对话数学家袁新意：做理论细水长流，却值得反复品味

宋寅翀 刘星宇｜采写

北京国际数学研究中心BICMR｜来源

四年一届的国际数学家大会（International Congress of Mathematicians，ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的全球性数学学术会议。会议旨在促进高水平的学术交流，在开幕式上将颁发“菲尔兹奖”等世界著名的数学大奖。会议期间，将有世界各地从事国际数学前沿研究的著名数学家报告他们所在领域的重大科研成果。ICM报告人身份是极高的学术荣誉，是一个数学家的工作获得国际学术界认可和关注的重要标志。

2026年7月，第30届国际数学家大会将在美国费城举行。北大数学有多位教师和校友将在会上作邀请报告。

Q：祝贺您成为今年ICM 45分钟报告人。您可以和我们分享下收到消息时在干什么，有什么感想吗？

A：我就是某一天晚上查一下邮件，收到了这个邀请。当时感到很高兴，晚上很久才睡着（笑），因为这也是国际数学界对我工作的一个认可吧。

Q：您可以介绍一下自己最近的工作以及在报告上将要分享的内容吗？

A：我回国这几年主要在Arakelov几何和丢番图几何方面有一些工作，比如我和谢俊逸教授合作做的几何Bogomolov猜想和几何Bombieri-Lang猜想，以及我和张寿武教授合作的阿黛尔线丛理论，还有我自己做的一致莫德尔猜想。不过我想要在报告上分享的内容是一个和虞家伟（北京大学在读博士生，导师袁新意）和周胜铉（法国卢兹大学博士后，原北京大学博士生，导师田刚）合作的一个新结果，今年2月份完善出来的。当然这一新结果和前面的一致莫德尔猜想也有关系，算是一致莫德尔猜想的一个量化版本。我感觉一方面是这个成果比较适合面向公众的报告，虽然证明过程非常技术性，但最后的结论还是相对比较易懂的。另一方面这是从2020年高紫阳等人的工作到我后面的工作的一个总结，一个完美的收官。

Q：您可以介绍下Arakelov几何和丢番图几何这一领域，还有您的这一新结果的起源和历史发展吗？

A：丢番图几何是由丢番图方程问题逐渐发展而来的。丢番图方程指的是不定方程，也就是有理系数或整系数的多项式方程，然后我们想要研究它的有理解或整数解。丢番图几何里面有一个核心猜想叫莫德尔猜想，是英国数学家莫德尔于1922年提出的，猜想某些丢番图方程的解只有有限多个。

Arakelov几何的历史更近一些，最早起源于苏联数学家Arakelov在70年代写的一篇算术曲面相交论的论文。后来德国数学家法尔廷斯利用Arakelov几何理论于1983年证明了莫德尔猜想，并因此获得1986年菲尔兹奖，也让Arakelov几何成为了当时的研究热点。这期间Deligne，Gillet和Soulé等数学家也做出来很多奠基性的结果。在90 年代，张寿武老师证明了一些关于算术正性的定理，和Szpiro，Ullmo合作证明了一个等分布定理，并和Ullmo解决了Bogomolov猜想。可以说这段时期Arakelov几何主要围绕着Bogomolov猜想展开。

再回到莫德尔猜想，1986年美国数学家Mazur提出了一致莫德尔猜想，对解的个数的上界做了进一步猜测。这个更强的一致莫德尔猜想，最终于2020年到2021年间，由Dimitrov，高紫阳和Habegger三人合作的工作，结合Kühne的成果，共同解决。

我今年发表在Annals上的工作，相当于是给了一致莫德尔猜想一个新证明，并推广了其适用范围。这个新结果用到了我和张寿武老师的阿黛尔线丛的理论，体现了更多的几何思想。不过，这类工作给出的上界都包含一些并未具体给出的常数。

在此基础上，我和虞家伟、周胜铉的工作向前推进了一步：我们计算出了这些上界中出现的所有常数，从而给出了一致莫德尔猜想的量化版本。这就使得整个结果变得非常具体。

Q：可以介绍下您和虞家伟、周胜铉是怎么开始合作的吗？

A：最早，在高紫阳等人和我的关于一致莫德尔猜想的工作出来之后，我们都在想怎么进一步精确化，我和虞家伟想着把相关常数具体计算出来。后来，我们看到Looper，Silverman，Wilms三人合作做的函数域的情况，相关的思想可以借鉴，但在我们研究的数域情况会遇到很大的技术障碍。我们将其转化成了几个分析领域的问题，但这几个问题我们都不会做。

时间来到2025年，我在北京作报告的时候介绍了我和虞家伟的一个相对较弱的结果，这个较弱的结果刚开始我们还觉得很满意，然后讲报告期间我总感觉就像是一个半成品，感觉有点鸡肋，想要努力把最终形式给证出来。那段时间在看了很多分析领域的文献，我有一些初始的想法，这些想法也受到了田刚老师工作的一些启发。我之后和虞家伟深入讨论并工作了一段时间，但我们意识到，确实需要找一个分析方面的专家合作。

之所以和周胜铉合作，一方面是有其他老师推荐，另一方面是在查阅资料时也关注到了他的工作，于是联系他进行了讨论经过几天的讨论，我们觉得这个大概思路是可以修补完善一下的，于是就开始了正式合作。

Q：您未来有什么研究计划可以透露一下吗？您预计算术几何这一领域后续会怎么发展？

A：数学研究比较难，充满不确定性，很难有比较清晰的计划，很多问题在做出来之前也不知道能不能做出来。就近期而言，我和我的博士生郭若一在写一本Arakelov几何的教材，我们希望能系统地完成它。此外，我目前有一些合作研究，我也希望都能做出来。长远来看可能会思考一些更宏大的课题，但这同样充满了未知。

对于Arakelov几何的未来发展，我觉得这一领域更多是一种思想。那么，如何看待它与其核心应用领域——丢番图几何——的关系呢？我的看法是，它的未来发展，仍将紧密围绕并服务于对丢番图几何的深入探索。可以说，丢番图几何是这套理论最主要，也最具生命力的应用所在。

Q：您这么多年的研究工作涉及多种不同领域。您在选定研究方向时有什么清晰的线索可循吗？您觉得诸多成功更多是您合理规划的结果还是自由探索的结果？

A：我做研究其实本质上目的性很强，就是要奔着几个大问题，一直在关注，在思考，时间短则几个星期到几个月，长则几年。当然也取决于问题是否有进展。这些大问题我都没有做出来，但是对于它们的思考与探索，启发我做出了一些其他的好结果。

我的研究领域是数论，主要包含两个方向，一个是L函数的特殊值公式，这个和朗兰兹纲领和BSD猜想有关；二是Arakelov几何和丢番图几何，比如和莫德尔猜想和算术代数几何相关，也会和算术动力系统有一些交叉。

我2008 年博士毕业，博士论文是属于第二个方向，和Arakelov几何相关的工作。随后转向第一个方向，期间和张寿武，张伟有一些合作成果。再之后就是2012年我去伯克利工作，我就开始想要寻找和探索一些我自己喜欢的数学，或者说想要创造自己的数学。

Q：您提到，刚开始做的工作和导师的研究领域密切相关，后期再探索真正自己感兴趣的问题。每个数学工作者都会有这样一个阶段吗？

A：因人而异，但从紧密跟随导师到独立探索这个现象在数学工作者中确实非常普遍。现在数学研究很难，一般来说博士阶段还是由导师给问题做。但也可能导师给的问题学生没有那么喜欢，毕竟每个人品味不一样。另外相关系列的问题做完了之后，你可以选择继续在之前的领域往前走，也可以去探索自己喜欢的领域，但无论是否继续原有方向，研究者都不可避免地要进入一个“独立化”的过程。这是个比较困难的过程，意味着你需要走出自己的舒适区，从原来做博士论文期间有老师带着，到达一个可能博士导师也不怎么确定的领域。这种转变会带来双重挑战：在心理上，可能会感到孤独和无助；在实践上，遇到具体困难时，可能不再能轻易找到可以求教的人。然而，跨越这个过程，也正是研究者形成自己独立的学术身份与品味的开始。

Q：关于研究独立性问题，您的重要工作既有独作，也有和其他人的合作成果。您认为在数学领域更看重独立科研能力还是合作能力？

A：两个都很重要。我觉得一开始要培养独立科研能力，比如博士阶段，哪怕问题是导师给的，但后续博士论文最好一个人独立完成，先培养独立科研能力。有了这个底子，合作的能力就变得特别关键了。数学里很多思想都是在合作讨论中产生的。还有就是研究做到后面，总会碰到自己不懂的工具或者领域，这时候你就得去找懂的人合作，形成一种互补的关系。

Q：您觉得什么样的问题算是真正的好问题？

A：我觉得如果一个问题涉及到了很多数学理论，那它就是一个好问题。比如黎曼假设，ABC 猜想就属于这种。还有一类问题，例如BSD猜想，其本身虽不一定能直接推出其他猜想，但它具有重要的独立价值。该猜想揭示了椭圆曲线的算术中两个核心不变量之间的内在联系，因而同样是一个意义重大的好问题。

博士生阶段，一个好的问题还需要能帮助学生很快进入这个行业，学生通过解决这个问题，可以学习到这个行业的相关工具，也能知道领域的来龙去脉。通常来说，学数学要带着问题来学，这样学得最快最牢固。所以说，一个好的博士问题，就是可以给学生一个明确的研究方向引领他成长，最终作为他职业生涯的基本盘。

Q：回顾您的学术生涯，从早期的探索到现在的领军人物，您觉得自己对数学的品位经历了什么样的演变？

A：从品味上讲，我早年可能更多是想着解决问题，对解题有着很强的执着心，然后慢慢转变，现在更希望能发掘数学背后的一些规律，更注重于发展数学理论。就比如我近几年和张寿武老师合作的阿黛尔线丛就是一个数学理论，和我早年做的数学就很不一样，给我带来的感受也很不一样。做理论，更多是一种细水长流的感觉，可能每一步都没有那么惊人，甚至到最后一本书都写完了，也不会有一个像是证完定理的那样明确的结果感。但是做理论有一个优点，可以在不同场合、不同问题中反复品味它，你会感觉它的影响其实更加深远。

Q：在一个猜想还没有完全搞清楚的时候，脑海中的逻辑往往是混乱的，没法和别人描述的感觉。这时候会不会感到一种孤独？您如何在这种孤独中保持思考的专注力和活跃度的？

A：会有，就是说我注意到了某一个现象但又无法和别人解释清楚，这种感觉确实很孤独。

至于保持专注力，主要靠好奇心的驱使。如果我感觉它有价值，比如确实有一些新现象我没注意到，我会不自觉地想要把它理清楚，整理成比较有条理的逻辑。有时候是用现有的理论把它关联上，有时候它不在现有理论框架里面，就想要把它背后的这些规律写清楚，希望把它弄成一个我能接受的机制。

Q：您能不能分享下在过去学习工作中遇到过哪些困难？都是如何克服的？

A：遇到的困难很多，比如做问题做不出来这种经常遇到，有的时间短，有的时间长达几个月甚至几年。或者有一些想法觉得可行，但是最终发现不可行，这就非常沮丧。克服的方法有一个，体育锻炼是很好的，感觉很沮丧就去打打球，效果非常好，可以让大脑完全放空。一般来说最终破局的方法是，比如突然有一天灵感出现了，或者说和别人合作交流之后解决的，但更多的时候这个困难是没法克服的，只有很少情况运气很好可以解决。

Q：您是北大数学黄金一代成员。您自己对黄金一代这种说法认可吗？在北大读书已经是二十多年前的往事了，您在燕园求学期间留下了哪些印象深刻的印记？有哪些收获和遗憾？

A：黄金一代这个说法我当然很荣幸，我想我们这么多同学应该所有人都感到很荣幸，能够被大家放到一起来谈及。

在燕园求学期间，我感觉非常快乐和充实，每天学习，还有打篮球，踢足球。还有就是性格上的成长，我原来比较内向，比较胆小一些，就是在北大三年变得很自信。另一个收获是学习上的，把相关课程都学好了，打下了很好的基础。至于遗憾嘛，就是我那时候自己做出了提前毕业的决定，然后就发现怎么少了一年校园生活（笑）。

求学期间当时有几个年轻的老师对我们影响很大。我主要做的是代数方向，那时候代数方向的老师很少，印象深刻的有田青春老师、高峡老师、杨磊老师，他们对我们的影响都非常大，比如非常愿意和我们聊天，愿意花时间在我们身上。高峡老师在数学上非常严谨，在工作上非常敬业，让我们懂得了脚踏实地；杨磊老师聊数学时喜欢总领全局，且不拘一格，我们听起来很过瘾，对数学充满热情。田青春老师平易近人，风格介于这两人之间，对我们的影响也很大。

Q：在您的学习和研究生涯中，有没有哪本数学书籍或文章对您产生过深远的影响？

A：对我的数学研究影响最深远的书，我想还是Hartshorne的《代数几何》（GTM 52）。当然，这本书背后其实是代数几何方面的“圣经”Grothendieck的EGA（《代数几何基础》）。从上大学到后来做研究，Hartshorne的这本书是我读过的所有数学书中，花时间、精力最多的一本。当时，我花了大量的时间去理解代数几何中的各种定义、定理，逐个死磕里面的习题。正是这段经历，彻底夯实了我的代数几何基础，帮我建立起了对于高度抽象的代数几何语言背后的几何直觉。

还有一本数学科普书也对我影响很大，是介绍Wiles证明费马大定理全过程的书，英文名叫Fermat's Enigma。作为一本科普读物，它不仅讲述了费马大定理的历史，更在后半段详细刻画了Wiles证明这个定理时的心路历程。书中真实描写了他漫长挣扎的过程，包括他一开始宣布证明成功，后来却发现证明中存在一个致命的漏洞，最后又顶着巨大压力去补齐漏洞的经历，这段心路历程非常打动人。

Q：您是否使用过AI辅助？您觉得纯数学研究应该怎么看待AI的发展？

A：我主要用AI做两件事，一个是让AI搜索一些现有的结果，看看这个问题现在是一个什么状态。另外我会用AI做一些具体的数值计算，相当于是一个高级计算器，或者算一些不等式估计。

现在AI在纯数学上能做的事越来越多，不过目前我感觉AI还是作为我们的一个辅助工具，还没能做主导。就比如我这想证一个主定理，肯定不能把主定理输进AI 让它来证，但我们的证明中出现的一些中间结果，或者某些步骤涉及到的一些结构比较简单的数学对象，可以尝试让AI来做。

Q：您之前曾在国外指导过学生，现在在国内也培养了许多博士生。您觉得在国内外培养博士生有什么区别？

A：平均来说，国内学生的基础通常更扎实。比如我在北大带的学生，相比在Berkeley带的学生，基础功底会更深厚一些。但在胆量和自由度上，国内学生相对拘谨，思想不够大胆，或者说受到的条条框框更多。

这种拘谨还体现在师生交往中。受传统观念影响，国内学生非常尊师重道。尊重老师本身没问题，但这有时会延伸到数学思考上，他们会倾向于认为老师或权威专家想的一定是对的。国外学生在这种“对权威的盲从”方面会好很多，交往起来也没那么拘谨。

不过，国内也有非常好的另一面。就拿开讨论班来说，在国外，大家的时间边界感很强，一到下午5点下班时间，学生就会觉得接下来的时间是自己的，晚上讨论或聚餐就比较困难。但在国内，我们经常是下午讨论完，5点半到6点半大家一起吃个盒饭，然后继续搞讨论班。这种师生之间更紧密、更集体的交流氛围，我觉得是国内做得更好、更宝贵的地方。

Q：结合前面的国内外培养差异，您如何看待国内数学教育的现状与未来？

A：国内确实一直在进步，而且进步非常大。一方面，这几年我们的师资力量得到了极大的提升，不仅从海外引进了很多重量级的人才，我们自己现在也培养出了越来越多的顶尖学者。另一方面，博士生的生源也越来越好。生源变好，很大一部分原因是因为师资强了，好学生自然愿意留下来。

还有一个客观原因。近些年因为国际形势变化，美国对中国学者有一定的排斥，去美国深造变得不容易；同时欧洲的经济也遇到了一些问题，能提供给科研的支持名额也在减少。这些外部因素也客观上促使更多优秀的生源留在了国内。

所以在师资和生源双重提升的背景下，我们这几年培养的博士生质量比以前强了非常多。对于未来，我是非常乐观的。我想可能要不了几年，比如在十年之内，大家就能看到，我们国内自己毕业的博士生，绝对能达到和美国顶尖高校博士生比肩的水平。

Q：您在美国大学任职期间已经取得了很好的成果，并获得了终身教职。回国之后的几年里继续保持了高水平的产出。可以讲讲您觉得国内外的科研环境有何异同，各有哪些优劣势？

A：国外的科研环境有一个非常突出的优点，就是极其自由。这种自由首先体现在思维上，条条框框比较少，更容易产生一些不被现有大框架限制的新想法。另外，在科研上，老师和学生也拥有更大的自由度。

国内的情况则因校而异，不同层级的学校之间差异还比较大。但我们现在发展得非常快，尤其是顶尖的高校，比如北京大学，现在的科研环境已经非常好了，我认为完全可以与美国前十名的高校相媲美。

目前国内的引进人才呈现出一种“阶梯式”的趋势。一开始是最好的学校优先吸引到重量级人才，随着这些学校的位置趋于饱和，后面的学校也开始迎来更多机会，慢慢也能招到很好的人才。当后面学校的科研条件改善时，自然也更容易吸引到那些杰出人才。

Q：同学们都说您讲课极其流畅、观点新颖深刻，常常会自发为您鼓掌。给北大学生上课带给您最大的感受是什么？教学的过程会给您自己的科研带来新的启发吗？

A：给我最大的感受首先是很有成就感。把一个复杂的概念讲清楚，看到学生真正理解并给出正面的反馈，这让人非常开心。

但同时，讲课也是一个让我自己完全沉浸其中的过程。在课堂上，我其实是在脑海里把这套理论从头到尾思考并欣赏了一遍，这对我自己来说是一件很过瘾的事。正因如此，我不喜欢拿着讲稿去抄板书，除非遇到特别复杂的公式才看一眼。因为一旦对着念、对着抄，你就没法真正重新去走一遍那条思考之路了。

至于这种教学对科研是否有启发，坦白说，多数时候并没有直接的帮助，因为课程内容毕竟比前沿研究简单得多。不过，偶尔在备课和重新梳理的过程中，确实也会收获一些意想不到的灵感。

Q：无论是在课堂、讨论班，还是与学生的日常交流中，我们注意到您对“定义”以及“定理陈述（statement）”的强调，往往远胜于对推导证明和技术细节的关注。您能解释一下为什么会如此看重“定义”吗？此外，我们在学习时常常觉得“算明白一个例子，基本这个定义也就懂了”，您如何看待“例子”在数学理解中的作用？

A：之所以如此强调定义，是因为在重要课程里，那些看似简单的定义，其实在数学史上经过了几代数学家的千锤百炼。我们常说要“站在巨人的肩膀上”，对于我们而言，这个“站法”不是去找个巨人站一下，而是去深刻理解一个定义。比如微分流形的定义，基本上浓缩了黎曼一辈子最重要的数学思想。教材也许不会大篇幅渲染这有多伟大，但这段精炼的文字背后蕴含的信息和意义是极其重大的。所以我们必须仔细去琢磨它是怎么陈述的，去体会它深远的影响。

定理的重要性毋庸置疑，它实际上是在告诉我们“为什么这个定义重要”——我们做了一个定义，发现它满足很好的性质，这些性质就是定理。至于证明，通常会很长。我们的时间和精力有限，脑容量也是有限的，至少我觉得我的脑容量是有限的（笑），所以必须要有取舍。很多时候，读懂一个长证明往往要花最大的代价，得到的却是“最小的收益”——大家可能以为看懂证明收益最大，但实际上的收益往往只是让你“相信”了这个定理。但对于写在教材里的东西，你哪怕不看证明，也本来就应该相信它。

你们提到的“算例子”也非常关键，我自己也很喜欢例子。它有两个层面的作用：首先，定义和定理现在都是用极其抽象的语言写成的，例子能直接帮助我们建立直观理解；其次，从数学发展的历史来看，通常总是“先有例子”的。人们从几个或者一类具体的例子中观察到了一些现象，受到启发后，这些结果最终被抽象成了定理，而里面涉及的相关概念就沉淀成了定义，探究过程中的一些观点就变成了我们现在的数学思想和思考问题的角度。

Q：对于有志于从事基础数学研究的中国学生，您有哪些学习或职业规划上的建议？

A：对于中国学生，我觉得有一点特别需要加强，那就是要多主动跟老师交流。博士生有自己的导师，沟通是很自然的事；但很多本科生，甚至包括北大的一些本科生，其实往往不知道在自己所处的那个阶段具体应该干什么。

这时候，他们非常需要去跟老师——特别是那些在学术前沿非常活跃的老师——多交流。这种交流不一定是为了请教某个具体的数学问题，更重要的是请老师帮你做“规划”。这个规划首先是学习上的路线图：你需要按什么顺序去上哪些课？比如你现在大二，大概应该学什么，学完之后下一步再学什么？此外，这个方向的前沿现状是什么样的？这些都是在书本和网上都找不到的。

另外，这种规划也包括职业选择。比如很多学生都会面临的一个现实问题：将来要不要出国读博？对于这个问题，尽早跟老师聊一聊非常有帮助。你可以去向老师请教国内外情况的对比，尤其是那些有海外经历的老师，两边的学术环境他们都亲历过，能够帮你做出非常全面、客观的分析。

Q：在您的求学和研究生涯中，有没有什么关于数学家交往的趣事，或者特别难忘的“数学轶事”可以和我们分享？

A：脑海里浮现过很多有意思的故事，但我最想分享的，是我跟谢俊逸合作的一段奇妙经历。

那是2021年的事情。我是2020年初回到北大的，没过多久，谢俊逸也来北大访问。当时他在法国有永久职位，但也对回国很感兴趣。到了2021年7月暑假，他的访问期满，马上就要回法国了。那时我正在全斋（编者注：数学中心办公院落之一）组织了一个Arakelov几何的讨论班，他也一直在参加。有一天，他跟我说他买好了机票，一两天后就要飞走了。我当时心里还觉得有点遗憾，因为我们之前一直想合作点什么，探讨过几次，但都没弄出什么名堂。

结果过了两天，我竟然又在怀新园（编者注：数学中心办公院落之一）里碰到了他！他告诉我，因为疫情，他的航班被临时取消了，没走成。既然走不成了，我们就决定再坐下来试着攻克一下“几何Bogomolov 猜想”。

谢俊逸之前和高紫阳、Habegger以及Cantat合作，用复分析的办法解决了特征0的几何Bogomolov猜想。我们起初只是想借用那个思路，把它搬到特征上来。当时我们觉得在特征上确实也能造出一些类似“Betti foliation”的对象，这让我们觉得特征的几何Bogomolov猜想也是有希望解决的。但讨论着讨论着，我们很快就有了全新的灵感，发现根本不需要借用原来的老办法，而是开辟了一条我们自己的新路径。结果顺着这个新思路推演了几天，我们竟然就把这个猜想给彻底解决了！

本文在2026年6月2日首发于《北京国际数学研究中心BICMR》，原标题为“厚积薄发，志在千里 | 专访ICM2026邀请报告人袁新意老师”，《赛先生》获授权转载，转载时标题有修改。