数学家首先是个有血有肉的人，而不是创造知识的机器 | 袁亚湘院士导读《数学大师》

在许多人眼里，数学是一门令人望而生畏的学科。它似乎总与复杂公式、艰深证明和考试分数联系在一起，甚至被误认为是少数天才的游戏。但在袁亚湘院士看来，学数学并不是为了考试解题，而是一种训练思维、理解世界、追求真理的方式。袁亚湘院士长期从事计算数学、应用数学与运筹学等领域的研究工作，在非线性规划领域的重要成果被国际学界命名为“袁氏引理”。在科研之外，他始终致力于数学科普，希望更多人真正理解数学的魅力。

在众多数学读物中，他尤其推荐一本经典之作——《数学大师》。作者用近乎小说般的笔法把数学史上的大师们写成了一个个鲜活的人。袁亚湘院士认为，这本书真正的价值不在于介绍数学知识，而是让人们意识到：大师亦凡人，伟大的数学家同样有普通人的热爱、迷茫与挣扎。袁亚湘院士将通过这本书，结合自身研究经历以及对人工智能时代的思考，带我们走近数学家的立体人生，了解数学成果背后的动人故事。

-以下内容根据袁亚湘院士访谈整理-

01

“数学家首先是个有血有肉的人，而不是创造知识的机器”

我第一次读《数学大师》大概是在上世纪90年代初，当时这本书还叫做《数学精英》。从小到大我已经看过很多数学相关的科普书，比如《从一到无穷大》《从杨辉三角谈起》，但《数学大师》给我的感觉截然不同。很多数学读物的重点都是谁证明了什么定理、谁建立了什么理论，但这本书更关注这些数学家是怎样成长的，他们都经历了什么。

《数学大师》（图片来源：上海科技教育出版社）

很多人觉得数学家“不食人间烟火”，甚至性格古怪。读完这本书你会发现，这其实是一种误解。和其他领域的工作者一样，数学家也有不同的个性：有的确实沉默寡言，不善交际；有的却在政治和哲学领域都十分活跃，比如牛顿当过皇家造币厂厂长；罗素也是哲学家，积极参与社会运动，还获得过诺贝尔文学奖；莱布尼茨既研究数学，也参与国家治理和外交事务。

这本书最吸引我的地方就是把数学家当成有血有肉的人来写，而不是当作创造公式和定理的工具。作者埃里克·坦普尔·贝尔（Eric Temple Bell）是美国数学家兼科普作家。贝尔既有深厚的数学功底，又有极高的文学造诣。他写高斯，不只写“数学王子”的天才光环，也写他少年时期的敏锐和骄傲；写牛顿，不只写微积分和万有引力，也写他孤僻、敏感，甚至有些偏执的性格；写伽罗瓦，则像是在写一位悲剧英雄：伽罗瓦年纪轻轻就死于决斗，他在临终前，连夜整理记录自己的数学思想，他留下的手稿后来发展成现代群论，解决了困扰数学界几个世纪的问题。

埃瓦里斯特·伽罗瓦15岁时的素描（图片来源：维基百科）

还有阿基米德的故事，相传也十分悲壮。很多人知道他说过“给我一个支点，我可以撬动地球”。《数学大师》里描写了他生命最后令人震撼的场景——古罗马军队攻入城中时，他仍跪在地上研究几何图形，对闯入的士兵说：“不要弄坏我的圆。”随后被杀害。直到生命最后一刻，他依然沉浸在数学世界里。

画作《阿基米德之死》（图片来源：维基百科）

尽管《数学大师》中的一些描写可能进行了文学浪漫化加工，但也因此吸引和启迪了许多科学家和数学家，比如杨振宁先生，还有电影《美丽心灵》的主人公原型约翰·纳什都受到了深刻影响。它让我们看到，数学史并不是一串串冰冷的公式、定理，背后是一群鲜活的人，在燃烧有限生命去追求无限真理。

02

“人生是一场长跑，兴趣是比天赋更持久的动力”

很多人对数学最大的误解之一，就是认为数学只能靠天赋。但《数学大师》告诉我们：并不是所有大师都是天生神童。

当然，像高斯这样的天才例子确实存在。相传，在他小时候，老师为了让学生们安静一点，出了一道从1加到100的题，结果高斯很快就算出了答案：5050。因为他发现，1和100相加、2和99相加……结果都是101，一共有50组，所以就得出了答案。这种快速发现规律的能力，确实体现了惊人的数学天赋，也得到了重视和培养。

卡尔·弗里德里希·高斯（图片来源：维基百科）

但书中更多的人，其实并不是这种赢在起跑线上的天生神童，有些人靠努力也能取得成就，起步晚绝不代表没有希望。魏尔斯特拉斯就是一个典型例子。他年轻时并不被看好，在乡村学校默默教书多年，直到不惑之年，他的重要研究才逐渐被人认识，后来被誉为“现代分析之父”。

卡尔·魏尔施特拉斯（图片来源：维基百科）

再比如乔治·布尔，出身贫寒，没有名师指导，几乎靠自学完成数学训练，他在三十多岁时建立的“布尔代数”，后来成为现代计算机逻辑与数字电路的基础。

很多年轻人总觉得自己“起步晚了”“不够聪明”，但人生不是百米冲刺，而是一场长跑。数学里有一个著名的洛必达法则——两个函数当前的大小，并不代表它们的未来，更重要的是看它们的导数，也就是变化的速度。在人生这场长跑中也是如此，起点并不决定终点，持续成长的能力往往更重要。

有的人小时候数学很好，但后来失去了兴趣；也有人中学阶段成绩一般，却因为碰到一位好老师，突然爱上数学，从此进入完全不同的人生轨道。我自己小时候其实也不是那种典型的数学天才，但我母亲的算术非常好，虽然她没读过书，但从小就教我打算盘，是我的数学启蒙老师。

现在的题海战术最可怕的地方就在于，它把孩子对数学最宝贵的兴趣给磨没了。这就好比我是个湖南人，我很爱吃辣椒，但如果你让我每天吃5盘辣椒，连续吃20天，我以后看到辣椒都会想吐。

所以我一直强调，兴趣比所谓“天赋”更重要，兴趣才是学习的永恒动力。一旦找到真正热爱的事物，自然就会全身心投入，找到人生的意义。

03

“好老师不仅是教知识，更重要的是为你打开眼界”

我认为，一个人在数学上要有进步，一定要有好的老师。很多数学家之所以能成为大师，除了自身的天赋、兴趣和努力，背后往往都有真正懂得发现人才、引导人才的老师。像牛顿的老师巴罗就是慧眼识珠的伯乐。

我自己也很幸运。小时候，我妈妈就是一位很好的启蒙老师；上中学时，我的数学老师特别善于引导学生对数学产生兴趣；上大学时，给我们讲数学分析的老师也非常会讲课；到北京读研究生，我又有幸遇到了中国计算数学的奠基人和开拓者、中国有限元法创始人冯康先生；后来我去英国剑桥大学留学，也一直都有好老师指引。

冯康（图片来源：维基百科）

好的老师不仅教知识，更重要的是帮你看方向、开眼界，甚至影响你的一生。冯康先生在这一点上对我的人生影响非常大。

我来读研究生的时候，他问我：“愿不愿意出国？”我说：“听老师的。”

接下来他的话让我印象深刻，他说：“如果你要出国，就不要学有限元。你要学有限元就跟着我学。在我华山，你就学剑，你要离开华山就别学剑了，你就练拳。”

短短几句话展现出了冯康先生的气魄和眼光，那是真正的大师才有的自信，而且这种自信是有底气的——冯康先生本来就是国际公认的有限元创始人和领军人物之一。后来我自己也做老师了，也一直把他当作榜样。

更重要的是，冯康先生不仅自信，还很有远见。后来我出国留学，他让我去学习当时国内还比较薄弱的方向——优化。冯先生在上世纪80年代就认为，优化将来会越来越重要。现在回头看，他当年的判断非常超前。今天人工智能、大数据、机器学习，很多底层问题本质上其实都是优化问题。

所以我一直觉得，人生里能够遇到一位真正的好老师，是非常幸运的事。好老师不只是教你一门课，而是会在关键的时候，为你打开一条路。

04

“数学的核心是创新，提出问题比解决问题更重要”

历史上真正推动数学发展的，从来不是重复做题，而是遇到实际需要和困难时，不断推陈出新，提出新问题。数学的核心是创新。

古希腊时期，欧几里得建立了欧氏几何体系，几千年来人们都认为空间就是这样的。但后来有数学家开始思考：如果改变欧氏几何中的平行公设，会发生什么？于是就诞生了非欧几何。再后来，黎曼建立的黎曼几何，又成为爱因斯坦的广义相对论描述弯曲时空的重要数学基础。

伯恩哈德·黎曼（图片来源：维基百科）

这就是数学发展的方式：旧方法不够用了，就创造新方法；旧框架解释不了新的问题，就建立新的框架。

很多时候我们遇到困难就沮丧，但阅读《数学大师》，你会发现很多伟大的数学发现，其实都是被困难“逼出来”的。比如古人能计算静止物体，却无法精确描述变化中的速度、轨迹和面积，于是牛顿和莱布尼茨分别建立了微积分；再比如阿贝尔和伽罗瓦钻研高次方程遇到困难：为什么二次方程、三次方程、四次方程都有求根公式，而五次方程却始终找不到统一公式？他们对这个问题的研究最终推动了现代数学的发展。

所以遇到困难未必是坏事。没有困难，就不会诞生数学大师，也不会发展出新的数学理论。真正伟大的数学家，并不是总在解已经存在的问题，而是能够提出别人从未想到的新问题。数学最终体现的，其实是人类智慧能够抵达怎样的高度。

今天人工智能发展非常快，已经能够解决很多复杂数学问题。近年来，谷歌旗下DeepMind等机构开发的AI模型，在国际数学奥林匹克水平测试中已经展现出接近顶尖选手的能力，甚至获得金牌级别的成绩。陶哲轩等国际顶尖学者都在积极探索AI辅助数学研究。甚至有人开始讨论：未来AI会不会取代数学家，获得“数学界的诺贝尔奖”菲尔兹奖？

首先，我认为AI一定会越来越强。它最大的优势，是能够快速学习和调用海量已有知识。它可以在极短时间里读完人类几百年的数学论文，而这是任何个人都做不到的。所以在很多“已有套路”的问题上，AI已经展现出极强能力。但我仍然相信，真正推动数学前进的核心力量，仍然是人的创造力。

因为纵观数学史，人类最伟大的发现，往往不是简单积累已有知识，而是提出一种全新的思想。非欧几何、群论、相对论、量子力学……这些颠覆性的理论，都不是靠“大数据统计”产生的，而是来自人类想象力和创造力的飞跃。

所以我一直认为，AI只是人类的帮手。它可以帮我们查资料、做计算、验证结果，但真正提出新问题、创造新思想、突破旧框架的能力，依然属于人类。

05

“数学的重要价值，在于让头脑习惯于推理和求真”

很多人会问：普通人为什么要学数学？学数学有什么用？我认为数学最重要的价值不是作为计算工具，而是训练人的思维方式，让头脑习惯于推理和求真。即使时代不断变化，数学规律依然具有稳定而持久的价值。

数学要求人们遵循严密的逻辑推理——这个结论为什么成立？条件是什么？这种思维习惯对任何行业都重要。数学的一个重要分支就是应用数学，可以解决实际问题，比如怎么让成本最低、效率最高、路径最短、收益最大，这些都属于数学上的优化问题。

我的研究方向就是最优化计算方法。简单说，就是在很多可能方案里，找到“最好”的那个。我喜欢爬山，就拿爬山做比喻。如果你在山谷里，怎样最快爬到山顶？如果你在山上，又怎样最快走到山下？很多优化算法，本质上就是在寻找“最优路线”。像著名数学家柯西提出的最陡下降法，好比在山上，总朝最陡的方向往下走，是一种最快下山的策略。今天人工智能、大数据背后，很多核心问题实际上都是优化问题。比如自动驾驶汽车为什么会选择某条路线？AI为什么会做出某个判断？都是在大量可能性中寻找最优解。

我现在的研究重点是流形优化。传统优化一般是在我们熟悉的欧几里得空间中寻找最优解，比如在平地上规划最短路径。但现实中的很多问题并不是在“平坦空间”中进行的，例如机器学习、信号处理、计算机视觉中的一些模型，往往会受到特殊空间规则限制，模型参数处于一个弯曲的空间中。数学上，人们把这类具有“弯曲结构”的空间称为“流形”。而流形优化就像是在这类空间里寻找最优解，相比传统优化，更适合用来处理那些具有特殊几何结构的问题，例如图像识别、推荐系统等。事实上，现代社会的大量关键技术，包括机器学习、人工智能、数据分析等都离不开这些数学思想。

06

“数学的进步与完善，同国家的繁荣密切相关。”

拿破仑曾说：“数学的进步与完善，同国家的繁荣密切相关。” 在当今科技竞争日益激烈的时代，数学不仅关乎对纯粹真理的探索，也是国民经济和科学技术的基石。希望年轻一代的数学工作者，不仅要在基础数学领域深耕，也要像华罗庚、冯康等老一辈数学家那样，将数学落地，投入国民经济的主战场，解决国家的实际需求。

华罗庚（图片来源：维基百科）

身处AI飞速发展的今天，AI掌握已有知识、解决套路化难题的能力确实远超人类。但是，纵观人类的数学发展史与科学史，真正推动时代进步的，往往是那些颠覆性的、打破陈规的发现，这是仅靠大数据积累无法实现的。AI是我们绝佳的工具和助手，但它无法代替人类产生从无到有的灵感。去思考那些AI想不到的未知领域，去发挥我们独有的创造力，这才是人类最宝贵的能力。

《数学大师》这本书最打动人的并不是数学家的聪明才智，而是他们为追求真理燃烧生命的极致热爱。人类文明之所以能够不断向前，正是因为有这些人愿意去探索未知、突破极限。无论未来的技术如何迭代，人类那种发自内心的好奇与纯粹的热爱，在绝境中对真理的极度渴望与执着探寻，都是人工智能无法模拟的。愿每一位读者都能保有这份珍贵的好奇与热爱，在人生这场长跑中，找到自己的最优解。

作者：袁亚湘，中国科学院院士