丘成桐：Calabi-Yau 流形五十年，我的回忆

丘成桐2026年10月14日

丘成桐。图源：wikipedia

导读：

1976年，丘成桐证明了数学家卡拉比提出的一项猜想，解决了一个困扰数学界多年的难题。这项成果让数学家能够严格证明，一类特殊的几何空间确实存在。后来，这类被称为“卡拉比-丘流形”的空间进入弦理论研究，成为物理学家探索额外空间维度的重要数学工具。

今年正值丘成桐证明卡拉比猜想50周年。他在一篇文章中回顾了这项成果背后的故事。

丘成桐 | 撰文

数理人文 | 来源

临江仙：记七六年事

丘成桐

字形雾笼烟锁，遍寻缱绻难持。灵犀一点倩谁知？落花人独立，微雨燕双飞。

记得好事新谐，笙调心印人依。弦琴天籁寄相思，大钧玄秘在，物数竟同归。

《临江仙：记七六年事》的注释

余弱冠读书柏城，受业于嘉兴陈氏。少年气盛，意有所作为。遂不自量力，欲解宇宙之形，究天地之变。然而六年辛勤，终无所成。学然后知不足，思然后知殆。浩浩乎虽存大志，惘惘乎不知其所以。俟七六年秋，友云来归，夙愿得偿，心旷神怡。不旬日竟得灵犀，解估值之谜，见时空之雅致。仿若天人合一，抑亦精诚所至，金石为开乎？心结既解，诸学为通！分析几何，送怀于千载之后矣。今日情怀依旧，当年伴侣犹在。唯愿薪传有人，家国双兴，慰我平生也。

丘成桐，2014年7月13日

在伯克利攻读研究生期间，我对曲率的概念及其与整体拓扑的联系产生了浓厚兴趣。起初，我研究的是具有非正曲率的流形。随后，通过旁听Arthur Elliott Fisher 开设的一门研究生一年级课程，我初步学习了广义相对论。Einstein方程表明，就偏微分方程而言，Ricci 张量正是恰当的曲率张量。

Einstein 方程的经典真空解往往包含奇点。于是我开始思考：能否找到 Einstein 方程的非奇异真空解？在经典广义相对论中，度规具有Lorentzian 特征标（signature）。而对于几何学家来说，理解具有Euclidean 特征标的度规相对容易一些。因此，我着手构造 Ricci 曲率为零的完备 Riemannian 流形。令我大感意外的是，当时已知的这类例子全都是平凡的，即平坦流形。

攻读研究生期间，我大部分时间都泡在图书馆里。偶然间，我发现了一篇 Eugenio Calabi （1923-2023）撰写的关于具有指定体积元的 Kähler 度量的旧论文。当体积元对应的 Ricci曲率为零时，该 Kähler度量的 Ricci 曲率也为零。令人惊叹的是，与 Einstein 方程组这一非线性方程组不同，这是一个标量方程。

Eugenio Calabi 和丘成桐

Kähler 在其著名论文中率先揭示了 Ricci 曲率的简洁性，并认识到 Ricci 形式实际上是一个拓扑不变量——即如今被称为第一 Chern类的量。令我倍感兴奋的是，这一构想导出了一个非线性椭圆型标量方程，仅凭拓扑数据就能构造出丰富的 Ricci 平坦流形实例。

具体而言，即 Kähler 流形的第一Chern类为零。其中第一个具有重要意义的非平凡例子是复二维的 K3 曲面。

当我着手研究这一问题时，发现几何学界许多才华横溢的同行与我有同样的看法：这简直好得令人难以置信！

经过六年的艰苦努力，我与郑绍远（Shiu-Yuen Cheng）、Richard Melvin Schoen（孙理察，1950- ）、Leon Melvyn Simon（1945- ）等人一道，通过逐步建立现代几何分析的基础，最终证明了Calabi猜想。

丘成桐和郑绍远

Richard Melvin Schoen

Leon Melvyn Simon

在此过程中，我也认识到了 Kähler-Einstein 度量在其他数学领域中的重要意义。

对于一个第一 Chern 类为零且 Kähler 类固定的 Kähler 流形，存在唯一的 Ricci 曲率为零的 Kähler 度量。因此，Calabi-Yau 度量的所有度量不变量都刻画了该极化 Kähler 流形的特征。Dirac 算子的谱就是一类很好的度量不变量。

基于 Chern 类的曲率表示，我解决了几个代数几何中长期未决的重要问题。由此，我们通过以非线性偏微分方程为主要工具的“几何分析”，在“微分几何”与“代数几何”这两个经典学科之间架起了一座桥梁。

Calabi-Yau 度量提供了一种典范标尺，用于衡量难以在局部测量的复结构性态。

特征函数的水平集可以将流形划分为许多典范部分。

这与 Descartes 将方程与几何联系起来的坐标系思想颇为相似。

通过我对 Calabi 猜想的证明，并结合与 Fedor Alekseyevich Bogomolov（1946- ）工作的对比，我认识到了“稳定性（stability）”这一概念对于涉及非紧致对称性的非线性方程解的存在性问题具有重要意义。

Fedor Alekseyevich Bogomolov

我了解到在稳定全纯丛上存在 Hermitian-Yang-Mills 方程。这促成了我与 Karen Keskulla Uhlenbeck（1942- ）的合作，我认为这是我的重要工作之一。

对于射影曲面，这一结果首先由 Simon Kirwan Donaldson（1957-）证明，他利用矩映射（moment map）表述了稳定性。

Karen Keskulla Uhlenbeck

Simon Kirwan Donaldson

Carlos Tschudi Simpson（1962- ）指出，Uhlenbeck-Yau 的论证无需太多额外推导，即可直接应用于 Yang-Mills-Higgs 场。随后，他将这一方法精彩地应用于 Hodge 结构的形变理论，并发现了其在数论中的应用。

Carlos Tschudi Simpson

基于非线性方程构建几何结构时，稳定性这一概念变得至关重要。事实上，早在四十年前，我就曾基于稳定性提出了关于 Kähler-Einstein 度量存在性的猜想。我还认为，同调类的稳定性概念对于解决 Hodge 猜想是必不可少的。

Calabi-Yau流形研究的一个重要转折点出现在1984年的第一次弦论革命期间，当时 Philip Candelas（1951- ）、Gary T. Horowitz（1955- ）、Andy Strominger（1955- ）和Edward Witten（1951- ）基于 Calabi-Yau 流形构建了弦论真空模型。

Philip Candelas

Gary T. Horowitz

我和 Andy Strominger

Edward Witten获颁 ICBS 基础科学终身成就奖

当时，大量物理学家开始探讨“万有理论”，而 Calabi-Yau 流形正是其中的重要模型。

Strominger 和 Witten 曾请我构造一个欧拉示性数为 +6 或 -6 的 Calabi-Yau 流形。我于 1985 年成功构造出了这样的流形。有趣的是，到了 1988 年，人们已不再视Calabi-Yau流形为热门课题。但我从未放弃对这些优美流形的研究。

Brian Randolph Greene（1963- ）成了我的博士后研究员。令我大为惊喜的是，Greene 和 Plesser 在 Calabi-Yau 流形中发现了关于“镜像（Mirror）”的有力证据，从而实现了Cumrun Vafa （1960- ）等人的梦想。

Brian Randolph Greene

Cumrun Vafa

随后，Candelas 等人进行的详细计算改变了卡拉比-丘流形这一研究领域；特别是后来，Alexander Givental 以及连文豪（Bong Hor Lian，1962- ）、刘克峰（Kefeng Liu，1965- ）和我分别利用严格的数学方法证明了 Candelas 公式。

Alexander Givental、连文豪（Bong Hor Lian）、刘克峰

针对镜像对称（mirror symmetry），人们提出了两种重要的几何解释：一种由 Maxim Lwowitsch Kontsevich （1964- ）提出，另一种则由 Strominger、Eric Zaslow和我提出（SYZ构造）。

Maxim Lwowitsch Kontsevich

Eric Zaslow

自那时起，三十年过去了，期间发展出了许多优美的理论，其中大多数都引人入胜。

基于 SYZ 构造，涌现出了许多重要的几何对象；其中一些对象此前便已存在，并开始显现出重要性。

Richard Paul Winsley Thomas 当时是我的博士后，我们提出了一个猜想：Calabi-Yau 流形中的 Lagrangian 环（Lagrangian cycle）能够通过哈密顿形变转化为特殊Lagrangian 环（special Langrangian cycle），当且仅当它是稳定的。许多学者致力于研究这一问题，它至今仍是 Lagrangian环这一领域发展的指导性原则。

梁迺聪（Naichung Conan Leung）、Zaslow 和我研究了特殊Lagrangian子流形的镜像，并发现了全纯丛的一种 Monge-Ampère 型方程。

大约 15 年前，Adams、Tristan Collins 和我开始构建这些方程的结构。这些方程内涵丰富，在代数几何中有着许多有趣的推论。

20 世纪 90 年代初，Bershadsky、Sergio Cecotti（1956- ）、Hirosi Ooguri （1962- ）和 Vafa 发展了所谓的 Kodaira-Spencer 理论（即 BCOV 理论）。他们找到了一种非常深刻的方法，用于计算亏格为 g 的所有代数曲线的配分函数，并针对低亏格情形验证了这一计算结果。这项工作深深吸引了我。我坚信，Calabi-Yau流形将通过这些配分函数在数论中发挥重要作用。