数学家拉里·古斯（Larry Guth）；图源：哥本哈根大学数学科学系官网。导读：
9月25日，美国数学家拉里·古斯（Larry Guth）在预印本网站arXiv上发布了一篇文章，题为《数学对我来说意味着什么》（What Math Means to Me）。
古斯于2000年获得耶鲁大学数学学士学位，随后进入麻省理工学院（MIT）攻读博士学位，师从拓扑学家汤姆·莫罗卡（Tom Mrowka）。毕业后，他先后在斯坦福大学、多伦多大学和纽约大学柯朗数学科学研究所从事研究和教学工作，2012年重返MIT任教，现为该校克劳德·E·香农数学教授。
古斯的研究方向包括度量几何和调和分析等领域。在傅里叶限制性猜想和埃尔德什不同距离问题等数学难题上取得突破。古斯也是2026年菲尔兹奖得主王虹的博士生导师，两人长期合作研究挂谷猜想，最终王虹解决了三维挂谷猜想。
当人工智能在数学领域开疆拓土，促使数学界重新思考：数学家真正关心的是什么？未来又希望朝着哪些方向前进？在这篇文章中，古斯回顾了自己的数学研究经历，分享了他对数学的理解，以及数学研究中的困惑、挫折与乐趣，并试图回答一个问题：数学之于他，究竟意味着什么？《赛先生》现将这篇文章译为中文，以飨读者。
拉里·古斯｜撰文
李璐｜翻译
我生活中的大部分时间都用于数学研究。我想借这篇文章谈谈我如何看待数学、我珍视数学的哪些方面，以及对我来说数学意味着什么。促使我写这篇文章的原因有很多，人工智能是其中之一。AI的发展正促使数学界思考：我们关心的究竟是什么？未来我们又希望朝着哪些方向前进？在今年夏天的国际数学家大会（ICM）上，有几位做报告的研究者鼓励大家反思自己的目标和价值观。但其实，很早之前我就想试着去写一写自己从事数学研究过程中的心路历程。数学界当前的境况刚好给了我动力，让我开始动笔。当我与非数学工作者交谈时，他们经常这样讲述自己的数学经历：开始学数学的时候感觉很简单，但不知道从哪一刻起，数学突然变得令人困惑甚至难以理解。他们口中所谓“容易的部分”，包括数数、加法、减法等。在每个人的经历中，数学由易到难的转变时刻各不相同，但他们几乎都认为，这种转变来得十分突然。我不认为数学可以像这样被划分为截然不同的部分。我觉得数数是一个很好的例子，所以我将以此为起点阐述自己对数学的看法。我觉得学会数数其实并不容易——只不过我们已经忘记当初学习的感受了。我记得我儿子刚开始学习数数的时候，他已经能从1一直数到30左右。有一次，我们坐在一起，手边放着一把卷尺。他想弄明白卷尺上的每一条刻度线分别对应哪个数字，但这对他来说非常困难。总会有这样一个阶段，一个孩子已经能从1数到10，却还不知道晚餐时应该在桌子上放多少把勺子，才能保证每个人都有一把。如果要使餐桌上的勺子数量无误，孩子需要把很多事情联系起来。一起吃饭的人、抽屉里的勺子，以及自己能背出来的数字，这三者相互关联，孩子必须理解这些关系。在童年的某个特殊时期，我们开始学习数数。在那段时间里，随着孩子理解能力的增长，这个世界的面貌在他们眼中也慢慢清晰。大多数人对这段童年经历的记忆都已经模糊。但学习数学有一个特别之处：与之类似的经历会在我们的一生中反复出现。当我们学习直线和圆的方程时，图形、数字和方程就联系在了一起。我认为这种联系非常了不起。直线和圆是最基本的几何图形，几千年来一直为人们所用，甚至幼儿园的孩子也会画它们。数字和方程同样也是基础的数学知识，但它们似乎属于另一个世界。孩子们学习乘法，是为了回答类似这样的问题：“班里有8个孩子，要给每个孩子4块饼干，一共需要多少块饼干？”我不知道在历史上乘法最初是如何发展起来的，但或许也是出于类似的需求。令人惊讶的是，这个数饼干的问题竟然与直线，甚至圆有关。同时，圆和直线恰恰可以用建立在乘法和加法基础上的优雅方程来描述。这种联系让我们以一种完全不同的方式来“看待”圆和直线。要理解圆的方程，就需要把许多原本看似无关的事物联系起来。在微积分中，我们把函数图像y=f(x)的表达式与图像的形状联系起来。具体地，我们会学习图像的斜率与函数f(x)的表达式之间的关系。之后，我们还会学习曲线下方的面积如何与斜率这一概念联系起来。学生要理解如何用微积分求抛物线下方的面积，需要将许多知识融会贯通。许多高等数学分支的名称本身，就体现出了两个领域的结合，例如代数拓扑、微分几何、代数几何等。我读博士时最先进入的领域是定量拓扑（quantitative topology），也就是将定量估计与拓扑学结合起来。然后，我进入了另一个领域——傅里叶分析。在傅里叶分析中，我们了解到，任何函数都可以用两种不同的方式表示，即物理空间表示和频率空间表示。傅里叶分析就是从这两种截然不同的视角去理解函数。从一种视角看很复杂的事物，换一个视角看会更清晰。结合这两种视角，我们能够更好地理解问题。我和我的研究生们曾花费很多时间，在黑板上画出函数在频率空间中的图像，并努力理解它们在物理空间中是什么样子，我们试图厘清这两种不同的观察方式是如何相互对应，契合在一起的。傅里叶分析有助于理解各种振荡现象，比如钟摆运动或弦振动。它最初之所以发展起来，是因为可以帮助人们理解热传导或者波动等物理系统的行为。但后来，人们发现它还有助于理解其他许多看起来完全不同的事物，例如素数的分布、晶体的结构，以及经典计算机和量子计算机中的某些快速算法。一位数学家如果要理解弦振动如何与晶体、素数和快速算法联系起来，就需要把许多知识联系在一起。在其他数学领域，也有类似的故事。随着我们花时间不断深入了解这些问题，就会发现它们之间的联系越来越多。这些联系有助于回答很多问题，而好的问题也能引发我们的思考，让我们看到此前从未注意到的联系。数学界知识的关联程度远超我年轻时的想象。随着不断学习，我发现各种知识会逐渐拼接成一个更大的整体。这种联系性和整体性，是数学界，或许也是自然界非比寻常的特征。当我们在从事数学研究时，我们就在创造并发扬这种特征。在日常研究中，我们很少能够感受到那种相互联系、浑然一体的感觉。我们最直接的感受，往往充满了困惑、挫折和怀疑。我曾经把稿纸揉成一团，在草稿上胡乱涂画，甚至把铅笔狠狠地戳进本子里。我曾经为某个想法兴奋不已，然后却发现毫无价值，因为自己三周前就算错了。我读研时，有一次和我父母打电话，说感觉自己像动画片《乐一通》（Looney Tunes）里的威利狼（Wile E. Coyote）。我的研究经历经常让我想起这个角色：精心策划一个复杂的方案，让它开始运转，然后眼看着一切失控，最后不是被保龄球砸中脑袋，就是发现自己在悬崖边踏空。做研究就像坐过山车。当我为某个想法激动不已时，有时候甚至会开始幻想别人将会对这项工作成果发出怎样的惊叹——尤其是我研究像挂谷猜想（Kakeya problem）这类著名的问题时。然而，当我意识到自己的想法根本行不通时，便开始怀疑自己是否足够优秀，或者怀疑这项工作究竟有没有意义。这些都是数学研究中不可或缺的经历。在这些艰难的经历中，我认为意识到自己错了，尤其重要。我们拼尽全力去解决问题、提出想法，而且很希望它是对的。但最终我们意识到它错了，我们需要承认这一点。这种艰难的工作和经历教会我们分辨事物是否合乎逻辑。它让我们明白自然界不会因为我们希望愿望成真就改变自身的规律。它教会我们诚实地面对自己。在各种领域的工作和学习过程中，我们都会犯错，但领域不同，犯错发挥的作用也略有不同。在数学领域，我们努力让真假命题格外清晰、界限分明。我认为这有助于迫使我们直面错误。从事数学研究让我以一种过去在其他领域中未曾习得的方式直面自己的错误。例如，我认为数学研究的经历让我在一定程度上成为了更好的作者。高中和大学时期，我很喜欢写作。我会试着写出一句有趣、不同寻常的话，然后再增加有趣的句子。但经过了多年的数学写作训练后，如今我写下第一句话，便会停下来审视它。“我真的认为这句话是正确的吗？”通常答案是否定的。于是我把它划掉，重新写。提出问题是数学研究中的重要环节。问题指出了我们的困惑之处，指向那些不符合直觉的例子，这能唤起我们思考，进而发现新的联系。当我们被某个问题难住时，就会尝试提出一个更基本的问题。如果这个基本问题仍然无法解决，我们就继续追问更加基本的问题。我曾听过描述这个过程的一句话，“如果我不理解某件事，那么应该还有某个更简单的事，我同样不理解。”我不确定这句话出自哪里，但它经常在我的脑海里浮现。对我而言，这种哲学思考是数学的重要组成部分。不断尝试提出更基本的问题，有助于我们发现事物之间的联系。我们一直留意那些看似充满任意性的事情。如果一个问题中的某个条件看起来像是随意设定的，我们就会尝试将概况这一点，并提出一个更加基本、更加一般化的问题。问题A和问题B可能各自包含许多看起来截然不同的随机设定。但如果我们经过思考去掉这些设定，看到问题的底层逻辑，那么这两个问题可能开始看起来相同了。我曾经给本科生上过一天关于解决问题的研讨课，名字叫作“走向一个更简单的问题”（Towards a Simpler Problem）。这个研讨班的核心思想是：当我们在求解一个真正的难题毫无思绪时，可以转而研究一个可以为解决原问题带来启发的，但是更简单的问题。我希望告诉学生们，即使面对费马大定理这样的问题，他们也可以投入其中，不必感到无从下手、不知所措。他们可以先提出一些更小的问题，解决这些问题有助于更好地理解那个更大的问题，进而引出更多的问题。问题之所以重要，是因为当我们面对一个大到无从撼动的问题时，仍然可以通过提出问题参与其中。面对一个困难的问题，一种方法是寻找一个介于我们已经理解的内容和最终目标之间的问题。但找到这样一个“中介问题”往往并不容易。生物学中有一个众所周知的难题，最简单的生物是单细胞生物，但单细胞本身极其复杂。不存在所谓的“半个细胞”作为预备研究对象。数学中的许多问题也类似：我们根本不清楚应该如何把一个问题一分为二。尽管如此，数学家仍然通过富有创造性的方式，找到一些可以启发原问题的更简单的问题。我想分享一个自己的亲身经历。限制性猜想是傅里叶分析或偏微分方程领域中的困难问题，它涉及许多不同频率的波叠加时所产生的干涉图样。在解决限制性问题上陷入困境的数学家，将它与另一个问题联系起来——挂谷问题。这是一个关于空间中重叠管道的几何问题。乍一看，挂谷问题显然不是限制问题的“一半”，甚至不像是同一个数学领域中的问题。但经过深入研究和思考，这一领域的数学家意识到，将限制性问题中的核心难点单独提取出来，可以提出的更简单的问题就是挂谷问题。我认为，数学领域中很多听起来很复杂的部分，都是在我们无法解答时，为了提出更基本的问题而创造出来的办法。在外界看来，数学家似乎总是在讨论非常复杂的事物，建立比以往理论更加复杂的新理论。虽然这种描述没有错，但我认为，数学研究者的实际感受通常是相反的：在那些此前尚未解决的问题的底层逻辑中，我们在努力寻找更基本的问题。拉乌尔·博特（Raoul Bott）曾说过：“数学家就是喜欢追根究底的人。”提出一个好问题是一项艰难的工作，像数学研究的其他环节一样，也充满了错误的尝试和揉成一团的稿纸。那些能提出好问题的人，拥有某种直觉：尝试回答这个问题将会带来有趣的想法。他们可能还没有真正想到那个有趣的想法，但这个问题本身已经成为了一种可能引导新发现的线索。这样的线索也可以分享给其他人，让他们在此基础上继续探索。数学也有助于我们理解世界，尤其是那些奇特的部分。到目前为止，我的职业生涯主要集中在纯数领域。对于尝试讨论数学与理解世界的关系这一重要问题，我有点不够自信，有一些“冒名顶替者综合征”的感觉。不过，我还是想试着谈一谈。数学的发展，部分源于人们试图理解世界，部分源于寻找事物之间的联系，部分源于人们试图让思想变得更加严谨，部分源于寻找更基本的问题，当然还有许多其他因素。这些不同的因素以某种方式相互促进、彼此作用。量子力学被发现时，与人们的日常经验相比，它显得非常奇特且违背直觉。从某种意义上说，它与人们此前了解的一切都截然不同。但量子力学可以用数学来描述。而且其中涉及的数学，实际上与此前因不同原因而发展起来的数学十分相似，例如矩阵、内积、特征值与特征向量，以及偏微分方程。当然，量子力学是一个成功的案例，也有许多没那么成功的案例。但我始终认为，当我们遇到某种全新而奇特的事物，并试图理解它时，数学是一种能够帮助我们的工具。我认为数学能够发挥作用的原因之一与提出基本问题有关。尝试研究更基础、更一般化的问题，可能有助于我们找到在新情境中应用的思想。如果我们试图理解某种全新而奇特的事物，就不得不重新提出一些基本问题，重新思考原有的基本假设。数学有时能在这一过程中发挥作用，因为我们已经在提出基本问题这件事上尝试了很久。这也与事物之间如何相互对应有关。一些基本结构会出现在数学各个领域。例如，矩阵、内积、特征值和特征向量，就会出现在数学的不同分支中，既包括纯数学领域，也包括科学与工程领域的诸多方向。下面的例子是我作为一名纯数学家的个人经历。我曾长期研究傅里叶分析中被称为解耦（decoupling）的领域，其中涉及偏微分方程和数论中的纯数学问题。在研究解耦之后，我又阅读了一些傅里叶分析中更偏应用的主题，发现其中存在许多相同的数学结构。例如，我发现纯数学家在解决某个数论问题过程中的计算，与科学家为了从X射线衍射图样中识别螺旋结构所进行的计算十分相似。（这个过程有助于DNA双螺旋结构的发现）。从另一个角度来看，我还发现解耦的基本结构与快速傅里叶变换（FFT）的结构有关，快速傅里叶变换是一种被科学家和工程师广泛使用的重要算法。随着我们不断学习，各种事物会彼此对应，拼接成一个更大的整体，这个整体包括数学、科学和工程。这些领域中出现的一些基本结构将不同领域联系起来。从长远来看，不断深化我们对这些结构理解，有助于我们认识世界。长期以来，数学家的传统工作包括研究和教学。听起来像把两份工作硬凑到了一起，但我并不这么认为。我此前谈到的所有内容都与数学研究和教学有关，我觉得两者之间的联系非常紧密。当老师和学生一起讨论数学时，很多事物会逐渐联系起来，但这个过程需要很长时间。学习同样伴随着困惑、挫折、怀疑和犯错。学生和老师会试着寻找迷惑之处，为了厘清这些困惑，他们会彼此提出问题。随着时间推移，他们会尝试找到那些触及最基本逻辑的问题。当我们不能理解一些数学问题时，我们会提醒自己，“如果这部分没懂，那么可能还有某些更简单的问题，我们同样没有理解。”老师向学生讲解自己学到的知识，学生再用自己的语言把它解释一遍。在这个过程中，老师会意识到，自己最初的解释方法会有迷惑性，于是尝试换一种讲法。学生则会发现有些知识无法衔接，进而重新措辞提问。通过这样不断沟通，问题逐渐变得更清晰，我们也逐渐理解各种事物是如何联系起来的，同时享受其中。老师会与学生分享自己理解的以及尚未理解的内容。老师和学生一起望向世界中奇特的、至今仍无人理解的事物。也许老师会把一个自己认为可能引向有趣发现的问题交给学生。他们会共同期待：有一天，这个学生将会学到些什么，又会发现些什么。今年7月，王虹获菲尔兹奖后作报告时，因会场座位已满，古斯站在报告厅窗外聆听最开始学数学时，学生通常会被告知应该做什么：阅读哪些章节，完成哪些练习，解决哪些问题。但数学学习并不只有这些内容。在数学学习过程中有一个非常重要的时刻，他们开始主动抽时间思考数学问题。在这段个人学习的时间里，他们可以决定自己想要思考什么。也正是在这个过程中，他们开始形成自己的兴趣和看待数学的视角。有时，选择研究内容很容易。我们有时候很快就找到了自己感兴趣的方向，并乐于长期研究这一领域。我们可能不需要过多纠结究竟应该研究什么问题。但在另一些时候，选择研究内容可能令人困惑、沮丧。我们可能不得不否定很多想法，可能会有所怀疑。但这种困惑和被否定的想法，并不意味着我们的工作方式错了。感到困惑和反复尝试，本来就是成为一名数学家不可避免的经历。研究生和导师总会共同面对这些问题。大多数研究生在博士阶段都会经历一段艰难时期。他们可能也不知道为什么，好像研究没有意义了。这时，研究生和导师会一起交谈，尝试弄清究竟发生了什么。导师的一部分职责就是陪伴倾听学生的想法，并帮他们找到对自己而言真正有意义的方向。即使你并没有感到困惑或沮丧，花时间思考这些问题也是值得的。选择研究内容这个问题，不是一个需要我们尽快解决，以便于把它抛在脑后、继续做其他事情的问题，它更重要。诗人赖内·马利亚·里尔克（Rainer Maria Rilke）曾谈及“生活在问题之中”（living in the questions）。这总让我联想到数学研究的过程。有时，它会让我想起数学家需要花很长时间思考的问题。但这句话更适用于思考如何选择研究内容这一问题。- 考虑不同的研究方向，并问问自己：“这件事对我来说有意义吗？”
- 如果没有意义，就继续探索其他课题。但不要为了等待一个完美的研究方向，就让自己停滞不前。可以尝试一点这个，再尝试一点那个。
- 既要花时间尝试，也要花时间反思。记住，尝试和反思，都是数学家生活的一部分。
原文链接：https://arxiv.org/pdf/2609.32028
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拉里·古斯约 15 分钟