专访代数几何专家Ravi Vakil：怎样用一本书学好代数几何?

PUP2026年11月12日约 17 分钟

代数几何何以令人望而生畏，却又如此引人入胜？Ravi Vakil 是斯坦福大学数学讲席教授、美国数学学会现任主席，也是当代代数几何领域的重要学者。他历经多年将一份讲义潜心打磨成的著作 The Rising Sea 于2025年由普林斯顿大学出版社出版，并荣获2026年美国出版商协会PROSE奖“数学与统计学”类别奖。

在本次访谈中，Vakil 回顾了讲义如何在与读者的持续交流中逐渐生长为一部著作，阐释“上升之海”所寄寓的循序渐进的学习理念，并探讨习题训练、几何直觉与抽象语言如何相互交织，共同深化数学理解。

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The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry

*本书原价449元，限时特价最高389元

受访者：

Ravi Vakil：斯坦福大学 Robert Grimmett 讲席教授，同时担任美国数学学会主席。他还著有 A Mathematical Mosaic: Patterns and Problem Solving。

采访人：

黄治中：中国科学院数学与系统科学研究院副研究员

普林斯顿大学出版社中国办公室（文中简称PUP China）

从讲义到成书

黄治中：Vakil 教授，在正式出版之前，您这本书就已经有几个不同的版本在网上流传。这些年来它是怎样变化的？您是什么时候意识到，这些笔记已经不只是一门课的讲义，而是要成为一本真正意义上的书？您又从早期版本的读者那里学到了什么？

Ravi Vakil：它在成书之前，就已经存在了很长时间。我觉得它是自己演化出来的。一开始只是一些很零碎的小笔记和课堂笔记，后来笔记越来越详细，内容慢慢汇聚到一起。之所以内容越来越连贯，是因为一直有人在读它、提意见，告诉我哪里复杂。代数几何是一门如此庞大而复杂的学科，我自己也在努力弄清楚该怎么理解它、把它讲给学习者。读者会跟它“较劲”：有些东西比我想象的更难，或者难得毫无必要；读者会抱怨：“哦，这样处理怎么样？这样不是更简单吗？还有这个问题怎么办？”

就这样，随着时间推移，读者们让它变得越来越好。代数几何给人的感觉是棱角分明，随着时间推移，这些棱角被慢慢磨掉，变得越来越光滑。有些东西会突然变得简单起来。然后我会意识到：“嗯，也许读者应该早得多就看到这个。”而这又需要把所有内容重新编排。所以这一切都是非常有机地生长出来的。

PUP China：您在个人主页上，把这本书而不是您已经发表的论文作为您对世界最重要的贡献，为什么它对您的意义这么重大？

Ravi Vakil：我觉得我把自己的灵魂放进了这本书里。我很享受理解某样东西的过程。那就像我们人类创造了一个了不起的结构，而我在一点点地理解它、简化它；又像我是一名建筑师，花了很多很多年建造一样东西，把每个部分放到它该在的位置上。

这个结构非常丰富：我会意识到，如果我想在几百页之后用恰到好处的方式做一件事，读者就必须打心底里知道某件事是对的。所以他们得更早看到它，而那又需要前面这里的这个例子，这个例子又需要别的东西。这是一条非常长的链条。我得把整个结构装在脑子里。对我来说，这其中有巨大的乐趣。

人是怎样推动数学发展的？很多人靠证明真正了不起的定理。有一些高中老师，我相信他们通过对一代代学生的影响，极大地推动了数学发展，而他们往往不为人知。对我来说，很大程度上是通过我的研究生，因为我觉得自己在教他们如何思考。还有就是这本书，我真心希望它能改变人们思考的方式。

代数几何被认为是一门非常难的学科，我希望这本书能让人们更容易入门，同时也能改变他们对这门学科的看法。我把它看作一门丰富、美丽、生动的学科，你应该思考它，并把它和数学的其他部分联系起来。所以，如果这本书能帮助改变人们对这门学科的看法，那对我意义非常重大。而且我认为，毫无疑问，它会是我这一生中唯一一件能够流传下去的实物。

代数几何是什么？

黄治中：对于一个从没接触过代数几何、但想学的人，您会怎样简要地描述这门学科是研究什么的？它研究的基本问题是什么？它又和数学的其他领域有什么联系？

Ravi Vakil：它吸引我的地方在于，这是一门神奇的学科，能做很多不同的事情。而且你看待它的视角完全取决于你是谁。它和很多不同的东西都有联系，每个人对它都有自己的理解。它和数论、拓扑、几何、代数以及许多别的领域都有联系。我喜欢它的一点是，数学的不同部分之间，会以一种突如其来的方式真正联系在一起。

高中时，我们学会把几何问题转化为代数问题来求解。到更深入的层次，你会发现两者之间有一本不断深化的“词典”：面对复杂的代数问题，脑中的几何图像可能让某件事突然变得清晰，再回到代数，问题也就简化了。数论中的想法，也可能暗示拓扑中的某种现象。代数几何正是在这些领域之间架起桥梁。

所以我觉得，正是这些跳跃，让它既令人愉悦，又非常难学：在开始之前，如果你对什么都有经验，确实会很有优势，可你不可能在开始之前就对什么都有经验。

黄治中：对。我觉得这门学科是从一些非常具体、或者说很直观的几何问题发展起来的，但正如您所说，它最终以许多令人惊讶的方式，和数学中非常多不同的领域联系在一起。

Ravi Vakil：每当这种情况发生，我都特别喜欢。恰恰是在这种时候，数学显示出它最美妙的状态。

本书为何与众不同？

黄治中：在书的第一页，您引用了 Grothendieck 的“上升的海”（The Rising Sea）这个比喻。能不能谈谈您为什么给这本书取这个名字？作为数学家，或者作为老师，这个比喻对您意味着什么？

Ravi Vakil：初学代数几何时，我觉得它像一台庞大、冰冷、复杂的机器，许多部件同时运转，让人难以掌握。虽然读过 Grothendieck 的著作，真正教会我如何思考的，却是朋友、同事和老师。后来我才意识到，这种逐步积累理解的方式，其实也来自 Grothendieck。

在他的设想里，你学会一样东西，不是靠粗暴、痛苦的搏斗，而是靠一个渐进、温和的过程。海里有一块礁石，海水缓缓上涨，礁石最终被淹没。读 Grothendieck 的原著——不是几十年后人们模仿他写出来的东西——有一点很特别：里面是一连串真正平凡的命题，每一条都非常小。编号 3.6.1.1 的命题只有两句话，内容就是：“哦，本质上，这个小事实显然成立。”然后另一个小事实成立，然后又是这个。过了一阵子，你会想：“他在干什么？什么都没发生啊。”然后突然之间，一个庞大的结构就在那里了。那感觉更像一片非常丰茂的森林，一片错综复杂的热带雨林，各种枝蔓朝四面八方生长。

这才是“上升的海”的真正含义。我得说明一下，这个比喻里的海是缓缓上升的海，而封面却非常狂暴。这算是一个小玩笑：学代数几何本该是温和的，由许多小事情组成；但它也确实非常难，是出了名地让人吃苦头。所以这是在和上升的海搏斗，是在风暴中搏斗。而且画面是红色的，与其说是一片海水，不如说是一片血海。

它同时是这两样东西。这是一片狂暴上升的海，但实际上，书里满是小习题。每一道题你都应该做得出来。你要消化的不是某一个庞大而艰深的定理，而是许多小东西：你得花时间在它们身上，反复琢磨、慢慢接受它们，然后随着时间推移，你就和它们和解了，于是你获得了智慧。

黄治中：在 The Rising Sea 问世之前，已经有很多优秀的代数几何书了。您认为，您的这本著作在哪些方面区别于以往这些书？您觉得它需要填补的是哪一块空白？

Ravi Vakil：我觉得代数几何非常丰富。有句名言说，数学中没有王者之路，代数几何中也没有王者之路。这本书也不是唯一的入门选择。但我特别想要的，是这样一样东西：用非常认真、下苦功的一年带你严谨地进入这个学科，让你可以去听讨论班。我坚信你必须真正理解，这就是习题处于核心地位的原因。你必须真正动手去做，而不只是读一读、点点头。

最重要的收获不在于技术深度，而在于领会几何学家的思考方式。数论学家应能看出几何为何出现，复几何学家应能理解代数的作用，代数学家也应能体会复几何直觉的力量。这种根本性的洞见，对不同领域的读者都有价值。

从习题开始

黄治中：您刚才强调了做习题的重要性，您能不能再多讲讲，读者为什么应该这样做？一道设计精良的习题，能教会人哪些即便是最清晰的讲解也教不会的东西？

Ravi Vakil：当然。我坚信，光看是学不会数学的，光点头也学不会。有些人学会了很多花哨的术语，但他们并没有真正明白这些东西究竟是怎么运作的。就像做饭，不能只照着菜谱，还要亲手尝试，在失败中摸索。

我宁愿学生去做一道习题，做不出来，然后带着失败来找我，也不希望他们去查答案。因为几个月后，他们也许会听到解法，那时他们就会彻底明白：“啊，太好了，原来我漏掉的是这个。”一切都完全不同了，因为他们认真思考过这个问题。如果一本书里没有习题，我觉得你也可以自己给自己出题，但最好的还是精心设计的习题，因为它能让你思考。

有些人没真正用过这本书，翻一翻就常常被吓住了，他们会觉得：“等等，内容全在习题里，这不是耍赖吗？”但这些习题其实是专门设计成能做出来的。有些书里的有些习题，本来就没打算让人做出来，而且对正文也不是必需的，所以做不出来也没关系。而这本书里的习题，从设计上说都是可以解出来的——不是说容易。我有时也会判断失误：有些题本该能做出来、不那么难，结果是我错了。这些年来读者的可贵之处就在这里：我知道他们在哪些题上吃过苦头，大家卡住的时候会写信来抱怨。

我希望读者自己和习题较劲，而不是把题目放到网上，或交给 ChatGPT。需要帮助时，可以写信给我，或在网站上与他人讨论、共同学习。讨论与直接听到答案，带来的收获不同。

我们成长过程中一定都有过自己最喜欢的习题。你做了一道题，然后意识到：“哦，我做出这道题了，突然一下就懂了，一切都清楚了。”如果当初有人直接告诉你答案，那就不一样了。

我对习题设计的思考，来自儿子们上的幼儿园。孩子们早晨进教室时，每张桌上都已摆好一项活动，有时只是沙子和几个玩具。没有任何说明，孩子们却会说：“哦，那个看起来好有意思。”他们走过去，看看桌上有什么，然后就被引导着想：“我要来玩这个。”这其实很有教育意义，而且一切都设计得非常巧妙。

这背后的设计思路，正是你希望一道题具备的：你看到它，它很吸引人，而不是在说教。你就是忍不住好奇，想知道答案。你会尝试、犯错，暂时放下，再回来继续。多年后，你仍会记得它。它不是机械重复，而是在锻炼思考所需的“肌肉”。

PUP China：那您在这本书里是怎样组织这些习题的？能不能再多介绍一下？

Ravi Vakil：当然。首先，我确实希望每一道题都能解出来。有时我也希望有些题是难的。如果我想讲清楚某个困难的东西，我可以直接给出证明，它会很难，你可以一行一行地跟着读。但有些东西，我希望大家真正理解。如果某道习题很重要，我会说“这是一道重要的习题”，或者“你应该做这道题”。又或者，某道题对数论学家非常重要，而对将来要做复几何的人也许无关紧要。我会写上“数论学家会感兴趣”。

值得做的难题会附上提示，但读者仍可能卡住。这也能带来有益的反馈。多年来，读者常会告诉我遇到的困难，甚至怀疑自己太笨；其实他们并不笨，有时只是遗漏了一点内容。

又或者，你希望某样东西能让人回想起之前学到的东西。因为这就像“上升的海”，你希望它是逐渐建立起来的。某个地方要呼应 400 页之前的东西。那怎么做？怎么提示读者应该记起 400 页之前的某样东西？我会给出直接提示，或留下一条含蓄的线索，让他们自行建立联系。

如果你在正文里直接给出证明，他们只会点点头，然后记不住。而现在，是他们自己弄明白的。如果他们先没弄明白，后来又弄明白了，那就更好，那样他们才真正记得住。这些就是这本书的构建方式。

PUP China：您曾建议研究生，不必等到完全掌握一个主题才继续。但数学又要求精确。读本书时，如何判断哪些必须先弄懂，哪些可以留待以后？

Ravi Vakil：这是个非常好的问题。本科生往往习惯把一门课的内容全部弄懂，以便期末拿满分。但进入整个数学世界后，你不可能无所不知，必须学会判断何时继续前进。

我给的答案是：如果你能做出习题，哪怕你说自己还不懂，也应该继续往下走。我想你确实还缺了点什么，你还想要更多，但以后你会把它补上。你已经会用这件工具了。你觉得自己没有完全搞懂，但过一段时间，你可能就会明白过来。可如果你做不出习题，你也许以为自己懂了，其实并没有。

所以习题的另一个好处是，它能让你知道自己到底懂了什么。因此，本质上你应该在能做出习题的前提下，走得越快越好。如果突然之间你做不出习题了，那就是警示信号：你以为自己懂了，你也说得出那些词，但当真有人要你去做点什么时，你却没法把各个部分拼到一起。

平衡抽象语言与几何直觉

黄治中：我们来谈谈代数几何本身一些更内在的方面。我觉得这门学科要求学生习惯数量惊人的抽象语言，比如概形、层、函子、泛性质，等等。我记得我第一次接触这些抽象语言时，也吃了很多苦头。但正如我们强调过的，我们确实还需要几何地思考，需要几何直觉。在写这本书时，您是如何平衡这两方面的？

Ravi Vakil：首先，你说得完全对，难就难在这个平衡上。对我来说，几何直觉是第一位的。虽然我认为书中使用这些抽象语言是必要的，仍对此感到过意不去。时间充裕的话，理想的路径是先建立几何直觉，再由此引出抽象。

如果有人只读了这本书的前两章，会对“应该如何思考”得出错误的结论。这是一种冒险，因为我们想在一年内完成。如果能有两年，理想情况下应该先学代数簇，或者带着从数学其他地方获得的一些直觉来读这本书，这样你就不会被直接扔进抽象里。

既然时间有限，我就集中介绍必要的抽象，尽可能少讲，并提醒读者哪些内容可以暂缓阅读。我也尽量提供动机。好的学习过程是先看几个例子，发现共同点，再引出定义。如果因时间所限，不得不先给定义，也应尽快补上动机。

所以在讲形式体系的时候，我会提醒读者：这些例子你以前见过，我们只是给它们起个名字，不必被术语分散注意力。在我的课堂上，学生最初觉得抽象可怕，但进入几何、开始用它们证明定理后，就能逐渐理解。只有在具体的几何问题中运用抽象，才能真正理解。

我特别喜欢这样的时刻：你在做某个具体的几何问题，然后意识到：“等等，如果我用‘泛性质’这个词说一句高深的话，这个证明一行就完事了。”他们会因为发现自己的具体知识和抽象直觉突然合而为一，而感到一种突如其来的快乐。正是通过这种具体与抽象的结合，他们才真正开始成为代数几何学家。我觉得这是有代价的，我尤其对第一章感到愧疚，但我看不出有什么办法能绕开那一章。

黄治中：这大概也是为什么第一章叫“Just enough category theory to be dangerous”（刚好够你“危险”的范畴论）。我们刚才一直在谈您为什么选 The Rising Sea 做书名。那么，书中有没有先“让海水上涨”，再攻克困难思想的具体例子？

Ravi Vakil：我可以举好几个例子，简单说几个吧。一个是 Riemann–Roch 定理，这是一个美妙而强大的定理。通常，读者先经历漫长艰难的证明，却还不知道为何要关心它，之后才看到应用。我更愿意先展示它强大的应用，让读者有动力去证明它。

而且在这本书里，Riemann–Roch 定理是“意外”被证明的。至少有一个版本是这样：到了某个时候，你有了一些定义，然后 Riemann–Roch 就变成了一个定义，突然之间就有一个版本自然成立了。所以这是一个“意外发生”的例子。

另一个是上同调。层的上同调——我就说上同调吧，对专家来说，是拟凝聚层的上同调——你第一次见到它时，它往往是以一种非常复杂的方式讲的。而在这本书里，诚然，读到那里时，你已经对很多东西有了经验。事实上，这一章已经排到了十几章的后半段，本来可以放在第七章前后。但“意外”的是，定义来得非常快，所有性质也“意外”地很快就出来了，比你在别处看到的快得多。

这是因为此前的概念、思考方式和习题，早已在脑中播下种子。看到某个词时，你会自然想到相应的图景，以及它与其他概念的联系。

为什么先讲概形再讲代数簇？

黄治中：在代数几何中，有一个非常重要的概念叫概形。您会如何把它和我们在本科课程里学到的流形、代数簇这些经典几何对象区分开来？或者问一个更具体的问题：您希望读者读完这本书后，抛掉的关于概形的最大误解是什么？

Ravi Vakil：也许我可以把这两个问题放在一起回答。概形被看作一种非常奇怪、非常玄乎的东西，而我希望大家能意识到：“等等，它其实是几何的，它就是几何。只要用对的方式去思考，它确实就是几何。”

本书第一部分本质上就是在建立“几何空间”这个概念：一个带有函数层的拓扑空间。我想逐渐说服读者，这是理解几何的恰当框架。微分几何入门通常不采用这一成熟视角，但流形也可以按同样的模式理解。

沿着这一思路，可以看到拓扑流形、复几何、实几何；加入额外数据，还可以看到辛几何。代数簇和概形也可以放在同一框架下理解，不必把它们看得神秘。

一旦你开始这样思考，你就会想：“哦，太好了。代数簇，一点也不复杂，不过是另一种几何空间而已。”然后概形也没什么不同。我想 Grothendieck 本人也用过类似的说法。概形这个概念当时已经呼之欲出，他并不是这个想法的首创者。关键是要让读者相信，他们其实不该把概形看得那么玄乎。

这样，已有的几何直觉就能发挥作用，甚至适用于原本难以想象的地方：首先是在有理数上，或者在 3 等于 0 的东西上。这怎么可能？更离谱的是，在 9 等于 0 但 3 不等于 0 的地方。这又怎么可能？有各种各样听起来本该毫无意义的东西，但你的几何直觉——你脑海中的那些图像——依然适用。

概形在很大程度上与其他几何对象相似，值得集中注意的是那些不同之处。做过的习题和具体例子，则会提醒你哪些特殊现象可能发生。这也是我先讲概形、后讲代数簇的原因。读者沿着书中的安排，会先自然地学会概形，再认识代数簇。按这个顺序，代数簇的定义反而更难。

给读者的路线图

PUP China：Vakil 教授，关于怎么使用这本书，我有一个追问。对于学生，或者任何对几何非常感兴趣的人，第一次读这本书时，您能不能给一个简要的路线图？您会建议他们一页一页地读，还是跳着读？您是否建议，在用这本书的时候，尽可能多地和同学或其他学习者交流？

Ravi Vakil：只要有条件，我强烈建议和别人一起读。本书可以自学，很多人也确实因为身边无人交流而自学；但有老师可以请教，或有同伴一起学习、一起挣扎和克服困难，会好得多。

说到挣扎，一个人独自挣扎是很不开心的体验；和别人一起挣扎，有时却是很快乐的体验。这不是一本容易的书，所以我觉得有人和你一起读是一件很好的事。

至于路线图，有一点比较尴尬：你不能跳得太厉害，因为这本书的构建非常精细，这里建立的直觉是为别处服务的。有些地方是可以选择的，引言里有一个简要的路线图，可以根据你的需要给你一些选择。有些人会根据自己的领域做出不同的选择。

我想提的一个建议是：不必以读完全书为目标。可以持续学习、享受其中的乐趣，读够了就暂时放下，以后再回来。全书在一定程度上按学季安排，各阶段都有值得领会的内容：第一章让你接触范畴，前两章已有不少收获，第一部分结束时可以理解几何空间，再往后则能学到曲线理论。

不要着急，但准备好了就继续。先尝试习题，不必全部做完，做到足以支持自己往下读即可，随时可以回头。

就像我们刚才讨论的，有些你以为自己理解得很好的东西，事后才意识到：“哦，我其实完全没抓住要点。”所以要坦然接受这一点。往前走，走到你想走的地方，累了也许就把它放下。以后你可能会回来，发现：“哦，我想回头看看，这正是我需要的。”或者：“我需要这个洞见，哦，那幅图一下子就让它变简单了。”所以我会说，试着享受这段旅程，而不是非要到达某个终点；如果可能的话，和别人一起享受它。