如果我们改变了𝛑的值，世界将会变成什么样

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环球科学2026年08月08日约 6 分钟

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《毁灭战士》封面（图片来源：wikimedia）

如果我们改变圆周率 π 的数值，世界会变成什么样？无论是在现实世界中还是游戏环境里，答案都相当复杂。

人人都会犯错——而有时，这些错误会带来意想不到的发现。20世纪90年代初，在为电脑游戏《毁灭战士》（Doom）编程时，游戏开发者约翰·卡马克（John Carmack）手动设定了圆周率 π 的数值。颇具极客风范的是，他仅凭记忆，一口气把这个数字写到了小数点后第九位：3.141592657。

你有没有注意到这个数字有什么不对劲？最后一位写错了。正确的数值应该是3.141592654。（圆周率通常也会直接截断而不进行四舍五入，这样小数点后第九位就会是3；但如果四舍五入，由于后一位数字是5，第九位就应该进位为4。）

约翰·卡马克（Rob Fahey - CC BY-SA 2.0）

幸运的是，这个错误对游戏几乎没有造成影响。《毁灭战士》是最早采用三维画面的第一人称射击游戏之一。玩家在游戏中扮演一名太空陆战队员，因为一次失败的传送实验而流落到火星的一颗卫星上，与恶魔和僵尸展开战斗。这款游戏的故事很精彩，画面却十分粗糙。不过，这并不是错误的圆周率数值造成的，而是因为20世纪90年代的计算机运算能力还极其有限。

尽管如此，这个错误还是启发了美国工程师卢克·戈茨林（Luke Gotszling）。他开始研究：如果在游戏中大幅改变程序所使用的圆周率数值，可能会产生怎样的后果。2022年，他在一场黑客大会上展示了这一构想。

当电脑游戏里的圆周率出了错

由于《毁灭战士》是一款开放源代码的电脑游戏，任何人都可以下载并修改它的代码。戈茨林正是这样做的：他改变了程序中设定的圆周率数值，看看游戏会发生什么变化。

实验结果可能会让观看者感到有些头晕恶心。例如，当戈茨林把π设为3时，《毁灭战士》那像素化的世界开始发生扭曲，墙壁和柱子以出人意料的方式移动。不过，此时的游戏仍然可以正常游玩。

当圆周率被设为欧拉数的数值2.718……时，游戏变得更加诡异。玩家在游戏世界里直线前进时，周围的物体会突然移动到另一侧；敌人可能凭空出现，又突然消失。“只要醉得足够厉害，你也能体验到这种效果。”戈茨林在演讲中开玩笑说。

当他把圆周率设为π⁄2时，情况变得十分糟糕。墙壁会不断闪烁，甚至突然消失；看不见的障碍物会挡住玩家的去路。游戏在这种状态下显然谈不上有趣。

圆周率并不总是3.14159……

为什么圆周率有如此强大的影响？要回答这个问题，我们需要更深入地思考：改变圆周率究竟意味着什么。

圆周率最初被定义为圆的周长与直径之比。在日常世界里，我们理所当然地认为圆是圆润的。但在更严格的数学意义上，圆是由所有与同一个中心距离相等的点构成的。在一个平坦的二维世界里，如果距离被定义为两点之间最短的直线，圆就会呈现我们熟悉的圆形。这也意味着，一旦对距离的定义发生变化，圆周率的数值也可能随之改变。

例如，想象一下你正站在曼哈顿市中心。如果你想找出所有与你的步行距离恰好为一千米的地点，这些地点组成的形状就不再是圆形。因为你不能穿墙而过，只能沿着棋盘格一般纵横交错的街道行走。用数学术语来说，在“曼哈顿度量”中，圆会呈现出正方形。如果在这种情况下仍然把圆周率定义为周长与直径之比，它就会得到一个截然不同的数值：在曼哈顿度量中，圆周率恰好等于4。

图片来源：Amanda Montañez

如果仔细观察，你会发现现实世界中的圆周率其实也不总是严格等于3.14159……在某些情况下，圆的周长与直径之比会得到不同的数值——更麻烦的是，这个数值还会发生变化！

例如，如果你站在北极，寻找所有与你相距恰好1000千米的地点，这些点会在球面上组成一个圆。但由于地球表面存在曲率，这个圆的周长会小于平面上半径相同的圆。随着这个圆越来越接近赤道，这种效应也会越来越明显，对应的圆周率数值会越来越偏离我们熟悉的3.14159……。

图片来源：Amanda Montañez

因此，这种新的圆周率并不是一个常数，而是取决于圆的半径。并且，这种现象不只会出现在球面上：任何类型的曲面都会让圆周率呈现出不同的数值。

数学家把这样的弯曲世界称为“非欧几里得几何”。（2000多年前，学者欧几里得系统阐述了我们大多数人在学校里学到的几何规则，但这些规则只适用于平坦的世界。）

打造一个迷幻扭曲的《毁灭战士》世界

不过，戈茨林通过修改《毁灭战士》源代码制造出的奇异景象，又是另一回事。要理解这种现象，我们必须回到20世纪90年代。当时，计算机执行每一次算术运算都需要耗费大量资源。为了应对这一问题，程序员会尽可能提前完成可能用到的计算，并把结果存放在“查找表”中。

在开发电脑游戏的三维画面时，正弦、余弦和正切等三角函数发挥着重要作用。它们可以用来描述物体如何随着时间在空间中移动。为了节省运算资源，《毁灭战士》的开发者提前计算出了不同角度所对应的一些重要三角函数值，并把它们储存在查找表中。而这正是圆周率登场的地方：要把以角度表示的角转换为计算机使用的弧度值，就必须在换算过程中使用圆周率。

因此，如果戈茨林使用的圆周率数值过小，角度就会被错误地转换。由于开发者只能在查找表中存储有限数量的角度，他最终生成的查找表不再能够正确覆盖一整圈旋转。正常情况下，一个物体要旋转360度后才会重新回到原来的位置；但在被修改后的环境中，它旋转一个小得多的角度就可能再次出现在同一位置。因此，在极端情况下，物体会突然消失，或者毫无征兆地凭空出现。

戈茨林创造出的《毁灭战士》世界无比怪异。尽管如此，它却以一种有趣的方式促使人们思考数学，以及圆周率在各种意义上的“价值”。一名游戏开发者犯下的一个小错误，就这样催生了一场规模更大、围绕这个奇妙圆周数字展开的实验。

原文链接：

https://www.scientificamerican.com/article/how-an-error-in-cult-classic-game-doom-sparked-new-appreciation-for-pi/