希尔伯特谈《几何基础》

卢昌海2026年05月21日约 19 分钟

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希尔伯特的《几何基础》作为一本集大成之作，毫无疑问涵盖了希尔伯特有关几何基础的所有实质思想。其中放弃描述性定义，用公理来界定概念这一思想尤为关键。但《几何基础》问世后，逻辑主义的先驱弗雷格很快就致信希尔伯特，对他对概念不加定义——即没有对“点”、“线”、“之间”等概念的特性进行描述——的做法提出了质疑，希尔伯特也很快回应。正是两大高手过招，让我们有机会得以窥见希尔伯特的一手想法。

撰文 | 卢昌海

在杭州念中学时，骑车逛书店是我每天的“午课”，几乎风雨无阻，我最早的藏书便是那时积聚起来的。只不过，那时淘来的书，经后来几十年的时光洗礼，除少之又少的若干册外，多已不存——仿佛年华本身之一去不返。那若干册中的一册，乃是德国数学家希尔伯特 (David Hilbert) 的名著《几何基础》。

那册《几何基础》之所以经受住了时光洗礼，主要有两个原因：首先是因为她在任何时代——包括在微不足道的我的有生之年——都是经典，从而不会像那些因年少时眼界不够而淘来的书那样，有内容上的遗弃理由；其次是她的素雅装帧深合我的审美，从而如艺术品一样让我珍视——哪怕后来有了以内容而论更好的版本^[注1]。

希尔伯特的《几何基础》中译本 (1987 年)这一版的封面图已很难找到，这是我自己那本的封面翻拍 | 图源：卢昌海

希尔伯特是一位大师级的数学家，不仅对现代数学的很多方面作出过巨大贡献，而且是一位高屋建瓴的思想家，是数学哲学三大经典流派之一的形式主义 (Formalism) 的领衔人物，对数学基础有过深刻思考和精辟著述——后者之中就包含了《几何基础》。在希尔伯特的著述中，《几何基础》也许是流传最广的。此书问世于 1899 年，最初是作为高斯‒韦伯纪念碑 (The Gauss-Weber Monument) 在哥廷根落成时出版的纪念刊物Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals in Göttingen 的第一卷，之后转为单独著作不断修订再版，在希尔伯特有生之年 (即截至 1943 年) 就出到了第七版，再之后则在他学生贝尔耐斯 (Paul Bernays) 的主导下继续修订再版，至希尔伯特诞辰 100 周年时 (即 1962 年) 出到第九版，至高斯 (Carl Friedrich Gauss) 诞辰 200 周年时 (即 1977 年) 出到第十二版。除德文原版外，《几何基础》还有大量译本，涵盖了法、英、俄、中、日等主要语种，虽非通俗读物，却可谓风行世界，甚至比他跟康福森 (Stefan Cohn-Vossen) 合著的真正通俗读物《直观几何》 (Geometry and the Imagination) 还流行得多。

不过，尽管很早就淘来了《几何基础》，我对其所展示的希尔伯特的数学基础思想——尤其是放弃描述性定义，用公理来界定概念这一思想——的理解却在很大程度上是来自“非正式”渠道，因为是受益于两位非数学家的表述。

这两位非数学家分别是美国数学科普作家瑞德 (Constance Reid) 和物理学家爱因斯坦 (Albert Einstein)。其中瑞德的表述出自她 1970 年出版的《希尔伯特》 (Hilbert) 一书，核心文字只有一句^[注2]：

[希尔伯特] 若有所思地对同伴们说：在一切几何命题中，“我们必定可以用桌子、椅子和啤酒杯来代替点、线、面。” 这种朴素的说法，蕴含了他现在打算提出的讲演的实质。

这句文字严格说并非瑞德之原创，而只是引述了希尔伯特本人“若有所思地对同伴们说”的话——这也不奇怪，因为瑞德并非数学家，数学基础甚至堪称薄弱，本就不太可能对希尔伯特的数学基础思想作出原创性表述^[注3]。

爱因斯坦 (Albert Einstein) 的表述则出自他 1921 年在普鲁士科学院 (Prussian Academy of Sciences) 所做的一次题为 “几何学和经验” (Geometry and Experience) 的讲演，核心文字为以下几句^[注4]：

只要数学的命题是涉及实在的，它们就不是可靠的；只要它们是可靠的，它们就不涉及实在。几何学所处理的对象是以直线、点等等这类词来表示的。

对于这些对象并不需要假定有任何知识或直觉，而只是以公理的有效性为前提，这些公理是在纯粹形式意义上来理解的……几何学所处理的对象是由公理来定义的。

在公理学的几何中，“点”、“直线”等词只不过代表概念的空架子。至于给它们以什么内容，那是同数学无关的。

瑞德和爱因斯坦的这两组文字都极为精辟，就其所涉及那部分数学基础思想而言，不仅让昔日的我受益匪浅，甚至直到今天，在我看来依然比希尔伯特的《几何基础》更为明晰——简直是无可超越。当然，《几何基础》作为那部分数学基础思想的具体实现，总体上绝非任何仅限于文字层面的表述可比，这点亦属不言而喻。

瑞德和爱因斯坦的这两组文字本身也各有渊源。其中瑞德的文字——如前所述——是引述了希尔伯特本人，但引述的是言论而非文字。瑞德从未见过希尔伯特，那言论来自何处呢？《希尔伯特》一书由于不是学术著作，并未罗列文献，但英国数学史学家格雷 (Jeremy Gray) 在《柏拉图的幽灵》 (Plato's Ghost) 一书中，德国数学家托佩尔 (Michael Toepell) 在“论希尔伯特《几何基础》的起源” (On the Origins of David Hilbert's Grundlagen der Geometrie) 一文中，都引述了同样言论，提供的出处是希尔伯特学生布鲁门塔尔 (Otto Blumenthal) 所撰的两篇希尔伯特生平，分别发表于 1922 年和 1935 年。考虑到希尔伯特的生平资料之稀少，那极可能亦是瑞德文字的出处^[注5]。

至于爱因斯坦，他那组文字并未提到希尔伯特，但主旨跟希尔伯特的数学基础思想是很相近的：比如“在公理学的几何中，‘点’、‘直线’等词只不过代表概念的空架子。至于给它们以什么内容，那是同数学无关的”跟“我们必定可以用桌子、椅子和啤酒杯来代替点、线、面”可谓异曲同工；“几何学所处理的对象是由公理来定义的”和“这些公理是在纯粹形式意义上来理解的”更是不仅精准道出了《几何基础》所展示的放弃描述性定义，用公理来界定概念的思想，甚至字面上就体现出了形式主义所推重的“形式”之意^[注6]。不过思想虽然相近，那组文字是否受过希尔伯特影响则很难说，因为爱因斯坦本身也是一位高屋建瓴的思想家，他的文字哪怕有所本，也往往深度融合了自己的思考，从而无论就表述还是实质而言，都可视为他自己的思想^[注7]——事实上，他那句“只要数学的命题是涉及实在的，它们就不是可靠的；只要它们是可靠的，它们就不涉及实在”在我看来就超出了希尔伯特数学基础思想的范畴，而展示了物理学家的独特视角^[注8]。

那么希尔伯特本人呢？他是否也留下过类似于瑞德和爱因斯坦所表述的那种阐释性的文字？尤其是，那句流传甚广的“我们必定可以用桌子、椅子和啤酒杯来代替点、线、面”是否有过出自希尔伯特本人的文字版本？这两个我很久以来不无好奇的问题，就是本文接下来想要探究的。

不过在探究之前，首先可以指出的是，《几何基础》作为希尔伯特几何基础研究的集大成之作，虽没有使用类似于瑞德和爱因斯坦所表述的那种阐释性的文字，在技术性层面上却毫无疑问涵盖了所有实质思想。比如《几何基础》的开篇之语“让我们设想三组不同的东西。我们将构成第一组的东西称之为点……构成第二组的东西称之为直线……构成第三组的东西称之为平面……”以及“设想点、直线和平面之间有某种相互关系，用‘之上’，‘之间’，‘合同于’等词来表示”就很微妙地没有对“点”、“直线”、“平面”等概念及“之上”、“之间”、“合同于”等关系的特性进行描述，且从语气上就彰显出它们是单纯作为名称引入的(事实上，对于“之上”、“之间”、“合同于”等关系，希尔伯特干脆明说了“对这些关系的完整而精确的描述将由几何公理而得出”)^[注9]。这跟欧几里得的《几何原本》那样的古典体系是很不相同的。在《几何原本》里，比如“点”是被定义为“没有部分的东西”——这就是所谓描述性定义，重点在于对所定义的东西的特性给予描述。《几何基础》显然一开篇就偏离了这种定义模式。如果说开篇时的这种偏离还算隐晦，那么《几何基础》的第二章则将偏离推进到了甚至比“用桌子、椅子和啤酒杯来代替点、线、面”更奇异的程度：在论述几何公理的相容性时，希尔伯特以平面几何为例，通过用数偶 (x, y) 代替点，用三元数组 (u, v, w) 代替线，将几何公理的相容性归结为了算术公理的相容性^[注10]。“桌子、椅子和啤酒杯”好歹是跟“点、线、面”一样可以直观想象的东西，数偶和三元数组则抽象得多，故而更奇异。不过另一方面，“用桌子、椅子和啤酒杯来代替点、线、面”显然会破坏几何公理 (假如“桌子、椅子和啤酒杯” 是我们日常所知的那些东西的话)，用数偶和三元数组则不会，因此前者只是一种花絮式的比喻，后者却能用来论述几何公理的相容性 (确切说是几何公理相对于算术公理的相对相容性)，从而实质性地凸显出放弃描述性定义，用公理来界定概念的优越性乃至必要性。

现在让我们重回话题，探究一下希尔伯特是否留下过类似于瑞德和爱因斯坦所表述的那种阐释性的文字。当然，说是探究，其实只是一种范围十分有限的阅读，因为有关希尔伯特的资料——无论出自他本人还是别人——多为德文，有中、英文译本 (从而我能阅读) 的比例甚低 (毕竟，希尔伯特远没有爱因斯坦那样的公众知名度，吸引翻译的能力也弱得多)。至于探究的结果，则其实就是一则阅读札记。

这阅读札记依据的是德国逻辑学家、数学家兼哲学家弗雷格 (Gottlob Frege) 的《逻辑与数学通信集》 (Philosophical and Mathematical Correspondence)。这本 1980 年出版的通信集所收录的信件之中，包含了弗雷格与希尔伯特之间的九封信——其中弗雷格致希尔伯特四封，希尔伯特致弗雷格五封，讨论的多为数学哲学话题，有几封更是直接涉及了希尔伯特的《几何基础》一书。

弗雷格的《逻辑与数学通信集》 (1980 年)

弗雷格与希尔伯特就数学哲学展开讨论并不奇怪，因为在数学哲学的三大经典流派中，这两人皆为“一派宗主”：前者是逻辑主义 (Logicism) 的重要先驱，后者则如前文所述，是形式主义的领衔人物，身份旗鼓相当。《射雕英雄传》里的洪七公说起黄药师时曾言道：“他是‘东邪’，我是‘北丐’。我跟他打过的架难道还少了？”弗雷格与希尔伯特这两位“一派宗主”间的数学哲学讨论庶几相似。除身份旗鼓相当外，弗雷格与希尔伯特都是德国人，在语言上毫无隔阂，这对于数学哲学讨论乃至一切哲学讨论都是极为便利的。

希尔伯特的《几何基础》问世后，弗雷格很快就读到了并于 1899 年 12 月 27 日 “出招”：写了一封致希尔伯特的信。在信里，弗雷格就希尔伯特对概念不加定义——即没有对“点”、“线”、“之间”等概念的特性进行描述——的做法提出了质疑。弗雷格认为，这种做法似乎是假定了读者已预先知道那些概念是什么。比这种做法更让弗雷格困惑的，则是用数偶和三元数组代替点和线，因为——在弗雷格看来——哪怕读者已预先知道那些概念是什么，那预先的知识也无非就是一些直观理解，而绝不可能是数偶和三元数组之类。弗雷格最后干脆表示，他不清楚被希尔伯特称为“点”的到底是什么东西 (“it is ... left unclear what you call a point”)。当然，弗雷格也品味出希尔伯特试图用公理来界定概念，但他并不认同这种做法，认为这是让公理来承担属于定义的义务 (“the axioms are made to carry a burden that belongs to definitions”)。

希尔伯特的“回招”也很快：两天后，即 1899 年 12 月 29 日，就写了一封很长的回信^[注11]，对弗雷格的质疑进行了逐点回应。

比如针对弗雷格对描述性定义的“执念”——即主张对概念的特性进行描述，希尔伯特以被其质疑的“之间”这一概念为例，巧妙地将自己用公理来界定概念的做法包装成了符合弗雷格要求的对概念的特性进行描述的定义，表示自己的做法等价于对“之间”这一概念的特性作出如下描述：“‘之间’是关于直线上的点的一种满足下列特性的关系……” ("Between" is a relation which holds for the points on a line and which has the following characteristic marks...)，而所谓“下列特性”，则正是希尔伯特用来定义这一概念的那些公理。这并非诡辩，而是巧妙地揭示了不同定义方式之间“条条道路通罗马”的关系。事实上，如果用函数来类比的话，弗雷格主张的对概念的特性进行描述的定义类似于显函数，希尔伯特的用公理来界定概念的定义类似于隐函数，希尔伯特的上述回应则相当于将一个隐函数改写成等价的显函数，当然不是诡辩——因为隐函数的效力本就丝毫不亚于显函数，适用面甚至更为宽广。

比如针对弗雷格所认为的对概念不加定义的做法似乎是假定了读者已预先知道那些概念是什么，希尔伯特表示那非但不是假定读者已预先知道，相反，恰恰是“不希望假定任何东西为预先知道” (do not want to assume anything as known in advance)。

比上述回应更进一步，希尔伯特对描述性定义和用公理来界定概念进行了优劣对比。他表示，如果有人试图用诸如“没有广延” (extensionless) 之类对特性的描述来定义“点”，他将明确反对，因为那是根本不存在的东西，只会让一切变得模糊。不仅如此，希尔伯特还提出了用公理来界定概念的一种很微妙的必要性，那就是：每一条公理对其所包含的概念都是有某种贡献的 (“every axiom contributes something to the definition”)，比如“点”这一概念在欧几里得几何、非欧几里得几何、阿基米徳几何、非阿基米徳几何里是彼此不同的，这种差异在“没有广延”之类的描述性定义里是看不出的，只有将公理本身视为定义才能得到体现。

而对本文来说最重要的是，希尔伯特在这封回信里写了一句本质上跟“我们必定可以用桌子、椅子和啤酒杯来代替点、线、面”完全一致的话——尽管他用了三样完全不同的东西。这句话出现在回信的最后部分，那部分是希尔伯特所回应的最后一条反对意见 (“there is only one more objection I must touch on”)，针对的是他用数偶和三元数组代替点和线的做法让弗雷格感到的困惑，及后者明确表示的不清楚被他称为“点”的到底是什么东西。

希尔伯特表示，公理体系只是概念和它们之间相互关系的一种架构或概括，“基本元素可以用人们喜欢的任意方式来想象” (basic elements can be thought of in any way one likes)。他并且举例说，如果将基本元素换成其他东西，比如“爱、法律、烟囱清扫工” (“love, law, chimneys-weep”)，并将公理视为这些东西之间的关系，那么，“我的命题，比如毕达哥拉斯定理，对这些东西也将成立” (my propositions, e.g. Pythagoras' theorem, are also valid for these things)。很明显，这个例子本质上是跟“我们必定可以用桌子、椅子和啤酒杯来代替点、线、面”完全一致的。更重要的是，这是货真价实的希尔伯特本人的文字，而非出自——如[注5]所述的——时间错开三四十年，内容也很可能是间接的他人记叙。

不过，“爱、法律、烟囱清扫工”这个出自希尔伯特本人的例子在流行度上显然败给了瑞德引述的“桌子、椅子和啤酒杯”，这一方面固然是科普的传播力远非学术通信可比，另一方面，可能也是因为所有人都能看出“桌子、椅子和啤酒杯”彼此相关，“爱、法律、烟囱清扫工”在多数人眼里却有些风马牛不相及。考虑到几何公理体系的基本元素并非彼此无关，用来举例的东西——哪怕只作为花絮式的比喻——也理当彼此相关。但是，“爱、法律、烟囱清扫工”之间究竟有何关系？这问题我没找到现成答案。不过在欧洲文化里，烟囱清扫工颇带吉祥色彩，在婚礼上的出现尤其被视为美好祝福，至于爱和法律，它们的“结合”可导致婚礼，这种近于附会的关系是否就是例子背后的“逻辑”？我不知道，姑作为“脑洞”陈列于此吧。“桌子、椅子和啤酒杯”也好，“爱、法律、烟囱清扫工”也罢，体现的无非都是“基本元素可以用人们喜欢的任意方式来想象”，真正的重点在于基本元素之间的关系——即它们必须满足所有公理。

最后有必要指出的是，就像瑞德和爱因斯坦的那两组文字各有渊源一样，希尔伯特的“基本元素可以用人们喜欢的任意方式来想象”也并非无源之水。比如希尔伯特非常熟悉——且很可能对他几何基础思想的形成产生过影响——的射影几何里有一个对偶原理 (principle of duality)，允许对“点”和“线”或“点”和“面”进行彼此替换 (前者针对平面射影几何，后者针对立体射影几何)。与之相比，“基本元素可以用人们喜欢的任意方式来想象”可视为一种推广——即将“彼此替换”纳入更一般的范畴。这是形式主义的重要特点——虽然后者的完整框架彼时尚处于构建初期。在数学哲学的三大经典流派里，形式主义的这一特点可说是最具现代意识，也最被现代数学公理体系所接纳的，虽然希尔伯特试图通过形式主义来实现的很多目标，比如论证公理体系的自洽性、完备性，及数学命题的可判定性等，后来被包括哥德尔不完全性定理 (Gödel's incompleteness theorems) 在内的一系列震撼性结果证明为是很大程度上办不到的。

希尔伯特这封很长的回信是我所读到的他本人对《几何基础》的最浅显、最清晰的阐释，但弗雷格显然未被说服——就像“东邪”和“北丐”谁也不曾服谁。一周后的 1900 年 1 月 6 日，弗雷格回了一封更长的信，再次“出招”。不过希尔伯特的兴趣似乎已被自己的先前回信所终结，只于 1900 年 1 月 15 日回了一封寥寥数行的短信，表示正忙于其他事务，无法再作详尽回复。“你的讨论对我来说很有兴趣且有很大价值，它将起码敦促我更严密地思考及更仔细地表述我的观点”——希尔伯特用这样一句客客气气的话为两人的这一轮讨论画下了句号^[注12]。

这也穷尽了我所找到的有关希尔伯特谈《几何基础》的资料，从而也作为本文的句号吧。

注释

1. 说到版本，我那册《几何基础》是科学出版社 1987 年版，且只是上册。该版的上下册出齐据我所知是 1995 年，彼时我已出国，不曾购得。2009 年，此书又出了个上下册合一的修订版。除中文版外，出国后此书的英文版 Foundations of Geometry 也进入了我的视野。以内容而论，1987 年那册中文版是转译自俄文，显然既不如英文版，也比不上 2009 年修订版——后者参阅过德文版，但就封面而言，那册中文版却胜过了后两者——尤其是远胜于 2009 年修订版那个堪称难看的猩红色封面。因此在所有版本中，其余我都只收藏了电子版，作为实体书立在我书架上的唯有那册 1987 年的中文版。

2. 这里引述的是我最初读到这段话时的版本，出自上海科学技术出版社 1982 年版的《希尔伯特》。

3. 瑞德的专业乃是英文。不过，瑞德本人的数学基础虽堪称薄弱，其数学科普的背后却有两位专业数学家在 “把关” ——因为她妹妹是在希尔伯特第十问题上作出过贡献的罗宾逊夫人 (Julia Robinson)，妹夫拉斐尔·罗宾逊 (Raphael Robinson) 亦是数学家。瑞德最早发表数学科普是在《科学美国人》 (Scientific American) 杂志上，当时正值她第一个小孩出生。瑞德后来在一次接受访谈时提到，那篇科普发表后有读者对《科学美国人》让一位家庭主妇撰写数学科普表示不满，但不满的只是作者身份，对文章里的数学则挑不出毛病，“毕竟，罗宾逊们曾读过它” (“After all, the Robinsons had read it.”)。

4. 类似于对瑞德文字的引述，这里引述的爱因斯坦文字也特意选了我最初读到这段话时的版本，出自商务印书馆 1976 年版的《爱因斯坦文集》 (第一卷)。

5. 这猜测的另一个理由是：瑞德的《希尔伯特》与布鲁门塔尔的希尔伯特生平存在文字上的相似。比如布鲁门塔尔提到希尔伯特将在 1898-1899 学年冬季学期讲述基础几何的消息让那些知道他只谈数域的学生大感意外，瑞德的书里有十分相似的文字，参阅痕迹颇为明显。另外值得补充的是，希尔伯特那句言论是出自他聆听德国数学家赫尔曼·维纳 (Hermann Wiener) 有关几何基础的一次演讲之当晚，年份为 1891 年，布鲁门塔尔那时才 15 岁，在法兰克福念中学，尚未成为希尔伯特的学生 (彼时的希尔伯特在柯尼斯堡大学任教)，极不可能是当时的在场者，从而其记叙不仅时间上错开了三四十年，内容也很可能是间接的。最后，细心的读者也许还会提出一个问题，即瑞德撰写《希尔伯特》期间是否采访过布鲁门塔尔 (如果是，则瑞德文字的出处有可能是采访而非后者所撰的那两篇希尔伯特生平)？答案是否定的，因为布鲁门塔尔去世于 1944 年，只比希尔伯特晚一年，彼时的瑞德尚未涉足数学科普。

6. 这里顺便说一下，“形式主义” 一词在数学以外的很多语境下是颇带负面色彩的——在中文里尤其如此 (或许是因为列宁曾猛烈批判过形式主义)。我念小学那会儿，若有人被老师说成是搞 “形式主义”，那绝对是批评。不过在数学哲学中，形式主义只是一个流派名称，是完全中性的。

7. 关于这一点的一个例子是：爱因斯坦在写下前述文字时，提到了德国哲学家石里克 (Moritz Schlick) “非常恰当地” (very aptly) 将公理称之为 “隐定义” (implicit definitions)，显示他读过后者的著作。但从他所用的点评式的口吻看，这种提及只传达了一种 “英雄所见略同” 的意味，是将石里克的 “隐定义” 视为一种殊途同归的表述。

8. 我们可以用一个例子来理解这一视角：比如若将几何中的直线定义为光的路径，则几何定理就会变成光学描述，从而 “涉及实在”，但那样的描述显然有可能被观测推翻，从而 “不是可靠的”。反之，若像希尔伯特的《几何基础》那样用公理来界定概念，则只要公理自洽，一切就是可靠的，但由于公理是 “纯粹形式意义上” 的，那样的数学显然 “不涉及实在”。这是对数学和物理极精辟的区分。

9. 这里引述的希尔伯特文字在《几何基础》的各个版本里都有，文字也基本相同。

10. 这里的 x, y, u, v, w 是隶属于代数数域的一类特殊代数数，其中 (u, v, w) 在《几何基础》中被记为 (u:v:w)，并被称为 u, v, w 这三个数的 “比” (ratios)，但那实际上只是三元数组，跟 “比” 并无关系，故本文效仿《几何基础》俄译本注释里的做法，将之改为了表示数组的更常用记法 (u, v, w)。另外值得指出的是，希尔伯特对几何公理的相容性等的论述，是元数学 (metamathematics) 这一研究领域里很重要的早期成果之一，也是《几何基础》对数学基础研究的重大贡献。

11. 在《逻辑与数学通信集》里，希尔伯特这封回信有两个版本，都是节选本，一个标注为 “弗雷格节选” (Excerpt by Frege)，另一个则是 “希尔伯特草稿或节选” (Draft or Excerpt by Hilbert)，内容彼此相近。考虑到 “弗雷格节选” 应该是出自真正寄给弗雷格——从而后者有机会 “节选” ——的版本，当比 “希尔伯特草稿或节选” 更接近 “定稿”，故本文的援引皆选自该版本。

12. 这轮讨论的最后余音是：弗雷格提议发表两人的通信，但希尔伯特拒绝了，弗雷格于是只将自己的观点写成了几篇论文，于 1903 年发表。不过，在弗雷格和希尔伯特都去世数十年之后，两人彼时尚存的通信最终还是得到了起码是节选意义上的发表——也就是我们如今看到及本文所参照的。

2026 年 5 月 10 日

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