葛墨林｜追忆杨振宁先生的祖国情怀——数学物理结合再试探

返朴2026年11月07日约 15 分钟

本文依据作者与杨振宁先生近半个世纪的学术交往，回顾杨振宁先生“由物理驱动研究、选择数学工具、推动学科交叉”的学术理念及其对祖国科技事业的一系列贡献，包括20世纪70年代回国讲学、在国内引发Yang-Mills规范场研究，通过中美教育交流委员会（Committee on Educational Exchange with China，CEEC）等资助大批国内学者赴美进修，参与“长江学者”等人才奖励体系建设，以及协助筹建南开大学理论物理研究室等史实。在此基础上，作者沿着杨振宁先生的学术道路，就三个开放问题展开思考：其一，将Yangian代数纳入Yang-Mills规范场框架，尝试构造纠缠态之间的“规范场”，并讨论向生命系统推广的可能性；其二，在曲线坐标系（如Schwarzschild度规、旋转坐标系）下按Weyl规则进行量子化，考察由此产生的能级修正与有效势；其三，探讨对哈密顿量进行含时幺正变换实现对角化，探讨含时能隙调控的可行性。发扬杨振宁先生数学与物理的治学思想，由物理推动去做研究，选择或创造适合的数学工具;并要注意与交叉学科的融合和大胆思考。
撰文 | 葛墨林（南开大学陈省身数学所）

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引言
作者自1977年与杨振宁先生当面结识，至今近五十年，其间长期受其教诲，并在其指导下参与南开大学理论物理研究室的建设；同时，作者长期从事Yang-Mills场和可积系统与Yang-Baxter方程研究 ^[1] ，并著有《我知道的杨振宁》一书 ^[3] ，记录与杨振宁先生近半个世纪的交往。本文将分为两部分：第一部分结合杨振宁研究所成立，回顾杨振宁先生对祖国科技事业的贡献；第二部分围绕规范场等相关内容，讨论沿杨振宁先生所开辟的学术道路，我们能否继续走下去，探讨一些物理问题，开阔思路。
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杨振宁先生的学术理念与对祖国科技事业的贡献 2.1 杨振宁先生的学术思想 本文中提到的杨振宁先生的学术思想特指他一贯的物理与数学结合的治学理念，就我多年的体会，大致概括为三点。第一，开展物理理论研究，要由物理本身来驱动。物理问题驱动研究，就不会走偏，不能想当然。第二，物理问题确定之后，要寻找合适的数学工具；如果现有工具不够，就要自己创造。第三，回到清华之后，杨振宁先生多次强调，物理的发展要向交叉学科拓展。杨振宁先生提出：“数学与物理同根，但发展各自脉络。”陈省身先生则评价说：“振宁说的是我的第一周期。”分久必合、合久必分，这一趋势正确无疑（见图1）。

2.2 物理与数学深度结合的内在逻辑 为什么物理与数学结合得如此紧密？与其他学科的产生不同，物理学是可以“量化”的学科。一门学科能否先进，很重要的一点在于它能否量化。量化的好处是可以做出预言，而不是在现象发生之后分析得头头是道。典型的对比是物理学与生物学：生物学在很长时期内属于形态学，例如观察跳蚤的毛发长在哪里、有几根毛；直到基因理论出现，生物学达到量化的程度，才迅速得到发展。研究的路径一般是：先开展观测，归纳现象，形成理论；研究过程中运用数学工具，有现成的数学就拿来使用，没有现成的，就创造一个。 δ 函数就是狄拉克创造出来的 ^[4] 。电荷密度带有一定电量，除以体积即为电荷密度。对于点电荷，体积趋于零而电荷为常数，做除法时相应位置的数值趋于无穷大，从而引出 δ 函数。后来数学家将其发展为广义函数理论，成为一个很大的分支。这个例子充分说明，物理问题可以驱动数学工具的创造。 2.3 杨先生对祖国科技的贡献 杨振宁先生是最早回国讲学的著名学者之一，与谷超豪先生开展合作。20世纪70年代，杨振宁先生多次回国作规范场相关学术报告，在中国引发Yang-Mills研究 ^[5] 。那个年代北京学界主要研究层子模型，杨振宁先生回国讲学重点讲授的却是规范场；但当时学术氛围很好，并不存在排斥的思想。作者与段一士先生当时身在兰州，亦曾收到相关研讨会的参会邀请。 1976年，杨振宁先生参加伦敦轻子-光子会议，觉得’t Hooft报告内容很有价值，将资料寄回国内。作者白天从事国防攻关工作，晚上即研读Yang-Mills规范场，完全受杨振宁先生启发。后来部分成果寄给了谷超豪先生，谷超豪先生转告杨振宁先生。杨振宁先生特意在兰州停留三天，听取段一士先生与作者的汇报，评价我们的工作“妙极了”。自1977年与杨振宁先生相识之后，作者坚持研究Yang-Mills规范场，至今近五十年。 1979年，杨振宁先生与时任美国物理学会负责人Marshak商议，由中国物理学会协商选调一批中国物理学者赴美进修；1980年，包括冼鼎昌、赵保恒、闫沐霖、本人四位学者赴纽约州立大学石溪分校杨振宁先生所在研究所工作。1983年，杨振宁先生争取到一大笔捐赠，设立中美教育交流委员会（Committee on Educational Exchange with China，CEEC），长期资助国内学者赴美。据作者统计，CEEC前后资助了83位国内学者赴美，覆盖数理化生、核工业、航天、交通、医学等领域，其中包括曾任清华大学校长的顾秉林、曾任复旦大学校长的杨福家、曾任中国科学技术大学校长的谷超豪、曾任北京大学校长的陈佳洱、中国科学院理论物理研究所苏肇冰与杨国桢，北京大学甘子钊等。杨振宁先生帮助国内学者无帮无派，全心为了中国的发展；即便学术观点不同，也不夹杂个人恩怨。此外，杨振宁先生还推动国内人才奖励体系建设，帮助建立“长江学者”奖励计划并担任最后裁决，何梁何利奖亦由杨振宁先生最后裁决，求是杰出科学家奖则由陈省身、杨振宁、周光召三位先生共同设立。在香港捐助成立“青少年发明奖”。“长江学者”项目设立之后，极大改善了青年教师的待遇。杨振宁先生还担任美国华人协会相关工作，为中美学术交流做了大量工作。 2.4 南开理论物理研究室的创建与人才培养 2.4.1 南开理论物理研究室的建立 1986年至1995年，陈省身先生成立南开数学研究所，并邀请杨振宁先生回来筹建“理论物理研究室”。在杨振宁先生的帮助下，作者调到南开大学陈省身数学研究所，参与理论物理研究室的创建，当时确定的研究方向是非线性可积系统与量子群。 2.4.2 学生培养与学者交流 当时国际上分为两大研究学派：一是列宁格勒学派，代表人物法捷耶夫，二是京都学派。杨振宁先生建议我们不要跟着京都学派走，要多借鉴法捷耶夫学派，因为他们的研究“比较物理”。1987年，杨振宁先生邀请法捷耶夫到南开作报告，法捷耶夫又派两名弟子在南开工作一年。此后，按照杨振宁先生“把世界上做得最好的学者请来，和学生一起讨论、一起发展”的指示，南开理论物理研究室陆续邀请了一大批国际顶尖学者讲学，包括Atiyah, Faddeev, Dyson,Wadati, Jimbo,Wess, Haldane, Lieb, Choque, Birman等，与研究生深入交流，逐渐形成浓厚的学术氛围。此外，杨振宁先生促成邵逸夫为理论室捐赠了一座三层小楼（第二次捐款）。在杨振宁先生指导下，南开理论物理研究室培养出一批学生。这些学生绝大多数并非出身名校，爱国敬业，肯吃苦实干；家庭条件普遍不好，为人老实厚道；英语基础偏弱。如今他们中已有3人获国家自然科学二等奖，1人获中国物理学会周培源奖，1人获Ehrenfest奖，孙昌璞当选中国科学院院士。杨振宁先生还选定孙昌璞作为与作者在国内联合招收的博士生。 2.5 杨振宁先生的家国情怀与治学为人 杨振宁先生待人处事及其对祖国的深厚情怀，源于他成长于困苦交加的旧中国，并非我们这一代人所能完全理解。他曾对作者说，离开中国时国家的贫穷与混乱难以想象，回国后深感祖国发生剧变。杨振宁先生为中国科技事业敞开胸怀，就事论事，不掺杂个人恩怨。杨振宁先生治学讲究“宁拙毋巧，宁朴毋华”，起步时做得笨拙一点没有关系，熟练之后再追求巧；他常强调“文章千古事，得失寸心知”，写文章要经得起时间检验；他还讲“人不可有傲气，但不可无傲骨”“中外平等”。这些格言正是杨振宁先生一生学术与为人的写照。
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沿着杨振宁学术道路的若干思考 作者年事已高，已脱离科研一线，没有现实的研究负担，只是回想跟随杨振宁先生做研究时的一些思维脉络，谈谈对推广Yang-Mills规范场理论的一些思考，思考依序讨论规范场概念的推广、曲线坐标系下的量子化以及含时能隙的调控可能性。受水平所限，提出以供讨论。 3.1 推广的Yang-Mills规范场的理论 把Yangian纳入规范场

其中， A ^a 是规范势，传递互作用。 a ， b ， c 在杨—密尔斯规范理论中取值1 2 3；之后推导过程中，希腊字母表示整数。相同指标默认求和。 I _a , I _b , I _c 为李代数生成元；

是结构常数；满足雅可比恒等式。规范场是物理中描述传递互作用的巧妙理论。在空间中从一点到相邻点，没有互作用时就是微商 ∂ _μ 。而同时传递互作用时，将 ∂ _μ 变为 ∂ _μ + λA _μ ( x )，而如描述这种移动同时传递互作用时，

。 I _a 表示封闭集合，描述“背景”性质。对于电磁场 I _a 为1。通常 I _a 集合用李代数生成元。如“背景”不同，可以引入封闭集合。例如如果想描述生命系统中的信息传递，可以设想这种传递改变了某个分立集合中的元素，当然要根据实验定义好相应于 I _a 的有限元素，从而用规范场描述。以下我们将公式(2)推广到包含Yangian代数的规范场。推广的Yang-Mills规范势，生成元包括Yangian张量代数(Drinfeld)，与可积链模型有密切关系。Drinfeld描述非线性可积系统时引入了Yangian代数（及量子群）。他特别指明是包含杨振宁先生的贡献。

其中 C _λμν 代表李代数结构常数。

重复指标表示求和。例如，对 Y ( SU (2))代数

李代数 SU (2)关系

另有独立Serre关系

Yangian是比较简单的张量代数。它描述两个空间的生成元。可以证明最简单的物理实现就是

其中 S ( i ) 为第 i 格点的自旋（或轨道）算子，它引发Bell基之间的转换。可以证明以下物理模型具有Yangian对称性： (1) 氢原子的Runge-Lenz向量与角动量叉乘，即为最简单的Yangian实现。 (2) Haldane-Shastry Model ^[6-7]

(3) 一维Hubbard Mod el ^[8]

T ：巡游项（从一个格点到任意格点）可证明

即一维Hubbard模型有Yangian对称性。 引入包含Yangian的Yang-Mills规范场 包含Yangian：（双变量）

其中 Y _a 为Yangian生成元。期望： Yangian是纠缠态的规范场。 Yangian算子是Bell态的跃迁算子，规范势

是联系坐标 x 与 y 的规范势。

属于多复变函数，仿照杨振宁先生处理规范场做法，可利用AI处理经典规范场，进一步再量子化。 3.2 曲线坐标系量子化的思考 直角坐标（ m =1）：

曲线坐标{ x }→{ q }，

物理动机：物理测量中许多环境空间并不是平直的，常常采用曲线坐标系描述，例如旋转，特别引力环境（黑洞等）。除了通常作用势外，可能还有由于坐标系是曲线坐标而引发的微弱修正。现在量子精密测量已有巨大进展，因此在量子化时曲线坐标引发的修正值得考虑。设在曲线坐标中，量子化仍满足该坐标系中的Heisenberg对易关系

Weyl，Sato等证明，相应动量算子必须具有以下形式：

上式在球、柱坐标系下，第二项为0。其中度规指三维线元

在{ g ⁱ }坐标系中的度规。曲线坐标系（等效于引力）量子化曾有不少讨论，主要是路径积分量子化。即在经典轨道之外，考虑其它轨道的贡献。但不很成功。困难在于引力场的张量性质。回忆电动力学中的光子极化，其时间分量与纵分量抵消，于是光子横极化。Yang-Mills规范场则不能抵消。Faddeev-Popov引入鬼场，消除多余极化 ^[9] 。但张量场需要引入无穷多鬼场。我们处理公式(17)，实际是承认经典解的度规 g _ij ( q )，采用(17)，从而在经典轨道之外考虑量子修正。 例1：Schwarzschild度规 ^[10]

满足Einstein方程的经典解， R =0

由此得到

在 r ≫ r _g 时，丢掉1/ r ³ 的贡献，近似有

与量子力学中氢原子的径向方程对应：

于是有

有

它附加在其它引力势上， n 数很大时 E _g → － ∞。 例2：旋转坐标系

哈密顿量为

本征函数近似解：

旋转球坐标下，

Sato-Weyl很早的结果给出

所以

故当

=0时，两种

相同。但当（例如氢原子）原子核不在旋转轴上时，两者有差别。将坐标原点平移至旋转轴 b 的点上，度规会有修正，例如度规为

：

其中

利用转动后的

，计算出

，可以得到对氢原子能级的修正。形式太复杂，不再列出。式(23)由南开学生李想给出。 例3：Pendry隐形介质量子效应 熟知对固定频率隐形的理论是基于三维度规，其介电常数本身就由三维线元的度规决定：

为符号简化，球坐标，柱坐标均用 r 表示， f ′=

。两者度规均用‖ g _ij ‖表示。 f ( r )的选择满足对固定频率的无反射条件。将上述度规代入(16)、(17)可以探讨与几何测度相关体系的量子修正，希望可以预言尚未发现的微小能级修正。 3.3 能隙与代数 回忆 S -波超导Hamiltonian的对角化( SU (2)) ^[11] ：

通常考虑变换

使 H _p 对角化，即选取合适的 ξ _p 使对角化。则熟知

其中 Δ 为能隙。以上结果可推广到 SU (1,1)。如果系统演化依赖于时间 t ，引入含时参数的幺正变换，则应满足

若 U 不依赖于 t ，则

回到式(24)。由含时Schrödinger方程

以 SU (1,1)为例：设

并将 U ( t )作 SU (1,1)分解，

计算(29)右端得到

将(29)对角化要求方程组(31)中函数 x ( t )， y ( t )， z ( t )的解要使(28)正比于

，它前面系数会引发 Δ ( t )。但这方程太难解了。有启发性的是一个非物理解。如取初始条件 t =0时，令(31)三式分别为0， x (0)= z (0)=0, y (0)=1，则 x ( t )满足Riccati方程

期望：解不为0的微分方程组，进而得到Δ( t )。还要满足 U ( t )矩阵形式～

（准对角），将会导致Δ( t )项出现。如将 U ( t )操作与实际物理操作联系，则可能有随 t 变化可控的能隙！
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结语综上所述，可以提出三点值得思考的讨论。第一，能否在杨振宁先生理论的基础上引入Yangian，或改用更高维表示？这需要付出相应代价，引入规范势 M ( x , y ) 建立新的规范场，并且这个规范场要有明确的物理结果和实用意义。第二，在曲线坐标（如自转、公转）场景下做量子化，能否带来新的能谱能量修正项，从而使光的信息频率出现微小改变？这需要精密测量的检验。第三，学科交叉。以上讨论的内容已不限于单一狭窄的学科，眼界应当放宽。物理发展的规律本来就是长江后浪推前浪，并向交叉发展。杨振宁先生作为统计物理的开创者之一 ^[12] ，其学术道路与研究思路至今仍给我们以深刻的启发 ^[13-14] 。物理要注意与其他领域的交叉融合，也许新突破就在现在不注意的分支产生。希望大家独立思考，学习前人成果，吸纳不同想法，结合自身环境、兴趣与能力，闯出自己的道路；在前进过程中，遇到暂时的挫折或他人的质疑，不要轻易动摇。
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作者简介

葛墨林 ，中国科学院数理学部院士。南开大学陈省身数学所教授。曾任教育部科技委副主任，战略委员会委员，学风委员会委员，教育部奖励委员会委员，天津市科协副主席等。曾以高级科学家，杰出学者，访问教授，讲座教授等名义，应邀在许多国家及港、台地区从事研究与教学。长期从事理论物理教学、科研。曾获国家教委科技进步奖，国家自然科学奖，科学大会奖，军方科技奖，国家级教学奖，香港何梁何利科技进步奖，香港金球奖等奖项。除理论物理研究外，曾承担了科技部重大仪器专项，发展我国极微弱信号探测。
本文经授权转载自微信公众号“物理与工程 ”，选自《物理与工程》“杨振宁先生学术思想与物理教育传承纪念专题”。