 。则  为排列3,1,2，而  为排列2,3,1，因而 。然而  为排列 ，且  也是排列 ，所以 。

十五年前，当笔者之一读到杨振宁先生的访谈录并初步认识到杨-巴克斯特方程与辫群、扭结理论等数学学科的关系后，心中冒出奇想：姑且不论该方程在物理中的重要意义，即便仅仅考察与它具有同一形式的如上矩阵方程，说不定是一件满足好奇心的快事。说干就干，先手工求解了一个看似简单的二阶矩阵方程 ，其中  就是本文开头的那个二阶若尔当块。将未知二阶方阵  的四个元素分别用  表示，则矩阵方程的标量形式是下列的四元二次方程组

笔者花费了一个小时，才成功求解这组方程，得到矩阵方程的所有非平凡解（矩阵  和二阶零矩阵显然都是解，称为平凡解），其表达式为

这些解构成了一个非线性一维流形，而平凡解  和  则是解集合中的两个孤立点。如果  是一般的  阶方阵，则矩阵方程的标量形式是  元  次多项式方程组，不仅无法手工求解，甚至专门研究怎样求解多变元多项式方程组的代数几何学家可能也不情愿啃这块骨头。这个困难说明，必须寻找合适的数学技巧，才能使求解一般的杨-巴克斯特型矩阵方程成为可能。求解前化简矩阵  是个很自然的想法，于是若尔当标准型在这个时候起到了作用。

不难验证，求解原先的方程  等价于求解方程 ，其中  与  相似，并且  是前一个方程的解当且仅当  是后一个方程的解，其中这两个类型一样但矩阵不同的方程各自解彼此的联系方式是 ，其中  是架设  与  相似桥梁的非奇异矩阵：。事实上，由于 ，只要将方程  中的  代之以 ，就有

在上式两端左乘 ，右乘 ，并令 ，则得到关于新未知矩阵  的杨-巴克斯特型矩阵方程 。

特别地，取  为  的若尔当标准型 ，则  的所有解  可由  的所有解  经过相似变换  而获取。这个简单思路，十余年来引出了若干研究者对此种非线性矩阵方程的求解文章。比如说，如果  为一非平凡（即不等于零矩阵或单位矩阵）的投影矩阵，则它仅有  和  这两个特征值，其代数重数均等于几何重数，故若尔当标准型  中的若尔当块全是  的，即  为一对角矩阵。它也可以写成  的块对角矩阵，对角块分别为某个阶数（等于  的秩）的单位矩阵和零矩阵。通过求解相对简单的矩阵方程 ，就捕捉到了原先矩阵方程  的解。

矩阵的若尔当标准型揭示出了矩阵的基本性质，其外在表现是特征值、特征向量及其广义特征向量。由于将有限维向量空间映射到自身的线性算子，在任一被选定的空间基底下有且仅有一个"坐标表示"，它就是线性算子的矩阵化。通过这个矩阵的若尔当标准型，人们可以将该线性算子分解成更为简单的"子算子"，使得原先算子的关键内涵暴露无遗，易被充分理解。

最后，我们简单提及矩阵若尔当标准型在通常的大学本科线性代数教材中不大涉及的"矩阵的解析理论"中的一个应用。这个解析理论可使人人都会直接计算的矩阵多项式跃进到傍上微积分大腕的"矩阵函数"。它以级数理论为基础：对于给定的方阵 ，所有特征值的最大模称为  的谱半径，记作 。设复变函数  在复平面的某个开区域  内解析，且在包含于  内的开圆盘  中可展开为幂级数

其中 ，则可以将  定义为矩阵级数

的和矩阵，即它是级数部分和——矩阵多项式的极限矩阵：

实际计算 ，可先求得  的若尔当标准型 ，然后  推出

通过级数求和计算  相对容易，于是  也唾手可得了。

在关于  诸多解析性质的寻宝之旅中， 的若尔当标准型是不可或缺的罗盘。将初等的"矩阵多项式"延展到高等的"矩阵级数"，写成一篇科普文章，或许是让代数与分析相结合的合理素材。笔者将尝试一下。

致谢：《返朴》周舒义编辑发现了文中六阶矩阵例子的计算错误并修改之，特此致谢！

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