冯·诺伊曼：当数学远离经验源头，就会有退化危险

数学是一门彻底脱离现实的纯粹逻辑游戏，还是植根于物理世界的经验产物？数学证明所追求的“绝对严谨性”，果真有着一套先验而永恒不变的标准吗？

在这篇发表于1947年的《数学家》（The Mathematician）中，约翰·冯·诺伊曼剖析了数学特有的“双重面貌”：一方面，数学的起源是经验性的，不断从自然科学中获得灵感；另一方面，数学又逐渐摆脱经验的束缚，按照自成体系的审美标准发展。

然而在文章末尾，这位横跨纯粹数学与应用科学的巨擘发出警示：当一门数学学科远离其经验源头、沉迷于审美化和繁复演变，陷入纯粹“为艺术而艺术”的抽象时，它便面临着走向退化的危险。他预言，这门学科“可能会沿着阻力最小的方向发展”，成为一条“远离源头的河流”，分裂成“一堆杂乱无章的细节与复杂事物”。

近80年过去，他的警示放在今天的AI背景下，产生了新的思想张力。

在任何领域，讨论智力工作的本质都是一件困难的事。即使某些领域不像数学这样，至今仍与人类共同智力活动的核心地带相隔甚远，情况也是如此。讨论任何一种智力活动的本质，本身就是困难的——至少比单纯从事那种智力活动更困难。理解飞机的运行机制，以及使它升空、向前飞行的力所遵循的理论，要比仅仅乘坐飞机、由它载着升空并运送到别处，甚至比驾驶飞机都更困难。一个人若未曾深入熟悉某个过程的操作与运用，未曾先以直觉和经验的方式将它融会贯通，便能理解这个过程，那是很少见的。

因此，要讨论任何领域中智力活动的本质，除非以对该领域熟悉自如、习以为常为前提，否则都很困难。对于数学而言，如果讨论要始终停留在非数学的层面上，这一限制就格外严重。这样的讨论必然会暴露出一些很大的缺陷：提出的论点永远无法得到恰当的例证支撑，整场讨论也难免带有某种总体上的肤浅。

我十分清楚，接下来要说的话也存在这些缺点，谨在此预先致歉。此外，我将表达的看法，恐怕有许多数学家并不完全赞同。诸位听到的，只是一个人的一些尚未充分系统化的印象和解释；至于这些看法究竟有几分切中要害，我能为诸位的判断提供的帮助也很有限。

不过，尽管作了这么多保留，我仍须承认，尝试向诸位谈一谈数学中智力活动的本质，是一项有趣而又富有挑战的任务。我只希望自己不至于做得太差。

在我看来，数学最根本的特征，在于它同自然科学之间那种极为特殊的关系；更一般地说，是它同所有不只停留于描述、而要在更高层次上解释经验的科学之间的关系。

大多数人，无论是不是数学家，都会同意：数学不是一门经验科学，或者至少，数学的实际工作方式在若干关键方面有别于经验科学的方法。然而，数学的发展又与自然科学紧密相连。它的一个主要分支——几何学——实际上最初就是一门以经验为基础的自然科学。现代数学中一些最好的灵感——我相信，正是那些最好的灵感——显然来自自然科学。数学方法渗透并主导着自然科学的各个“理论”部门。

对于现代经验科学来说，能否运用数学方法，或物理学中近乎数学的方法，越来越成为衡量其成就的一项主要标准。事实上，在整个自然科学中，一连串环环相扣的“借形演变”（pseudomorphosis）正变得越来越明显：它们无不朝着数学化的方向发展，而且几乎被等同于科学进步本身。化学和物理学日益渗入生物学，实验物理学和理论物理学日益渗入化学，而高度数学化的理论物理学形式，又日益渗入物理学。（编者注：pseudomorphosis 原为矿物学术语，指矿物保留原有外形而内部成分被另一种物质取代，此处喻指各门科学保留外在身份，其理论与方法却不断被更数学化的学科渗透和重塑。）

数学的本质具有一种十分特殊的双重性。我们必须认识这种双重性，接受它，并把它融入自己对数学的思考。这双重面貌就是数学的面貌；我不相信，有可能在不牺牲其本质的前提下，给出一种简化的、单一的理解。

因此，我不会试图向诸位提供一种单一的说法。我将尽我所能，描述数学这个具有多重面貌的现象。

不可否认，数学中一些最好的灵感，来自自然科学；即使在那些纯粹得不能再纯粹的数学领域，情况也是如此。这里不妨谈谈两个最重大的例子。

第一个例子，理所当然，是几何学。几何学构成了古代数学的主要部分。直到今天，它及其若干分支，仍是现代数学的主要组成部分之一。毫无疑问，几何学在古代起源于经验，起初是一门与今天的理论物理学颇为相似的学科。即使撇开其他所有证据，单是“几何学”这个名称本身，就已经表明了这一点。

欧几里得用公设来处理几何学，标志着它在摆脱经验的道路上迈出了一大步；但若要说这就是决定性的、最后的一步，由此便实现了与经验的彻底分离，就绝非那么容易论证。在这方面，欧几里得的公理化方法在某些细节上不符合现代对绝对公理严谨性的要求，倒还是次要的。更为重要的是，另一些无疑属于经验科学的学科，例如力学和热力学，通常也多少采用公设式的论述；在某些作者的著作中，这种论述与欧几里得的方法几乎无法区分。

我们这个时代的理论物理学经典——牛顿的《原理》，无论就行文形式而言，还是就某些最关键部分的实质而言，都与欧几里得十分相似。当然，在所有这些例子中，公设式的表述背后，都有物理洞见作为公设的依据，也有实验检验作为定理的支撑。但我们完全可以主张，对欧几里得也能够作出类似的解释。尤其是从古人的视角来看，当时的几何学还没有获得如今这种历经两千年积淀的稳固性和权威性——现代的理论物理学大厦显然还不具备这样的权威。

此外，虽然自欧几里得以来，几何学逐渐摆脱了经验，但这种摆脱从未彻底完成，即使在现代也是如此。围绕非欧几何的讨论，就是一个很好的例证。它也体现了数学思维的双重性。

这场讨论的大部分是在高度抽象的层面上进行的，所处理的是一个纯逻辑问题：欧几里得的“第五公设”究竟能否从其他公设推出？后来，F. 克莱因给出了一个纯数学的例子，表明只要从形式上重新定义某些基本概念，就能使欧几里得平面的一部分成为非欧平面，这才终结了形式层面的争论。

然而，经验的推动自始至终都在起作用。在欧几里得的所有公设中，唯独第五公设受到质疑，主要原因显然在于：只有这一条公设涉及整个无限平面的概念，而这个概念不具备经验性质。尽管有种种数学和逻辑分析，但至少在某种重要的意义上，赞成还是反对欧几里得，最终可能仍须诉诸经验来裁决——这样的想法，无疑曾存在于那位最伟大的数学家高斯的心中。

在鲍耶、罗巴切夫斯基、黎曼和克莱因通过抽象方法，得到了今天被我们视为原初争论在形式上的解决之后，经验——更确切地说，物理学——却仍然拥有最后的发言权。广义相对论的发现，迫使我们在全新的背景下重新审视几何学与物理现实之间的关系，同时也使纯数学内部的侧重点发生了全新的变化。

最后，还要再补上一笔，才能使这幅充满反差的图景完整起来。上述最后一项发展发生的同一个时代，也见证了现代公理化和逻辑学派的数学家，将欧几里得的公理方法彻底抽象化、彻底剥离经验。而这两种看似冲突的态度，却完全能够共存于同一个数学家的头脑中；例如，希尔伯特就同时对公理几何学和广义相对论作出了重要贡献。

第二个例子是微积分——更确切地说，是由微积分发展出来的整个分析学。微积分是现代数学的第一项成就，无论怎样估计其重要性，都很难说是过分。我认为，没有什么比微积分更明确地标志着现代数学的开端；而作为其逻辑发展的数学分析体系，至今仍是精确思维在技术上取得的最大进步。

微积分的起源显然是经验性的。开普勒最初尝试积分时，采用的是“酒桶测量”这一表述，也就是计算具有曲面的物体的体积。这属于几何学，但它是欧几里得之后的几何学，而且在当时还是一种非公理化的、经验性的几何学。开普勒对此十分清楚。

微积分的主要探索和主要发现，即牛顿和莱布尼茨的工作，都有着明确的物理起源。牛顿发明“流数”演算，主要是为了满足力学的需要；事实上，微积分和力学这两门学科，差不多是由他同时发展起来的。微积分最初的表述，甚至在数学上都不严谨。在牛顿之后的一百五十多年里，人们所能使用的，始终只有一种不精确的、半物理式的表述！然而，分析学中一些最重要的进展，恰恰就是在这一时期、在这种不精确且数学上并不充分的基础上取得的！

这一时期一些最杰出的数学头脑，例如欧拉，显然不够严谨；但另一些人，例如高斯或雅可比，总体上却是严谨的。这段发展过程极其混乱而含混，它与经验之间的关系，当然不符合今天的我们——或欧几里得——关于抽象和严谨的观念。然而，没有哪个数学家愿意因此把它排除在数学之外：那个时代产生的数学，无论放在哪个时代，都是第一流的！

即使在柯西基本重新确立了严谨性的地位之后，黎曼又以一种十分特别的方式，重新采用了半物理式的方法。黎曼本人的学术个性，就是说明数学双重本质的一个极有启发性的例子；他与魏尔斯特拉斯之间的争论也是如此。不过，如果讨论具体细节，就会使我过多地陷入专业问题。

自魏尔斯特拉斯以来，分析学似乎已经变得完全抽象、严谨，而且不再依赖经验。但即使这一判断，也不能毫无保留地成立。在过去两代人的时间里发生的数学与逻辑“基础”之争，已经打破了人们在这方面的许多幻想。

这就引出了有助于判断数学性质的第三个例子。不过，这个例子涉及的，是数学与哲学或认识论的关系，而非数学与自然科学的关系。它十分鲜明地说明，连“绝对”的数学严谨性这个概念本身，也并非一成不变。严谨性概念的可变性表明，在数学的构成中，除了数学抽象之外，必定还有其他成分。

在分析“基础”之争时，我始终无法确信，这一额外成分必定具有经验性质。支持这种解释的理由相当有力，至少在讨论的某些阶段是如此；但我不认为它们具有无可辩驳的说服力。不过，有两点是明确的。

第一，某种非数学的东西，某种以某种方式与经验科学、与哲学，或与两者都有关联的东西，确实是数学不可缺少的组成部分。若要坚持说它不具有经验性质，就只能假定哲学——更具体地说，认识论——可以独立于经验而存在。（而这一假定本身，也只是必要条件，并非充分条件。）第二，不管怎样解释“基础”之争才最恰当，我们前面谈到的几何学和微积分等例子，都有力地支持了数学起源于经验的看法。

如前所述，在分析数学严谨性概念的可变性时，我希望把重点放在“基础”之争上。不过，我想先简略讨论这个问题的一个次要方面。它同样可以加强我的论点，但我仍认为它是次要的，因为它大概不如对“基础”之争的分析那样有说服力。我指的是数学“风格”的变化。

众所周知，数学证明的写作风格曾发生过相当大的起伏。与其说是某种趋势，不如说是起伏，因为在某些方面，今天的写法与十八或十九世纪某些作者的写法之间，差别甚至大于今天与欧几里得之间的差别。另一方面，在另一些方面，又存在着显著的恒定性。在那些存在差异的领域，差异主要在于表述方式，不必引入任何新思想就可以消除。

然而，在许多情况下，这些差异又大得使人不禁怀疑：以如此不同的方式“陈述论证”的作者之间，难道仅仅存在风格、趣味和教育背景的差别吗？对于何谓数学严谨性，他们真的可能持有相同的观念吗？最后，在一些极端情形下，例如前面提到的十八世纪晚期分析学中的大量工作里，这种差异是实质性的。即使能够弥补，也只能借助新的、深刻的理论，而这些理论的建立，有的花了长达一百年。

一些以在我们看来不够严谨的方式工作的数学家，或当时批评他们的人，十分清楚这种严谨性的欠缺。说得更客观些：与他们实际所做的相比，他们自己对于数学应当如何进行的期望，倒更接近我们今天的看法。但另一些人——例如那个时代最伟大的技巧大师欧拉——似乎完全真诚地按照自己的标准行事，并且对此相当满意。

不过，我不想再深究这个问题，而要转向一个完全明确的例子，也就是“数学基础”之争。十九世纪末、二十世纪初，抽象数学的一个新分支——G. 康托尔的集合论——遇到了困难。某些推理导出了矛盾；虽然这些推理不属于集合论中核心而“有用”的部分，而且总能依据某些形式标准轻易识别出来，但为什么应当认为它们不像理论中那些“成功”的部分那样属于集合论，却并不清楚。

除了事后知道它们确实会导致灾难之外，人们并不清楚，究竟有什么事先的理由、什么关于整个局面的一贯哲学立场，能够让人把这些推理，与那些希望保留下来的集合论内容区分开来。

主要由罗素和外尔开展、并由布劳威尔最终完成的深入考察表明，不仅集合论，而且现代数学的大部分领域，对“普遍有效性”和“存在”这两个概念的使用方式，在哲学上都存在值得质疑之处。布劳威尔建立了一种摆脱了这些不良特征的数学体系，即“直觉主义”。在这一体系中，集合论的困难和矛盾不会出现。

然而，这场“清洗”也波及了现代数学中足足一半的内容，其中包括一些最重要、此前从未受到怀疑的部分，尤其是在分析学中。这些内容要么变得不再成立，要么必须借助非常复杂的辅助论证才能获得正当性。而在后一种情况下，结果的普遍性和推导的优美性，通常都会有明显的损失。尽管如此，布劳威尔和外尔仍认为，有必要按照这些思想，修订数学严谨性的概念。

这些事件的意义，无论怎样估计都很难说是过分。在二十世纪二十年代，两位第一流的数学家——对于数学是什么、数学有何用处、数学究竟在做什么，他们的理解之深刻和全面，不亚于任何人——竟然提出，应当改变数学严谨性的概念，改变判定什么才算精确证明的标准！此后的发展，同样值得注意。

1. 只有极少数数学家愿意在自己的日常工作中接受这些新的、苛刻的标准。不过，很多人承认，乍看之下，外尔和布劳威尔是有道理的；但他们自己仍继续越界，也就是照旧用那种“轻松”的方式做数学。他们大概希望，在未来某个时候，会有别人找到回应直觉主义批评的方法，从而事后为他们的做法提供正当性。

2. 希尔伯特提出了一个巧妙的想法，试图为“经典”数学，也就是直觉主义出现之前的数学，提供正当性：即使在直觉主义体系内部，也可以严格说明经典数学如何运作。换句话说，虽然无法为经典体系的运作提供正当性，却可以描述它如何运作。因此，也许能够用直觉主义的方法证明，经典数学的方法绝不会导致矛盾，即不会彼此冲突。

显然，这样的证明非常困难，但已经有一些线索，指明了可以怎样着手尝试。假如这个方案能够成功，就会产生一个极其非凡的结果：以与经典数学相对立的直觉主义体系本身为基础，为经典数学提供正当性！至少，在大多数数学家愿意接受的一种数学哲学体系中，这种解释是成立的。

3. 在人们为实现这一纲领努力了大约十年之后，哥德尔得到了一个极其非凡的结果。若不附加若干条件和限定，就无法绝对精确地表述这个结果，而那些细节太过专业，不适合在这里展开。不过，它的基本含义是：如果一个数学体系不会导致矛盾，那么就无法使用该体系自身的方法来证明这一点。

哥德尔的证明满足了数学严谨性的最严格标准，也就是直觉主义的标准。它对希尔伯特纲领的影响，仍有一些争议，原因同样过于专业，不适合在这里讨论。我个人的看法，也是许多人共同的看法，是哥德尔已经表明，希尔伯特纲领基本上没有希望了。

4. 按照希尔伯特，或布劳威尔与外尔所要求的意义，为经典数学提供正当性的主要希望已经破灭，于是，大多数数学家决定，无论如何还是继续使用这个体系。毕竟，经典数学正在不断产生既优美又有用的成果。即使人们再也无法对它的可靠性抱有绝对的确信，它的基础至少也与电子的存在一样稳固。因此，如果一个人愿意接受科学，也就不妨接受经典数学体系。

事实证明，这种观点甚至也为直觉主义体系最初的一些倡导者所接受。目前，“基础”之争当然尚未结束，但看来极不可能有超过一小部分的数学家放弃经典体系。

我之所以如此详细地讲述这场争论，是因为我认为，它最能提醒我们，不要过于理所当然地相信数学的严谨性不可动摇。这一切就发生在我们自己的有生之年。我自己很清楚，在这段风波中，我关于绝对数学真理的看法改变得是多么轻易，轻易得令人羞愧；而且竟然接连改变了三次！

我希望，以上三个例子已足以说明我主张的一半：许多最好的数学灵感来自经验，而一种与人类一切经验相分离、绝对而不变的数学严谨性概念，是很难令人相信其存在的。

在这个问题上，我想采取一种尽量朴素的态度。无论一个人在哲学或认识论上持有什么偏好，数学共同体与自身学科打交道的实际经验，都很难支持这样一种假设：存在一个先验的数学严谨性概念。不过，我的主张还有另一半，现在我要转向这一部分。

任何一位数学家都很难相信，数学是一门纯粹的经验科学，或所有数学思想都起源于经验性的学科。先来讨论后一种说法。现代数学的若干重要部分，其经验起源已经无从追溯；即使能够追溯，也已经遥远得足以让人看出，这门学科在脱离经验根源之后，经历了彻底的蜕变。

代数符号是为数学内部的需要而发明的，不过，我们有理由说，它曾与经验有着紧密的联系。然而，现代“抽象”代数却越来越朝着与经验联系更少的方向发展。拓扑学也是如此。在所有这些领域，数学家用来衡量成功、判断自己的努力是否值得的主观标准，都在很大程度上自成体系，具有审美性质，并且不依赖，或几乎不依赖与经验的联系。（后面我还会进一步谈到这一点。）

在集合论中，这一点更加明显。无限集合的“势”和“序”，也许是有限数概念的推广；但在其无限的形式下，它们，尤其是“势”，与我们这个世界几乎没有什么关系。假如不是为了避开专业细节，我可以用许多集合论中的例子来说明这一点，例如“选择公理”问题、无限集合的“势”的“可比性”问题、“连续统问题”等等。实函数论和实点集论中的大量内容，也适用同样的评论。

微分几何和群论则提供了两个奇特的例子：它们在构想之初，无疑都是抽象的、非应用性的学科，而人们也几乎始终以这种精神来研究它们。然而，其中一门学科在十年之后，另一门在一百年之后，却被证明在物理学中非常有用。直到今天，人们研究它们时，也大多仍秉持上述抽象而非应用的精神。

关于这些不同情形，以及它们之间的各种组合，还可以举出更多例子；但我宁愿转而讨论前面提出的第一个问题：数学是一门经验科学吗？更准确地说，人们实际从事数学的方式，与从事经验科学的方式相同吗？或者说得更一般些：数学家通常以怎样的方式与自己的学科打交道？他们依据什么标准判断成功，判断什么值得追求？哪些影响、哪些考虑，支配并引导着他们的努力？

那么，让我们看看，数学家通常的工作方式，究竟在哪些方面不同于自然科学的工作方式。自然科学与数学之间的差异，显然随着我们从理论学科转向实验学科，再从实验学科转向描述性学科，而不断增大。因此，不妨把数学与离它最近的那一类学科，也就是理论学科，作一番比较。而且，就从中挑选最接近数学的那一门。

请诸位不要过于苛责我未能克制数学家的傲气，因为我还要补充一句：它之所以最接近数学，是因为它在所有理论科学中发展得最为成熟。我指的是理论物理学。

数学与理论物理学，实际上有许多共同之处。如我前面所说，欧几里得的几何体系，是经典力学公理化表述的范本；类似的处理方式，也主导着唯象热力学，以及麦克斯韦电动力学体系和狭义相对论的某些部分。此外，如今大多数理论物理学家都接受这样一种态度：理论物理学并不解释现象，而只是对现象加以分类，并揭示它们之间的联系。

这意味着，衡量一套理论是否成功，标准仅仅在于：它能否通过一个简单、优美的分类与关联框架，涵盖大量现象，而这些现象若没有这个框架，就会显得复杂而彼此异质；以及这个框架能否进一步涵盖在建立时尚未考虑、甚至尚未发现的现象。（后两点所表达的，当然就是理论的统一能力与预测能力。）

如此表述的标准，显然在很大程度上具有审美性质。正因如此，它与数学中衡量成功的标准非常接近；诸位将会看到，数学的这些标准几乎完全是审美性的。

现在，我们所比较的，是数学与离它最近的一门经验科学，也就是理论物理学。我希望自己已经说明，两者确实有许多共同之处。不过，它们在实际工作方式上的差异，仍然是巨大而根本的。

理论物理学的目标，主要由“外部”给定，在大多数情况下，来自实验物理学的需要。这些目标几乎总是源于解决某个困难的需要；预测与统一方面的成就，通常是在此后才出现的。如果容许我们作一个比喻，那么推进——也就是预测和统一——是在追击中实现的，而追击之前，必然先有一场针对既存困难的战斗；这种困难通常是现有体系内部的某种明显矛盾。

理论物理学家的一部分工作，就是寻找可能带来“突破”机会的这类障碍。如前所述，这些困难通常来自实验，但有时也来自已被接受的理论体系各部分之间的矛盾。这方面的例子当然很多。

迈克耳孙的实验引出了狭义相对论，某些电离电势和光谱结构方面的困难引出了量子力学，这些都属于第一种情况；狭义相对论与牛顿引力理论之间的冲突引出了广义相对论，则属于第二种，也就是较为少见的情况。

无论如何，理论物理学的问题是客观给定的。虽然如我先前所说，决定如何进一步发展已有成果的标准，主要是审美性的，但问题本身，以及我在上文称为最初“突破”的部分，却是坚实的客观事实。

相应地，理论物理学的研究主题，几乎在任何时候都高度集中。几乎在任何时候，整个理论物理学界的大部分努力，都集中在不超过一两个边界十分明确的领域。例如，二十世纪二十年代和三十年代初的量子理论，以及三十年代中期以来的基本粒子与原子核结构研究，就是如此。

数学的情形则完全不同。数学分为大量分支，它们在性质、风格、目标和影响上，都有很大差别。它所呈现的局面，恰恰与理论物理学的高度集中相反。今天，一位优秀的理论物理学家，或许仍能对本学科一半以上的内容具有足以开展工作的了解；而我怀疑，当今在世的数学家中，是否有谁能对超过四分之一的数学领域有较深入的了解。

当数学的一个分支已经发展到相当程度，并被某个困难严重阻滞时，也可能出现“客观”给定的“重要”问题。但即使如此，数学家基本上仍可自由决定，要不要研究它，或者转向别的事情；而理论物理学中的一个“重要”问题，通常是一种“必须”解决的冲突或矛盾。

数学家有各种各样的领域可供选择，而且在这些领域中做什么，也享有相当大的自由。说到关键之处，我认为可以这样说：他们选择研究方向的标准，以及衡量成功的标准，主要都是审美性的。

我知道，这一断言存在争议；如果不分析大量具体而专业的例子，就不可能“证明”它，甚至无法为它提供多少实质性的论据。而这又会要求我们开展高度专业化的讨论，此时此地并不适宜。这里只须说，这种审美性质，比我前面谈到的理论物理学中的情形更加突出。

人们期待一个数学定理或一种数学理论，不仅能以简单而优美的方式，描述并归类大量乍看之下互不相干的特殊情形，还期待它在“建筑式”的结构布局上具有“优美性”：问题容易表述，却极难把握，无论从哪条途径接近都困难重重；然后，某个出人意料的转折，又使整个处理过程或其中一部分变得容易，如此等等。

此外，如果推导冗长或复杂，就应当有某个简单的一般原理贯穿其中，能够“解释”这些复杂之处与迂回曲折，把表面上的任意性归结为少数几个简单的指导性动机，等等。

这些标准，显然也是任何创造性艺术的标准。其背后有某种源于经验、源于现实世界的基本动机，尽管这一背景往往已十分遥远；这种动机又逐渐被审美化的发展层层覆盖，并被一路引向无数迷宫般的变体。所有这一切，与其说接近经验科学的氛围，不如说更接近纯粹艺术的氛围。

诸位会注意到，我甚至没有提到把数学与实验科学或描述性科学作比较。在这些情况下，方法和整体氛围的差别，已经太明显了。

我认为，下面的说法相当接近事实——事实本身过于复杂，我们只能给出近似的说法：数学思想起源于经验，尽管其谱系有时漫长而隐晦。但这些思想一旦诞生，这门学科便开始过上自己独特的生活。与其把它比作别的事物，尤其是经验科学，不如把它比作一种几乎完全受审美动机支配的创造性活动。

不过，还有一点，我认为必须强调。当一门数学学科远离其经验源头时，或者更进一步，当它已经是第二代、第三代的衍生学科，只是间接地受到那些源于“现实”的思想的启发时，它便会面临极其严重的危险。它会越来越走向纯粹的审美化，越来越变成纯粹的“为艺术而艺术”。

如果这个领域周围有一些相关学科，仍与经验保持着较为紧密的联系；或者如果它受到某些具有极其成熟鉴赏力的人物的影响，那么这未必是坏事。但有一种严重的危险：这门学科可能会沿着阻力最小的方向发展；远离源头的河流，可能会分裂成无数无关紧要的支流；整门学科可能会变成一堆杂乱无章的细节与复杂事物。

换句话说，当一门数学学科远离其经验源头，或经历了过多的“抽象”近亲繁殖之后，它就有退化的危险。学科初创时，其风格通常是古典的；一旦出现转向巴洛克风格的迹象，危险的信号就亮起了。要举出例子，追溯某些学科如何一步步走向巴洛克，乃至极其繁复的巴洛克风格，并不困难；但这同样会过于专业。

无论如何，每当发展到了这个阶段，在我看来，唯一的补救办法似乎就是回到源头，从中恢复活力：重新注入一些或多或少直接来自经验的思想。我确信，这曾经是保持数学清新与活力的必要条件，而在未来也同样如此。

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