比特征多项式更触及灵魂：矩阵的最小多项式

丁玖2026年09月03日约 16 分钟

特征多项式大家并不陌生，但矩阵还有一个同样重要、却更“精简”的多项式——最小多项式。它不仅记录了矩阵的特征值，还能告诉我们最大的若尔当块有多大、矩阵能否对角化，并进一步引出广义特征子空间的分解。

本文将从定义出发，一步步揭开这些联系，并通过具体算例展示最小多项式在矩阵计算中的作用。

本文收录于合集：数学课

撰文 | 丁玖（广州南方学院数学与统计学院教授）

从自然数的“良序性”说起

从 1，2，3，……开始数数，是我们接触数学的起点。自然数为何从人类文明之初就与人为伍，备受青睐，并一路走到今天？除了作为“数数”工具，另一个不应忽视的因素是它们全体具有所谓的“良序性”。什么是良序性？人人皆知，任何有限个数字中必有最大数，也必有最小数。但是对于无穷个正整数，就不一定有最大的那个了，比如说在所有的偶数中就找不到最大数。然而，自然数集的任何非空子集，无论包含有限个还是无限个元素，在自然数群体数字之间的大小关系下，总有一个最小数，小于该集合中的其他所有数。这就是自然数之集的“良序性”。

不要小看这个良序性，就是它才使得“数学归纳法”成为数学证明方法中的一件宝物。或许有人既不熟悉数学归纳法，也不清楚它何以成立，这里多写两句。对于一个与所有自然数相关的命题，如果它对最小的自然数为真，并且在它对任意自然数为真的假设下能证明对自然数也为真，那么这个命题就对所有的自然数都成立。为什么呢？答案就来源于自然数的良序性：假如存在自然数使得命题对此数不真，则所有这样的自然数组成一个非空数集。根据良序性质，这个集合有最小数，记为。它不为，因为已经证实了命题对自然数成立。由的定义，命题对自然数成立。然而数学归纳法已经证明，一旦命题在时正确，则对也正确。这就陷入矛盾：命题既对自然数为假，又对为真。这说明使得命题不真的自然数集合是个空集。

前面花这么多篇幅谈自然数，是因为本文主角“最小多项式”的存在性恰恰就是自然数良序性的直接推论。上面已知，满足任意给定性质的自然数非空子集一定存在最小数，不管集合是有限的还是无限的。因为所有非常数单变元多项式的次数也正是所有的自然数，同样地，满足某种规定性质的所有的非零多项式全体，必定包含一个最低次数的多项式。“最小多项式”的数学术语就是在这个意义下诞生的。

从零化多项式到最小多项式

假定是一个固定的阶方阵，定义在复数域上。根据定义，的特征多项式，其中是复变量，是同阶的单位矩阵，而符号“”表示行列式。相应的方程则被称为的特征方程。特征多项式是一个次数等于所属矩阵的阶数的首一多项式，即它的首项（的次数最高的项）系数为。线性代数中众所皆知的凯莱-哈密尔顿定理是说，任何方阵满足它的特征方程，即。这里，如果复系数多项式，则与同阶的方阵被定义为。

对于给定的方阵，任何使得成为零矩阵的多项式被称为是的零化多项式。自然，按照定义，零多项式是任何方阵的零化多项式，但只有非零的零化多项式才有意思。我们首先指出，任给方阵，它的非零的零化多项式必定存在，因为上一段中的凯莱-哈密尔顿定理就提供了一个——的特征多项式。它不仅是的零化多项式，而且还是首一多项式。由于任何非零多项式都可以写成它的首项系数乘以一个首一多项式的形式，而这两个仅仅相差一个非零常数因子的同次数多项式对零化（或非零化）所给矩阵本质上无异，故以下讨论零化多项式时，就常常假设它已经是个首一多项式了。

那么，对于同一个方阵，还有其他的零化首一多项式吗？当然有，而且有无穷多个。比方说，任何一个首一多项式乘上的特征多项式，得到的首一多项式也是的零化多项式，这是因为矩阵多项式的代数运算如同数的代数运算一样“完美无缺”——结合律、交换律、分配律统统成立，从中得出。

然而，这样的零化首一多项式的次数通常似乎太高了一点，因为人们一般比较喜欢“相对低次的多项式”，这也是数学中一种不成文的审美倾向。为此，考虑所有的可以零化给定方阵的首一多项式，按照自然数的良序性，这些多项式中一定有一个，它的次数最低，记为。问题是，这样次数最低的零化首一多项式是否唯一？

回答是“是的”。事实上，假如也是一个次数最低的零化首一多项式，那么它与有同样的最高次数项，故是个次数至少低了一次的多项式。拿来代替，便有，即是次数更低的的零化多项式，如果它不是零多项式，再除以它的首项系数后，便得到次数低于的的零化首一多项式，这与的定义矛盾。这说明，即。

这样，次数最低的零化首一多项式是唯一的，给它起名为“的最小多项式”完全合乎逻辑。现在，我们用与整数除法相同原理的多项式长除法，证明最小多项式的一条重要性质：

定理1.方阵的最小多项式整除的任一零化首一多项式。

**证明.**设为的任何零化首一多项式。用的最小多项式除，得商多项式和余式，即。这可由在中学代数里学过的多项式长除法完成。用与从小学算术学到的关于整数除法的余数定理——“自然数除以自然数所得余数严格小于”同样的推理可知，在上述等式中，的次数严格小于的次数。将矩阵代入此等式，便有。移项后得到

换句话说，次数小于的是的零化多项式。这不可能，除非是零多项式。所以，这就证明了，即整除。

前面的讨论揭示了这样一个事实：如果考虑的所有零化多项式所组成的集合，记为，那么中的任意两个多项式之和也在之中，任意多项式（包括零次多项式即复数）与中的多项式之积也属于。这说明不仅是一个复向量空间（它是无穷维的，这一点与有穷维的复向量空间不一样），而且还符合抽象数学名词“理想”的定义（即的上述两个性质的抽象化），因而用理想的英文单词ideal的花体大写首字母表示。更进一步，定理1表明，这个理想是由最小多项式生成的“主理想”，即中的所有多项式都是最小多项式与某个多项式的乘积。

顺便一提，数学概念“理想”是由德国数学家戴德金（Richard Dedekind，1831-1916）于1871年正式引进的。他将理想定义为符合某种性质的数的集合（更具体地说，是代数整数的子集），以推广同为德国数学家的库默尔（Ernst Kummer，1810-1893）早期提出的“理想数”概念，从而实现在代数数域中的唯一素数分解性质。如今，理想不仅在抽象代数中有用，而且出现在其他分支如泛函分析的正算子理论中。

最小多项式与特征值

因为的特征多项式零化了，所以定理1直接推出下面的结论：

系1. 方阵的最小多项式整除的特征多项式。

根据代数基本定理，在复数域里，的特征多项式可以因式分解为线性多项式的乘积：

其中是的所有相异特征值，分别为它们的代数重数。由于对的整除性，方阵的最小多项式同它的特征多项式一样，也和的特征值发生了关系：

其中的幂指数均为非负整数，且分别不会大于。下面证明，这些指数至少为，或等价地说，每一个特征值必为的零点。

令为的任一特征值，以为一对应的特征向量。则对等式两边累次左乘得到，对任意都有，继而推知，对所有的多项式

等式

成立。特别地，让，便有

因为是非零向量，上式隐含，即是的一个零点。由此可见，最小多项式中各线性因子幂指数满足。

对某些矩阵，其最小多项式就是特征多项式，最小多项式中各线性因子的指数都达到了上限。一个例子是次首一多项式

的友矩阵

不难验证，友矩阵的特征多项式和最小多项式均为。读者可对三阶友矩阵验证这一结论。而另一个极端是阶单位矩阵，其特征多项式是，最小多项式为，幂指数降到了最低的1。

指数：特征值的“指标”

现在我们更进一步地探讨最小多项式的因式分解式（1）中对应于每一个相异特征值的那些幂指数。上面的论证已经指出，它们都是正整数，且满足。试问，到底等于几呢？

为回答这个问题，我们活学活用在上一篇文章《矩阵的若尔当标准型》中引进的特征值指标等概念，并着手证明：最小多项式因式分解（1）中的指数恰好就是的指标。讨论完最小多项式表达式结构后，线性代数中著名的矩阵谱分解定理将作为推论呼之欲出。首先回忆特征值指标的定义。给定阶方阵任一特征值的指标是满足下列关系的正整数：

这里，符号“”表示严格包含关系，即集合集合意指且。显见，如果和是的两个线性子空间，那么意味着的维数比的维数至少大一。回忆一下，特征值的几何重数是对应的特征子空间即零空间的维数，它不大于的代数重数。

如前，设为所有的相异特征值，其代数重数、几何重数和指标分别为、和。根据文章《矩阵的若尔当标准型》所述，阶方阵所有特征值的这三组自然数，勾勒出的一个若尔当标准型。标准型矩阵是块对角矩阵，每个对角块为若尔当块，形如

其中穷尽，表示的阶数。特征值所携带的若尔当块的阶数之和等于的代数重数，最大的那个若尔当块的阶数等于的指标。

令为将相似变换到的非奇异矩阵，即，则。对任意多项式，易见

因而当且仅当。特别地，最小多项式满足。

因为是块对角矩阵，计算十分快捷：它也是块对角矩阵，其对角块就是这种类型的矩阵，其中取遍的所有特征值。详细地说，令

则意味着其所有的对角块子矩阵

将上面的一般若尔当块简写成，并令

则的平方相当于将它的所有的1向右平移一位，即

类似地，的立方相当于将中所有的向右平移一位，等等，最后的次方的元素除最右上角的为外全是，而的次乃至更高次方都是零矩阵。具有这个上佳性质的矩阵被命名为指标为的幂零矩阵。

基于如上的观察，为了避免采用复杂的下标，我们选取只有两个相异特征值和的阶矩阵，来演示为何下一句中的两个指数和必须分别等于这两个特征值的指标（分别用和标记之）。设的最小多项式为

并令的若尔当标准型是

其中与两特征值各自相关的两个块对角子矩阵分别是

为明确起见，上面块对角矩阵和中的若尔当块已按尺寸从小到大沿主对角线上下排列，故内最大块的阶数是，内最大块的阶数是。然后

我们先看一看对有什么要求。在表达式中用替换，并利用矩阵多项式乘法的交换律，得

注意到由假设推出，主对角元均为非零数的上三角矩阵是非奇异的，故它的次幂也是非奇异的，故上式隐含。另一方面，

从前文已知，对任意以及，幂矩阵，但是对都有。这样，（2）式告诉我们，块对角矩阵的所有对角块都是零矩阵当且仅当它们当中尺寸最大的那个————等于。而根据若尔当标准型的理论（参见文章《矩阵的若尔当标准型》），的尺寸（也就是的尺寸），等于特征值的指标。结合，这就保证了不等式，而由于最小多项式是零化首一多项式中次数最小的，且使得成立的最小为，故有等式。同理可证。

对有更多相异特征值的一般情形，如法炮制可证下列定理：

定理2.给定阶复方阵的最小多项式是

其中是的所有相异特征值，依次为的指标。

之前的文章《如何理解矩阵的特征值问题？》给出了一个对理工科大学生而言广为人知的方阵可对角化充分必要条件，即阶方阵可对角化当且仅当它的所有特征值具有相等的代数重数和几何重数，或言之它有个线性无关的特征向量。结合由指标的定义所演绎出的基本性质，下列推论是不言而喻的，它提供了在大学工科线性代数教材中鲜被收入的又一个等价条件。

系2.方阵可对角化的充分必要条件是它的每一个特征值的指标都等于。

系2中的充分条件可以推广，如下面的系3所示。

系3.若对方阵，存在它的一个零化首一多项式满足条件：在复数域是相异线性因子之积，则是可对角化的，且它的最小多项式整除。

系3的优点是无需事先知道的最小多项式，只要知道它的一个零化首一多项式没有重根，就能保证能对角化。比如，如果是单位矩阵，因为多项式的所有零点是的个次方根，故系3确保了相似于一个对角矩阵。特别地，满足的矩阵可以对角化，一个在数值代数中特别有用的例子是反射矩阵，其中为一单位实向量。

一把关键钥匙：贝佐恒等式

下面，我们利用最小多项式证明矩阵理论中的谱分解定理，该定理将已知方阵的定义域空间分解成它的不变子空间的直和。为此目的，先引入关于多项式的贝佐恒等式。首先介绍初等数论中经典的贝佐引理：对于任意两个整数和，都存在整数和，使得，其中是和的最大公约数。比如对于和，它们的最大公约数是。通过扩展版的欧几里得辗转相除法（即在标准版的辗转相除法之后，再加上一个逆向回溯过程），求得满足贝佐引理中的那两个整数和。这个数论中的基本结果还表明，任何可以表示为和的线性组合的整数都必须是它们最大公约数的倍数，反之亦然，即最大公约数的所有倍数都可以用这种方式表示。因此，贝佐引理是证明其他数论命题（例如欧几里得引理和中国剩余定理）的基石。

法国数学家贝佐（Étienne Bézout，1730–1783）在代数几何中留下一条经典命题（现称贝佐定理），大意是：一般而言，个变元复系数多项式的共同零点的个数等于所有多项式的次数之积。这一结果发表于他1779年出版的《代数方程的一般理论》。有趣的是，同样以贝佐命名的整数情形的贝佐引理，其实在他出生以前就已出现，甚至可以追溯到欧几里得的《几何原本》。尽管如此，在同一部《代数方程的一般理论》中，贝佐确实证明了整数贝佐引理在多项式情形下的推广，即今天所称的多项式贝佐恒等式：

引理. 对于任意非零复系数多项式和，都存在多项式和使得

其中是和的最大公因式。

因为上述引理的证明可以采用“最低次多项式”的思想，与本文主题“最小多项式”有异曲同工之妙，下面给出引理的证明：

证明.定义如下的一个多项式集合

事实上，这个集合也是一个理想。读者切莫将这里的符号理解为单位矩阵甚至区间。数学中的概念多如牛毛，而英文字母屈指可数，导致同一符号常用于不同场景。下面，我们将在中找到待证的贝佐恒等式右端的那个多项式。

首先，再次根据自然数的良序性，中存在一个次数最低的非零多项式，记为。由于的定义，可以将写成的形式，其中和是两个多项式。

下一步证明，是和的一个公因式，即整除和。对和运用多项式的长除法，得

其中的次数低于的次数。改写前式，有

上式说明，属于。但是中次数最低的非零多项式，而的次数又低于它，唯一的现实只能是为零多项式。所以是的因式。同理可证也是的因式。

剩下的事情是验证在和的所有公因式中，的次数最高。假设整除和。既然，显然整除。

综上所述，既整除和，又被和的任何公因式整除，因此与和的最大公因式顶多相差一个非零常数因子。这就证明了贝佐恒等式。

贝佐恒等式可以推广：对于非零复系数多项式，存在多项式使得

其中是的最大公因式。

谱分解：按特征值拆开整个空间

现在可以叙述并证明任意方阵的谱分解定理了。

定理3.设是阶复方阵的所有相异特征值。则

其中分别为的指标。

证明.再一次，为避免采用下标，仅对只有三个相异特征值、和这一特殊情形证明定理的结论；对一般情形的证明思路完全一样。设、和的指标分别、和。则的最小多项式是

显然下面这三个多项式

是互素的，即这三个多项式的最大公因式为，故从贝佐恒等式，存在多项式使得

将方阵代入上式中的变量，得

任给，令

则。另一方面，

即。同理有和。这就证明了向量空间的和式分解。余下只需证明这个和是直和，即在右端的三个子空间中，每一个均与其他两个的和空间仅仅共享零向量。作为例证，设

则，且存在及，满足。故有

另一方面，由于多项式和互素，再次使用贝佐恒等式，存在多项式和，满足恒等式。将代入，再作用于，便有

这就推出

同理，

和

定理3证毕。

对于的每个特征值以及正整数，设，由于与的多项式可交换，有

故。换言之，零空间是的不变子空间。特别地，特征子空间和广义特征子空间是的不变子空间。这样，作为将定义域映射到自身中的线性算子，矩阵有个彼此独立的不变子空间，且在它们上的限制

只有一个特征值，分别是。根据定理3，的定义域空间是这些的定义域子空间的直和，于是就有了的直和分解：，即对所有的，通过上面获得的向量的子空间直和分解，其中，等式

成立。这就保证，将在不变子空间内对应于唯一特征值的那些若尔当块组成的若尔当标准型，再将作为对角块，组成包含个对角块的阶块对角矩阵，它就是的若尔当标准型：，其中

并且对，其中行列的子矩阵的所有列是与相关的特征向量或广义特征向量。这些列向量按若尔当链分组排列，每条链的长度正好等于中对应若尔当块的尺寸。

这样，如果获得了方阵的最小多项式，就很方便地将进行谱分解，借此也能写出的若尔当标准型。过程大致如下：首先计算的特征值及其代数重数（特征多项式在复数域与之相关的线性因子的幂次指数）。对于每个特征值，通过分析不同幂次的零空间的维数，直到其零空间维数不再增加的幂（就是的指标），确定其若尔当块的大小；块的数量等于的几何重数，即特征子空间的维数。最后，将这些块按主对角线排列，形成的若尔当标准型，其中对于非的块，超对角线上的元素为。

实战演练：计算最小多项式与若尔当标准型

现在，选取一个数值例子来促进消化本文内容。设

它的特征多项式是

故有两个单重特征值和及一个二重特征值。它们的几何重数都为。两个单重特征值和的指标都等于。现在计算二重特征值的指标。矩阵

的秩等于，故的维数等于。再计算

它的秩等于，所以由此推得特征值的指标为。这样我们就能写出的最小多项式（事先没想到它恰好是特征多项式）

有了这么多的信息，干脆就把若尔当标准型也算出来。单重特征值和各自有一个的若尔当块和，对应的特征向量通过依次求解齐次线性方程组和获得，分别为和。对第三个特征值，求解，得到的基底向量。再求解方程组，发现二维广义特征子空间由向量和张成。前者是特征向量，后者为广义特征向量。从对应若尔当链的迭代，以及之前的两个特征向量，若尔当标准型相似关系完全建立起来，其中

在本文最后，再提一下涉及到最小多项式的两个“雕虫小技”。第一个技巧用于计算矩阵的高次幂。假如需要计算的次方，是不辞劳苦地直接将同自己连乘次呢，还是另找窍门？当然聪明的你或许会想到先将相似变换到它的若尔当标准型（运气好的话是个对角矩阵），然后将繁重的计算转化为计算。但此法需要额外精力算出特征向量和广义特征向量的最大线性无关组。为了省时，最小多项式提供了另一个点子。举个具体例子，让我们设想，则，，因而

在展开后，每逢有个因子，就代之以，如此这般，计算量大为减少，就获得的结果，而无需借助特征向量等数学工具的一臂之力。

在计算逆矩阵方面，最小多项式有时可以展现它的第二个小窍门。设可逆矩阵的最小多项式是，其中的常数项不等于。则由

知，，两边同除以便有

由此得到的逆矩阵表达式

当可逆矩阵的阶数远大于它的最小多项式的次数时，上面的公式显示出了计算逆矩阵的便利之处。

致谢：感谢周舒义编辑对文章修改润色并指出了原文中的一个数学错误。