菲尔兹奖得主王虹的导师 Larry Guth 谈数学的意义

返朴2026年11月13日约 14 分钟

来源 | arXiv:2609.32028及网络公开报道

撰文 | 數學家编译小组

校对 | 慧玲

拉里·古斯（Larry Guth，1977年生）是麻省理工学院Claude E. Shannon数学讲席教授，美国艺术与科学院院士与美国国家科学院院士，其研究横跨度量几何、调和分析与极值组合学。

他的工作以在不同领域之间建立出人意料的联系著称：在黎曼几何中解决了关于-循环体积尖锐估计的长期问题，在辛几何中通过构造反例推翻了一个关于高维辛不变量的猜想，在组合几何中与Katz基本解决了埃尔德什1946年提出的不同距离问题，并与Bourgain在调和分析的限制性问题上建立了当时的最佳界。他系统发展了多项式方法，也是挂谷问题研究超过十五年的核心人物；2024年与James Maynard合作在狄利克雷多项式大值估计上取得突破，2026年又与王虹、Joshua Zahl合作给出了三维挂谷猜想的精简证明。

他于2020年获得美国数学会Bôcher奖和美国国家科学院首届玛丽亚姆·米尔扎哈尼数学奖，此前还曾获塞勒姆奖、Clay研究奖和科学突破奖“数学新视野奖”。他与学生的关系也构成了一条可见的学术传承：2026年菲尔兹奖得主王虹正是他在MIT指导的博士生，而古斯本人在《数学对我的意义》中所描述的“事物汇聚在一起”，在这些跨越几何、分析与数论的贡献中得到了具体的印证。

一

事物汇聚在一起

当我和不是数学家的人们交谈时，他们常常把自己的数学经历描述成两部分：小学时有一个“容易的部分”，然后从后来某个时刻开始，出现一个令人困惑、难以理解的部分。“容易的部分”包括数数、加法、减法……不同的人在某个不同阶段经历从容易到难以理解的转变，而且他们通常把这种转变描述得很突然。

我不认为数学是这样被分成几部分的。为了开始讨论我如何看待数学，我觉得数数就是一个很好的例子。学习数数并不容易——我认为我们只是不记得那是什么感觉了。

我记得我儿子学数数的时候。他能背出到30左右的数字。我们当时坐在一卷卷尺旁，他想弄明白哪个数字对应卷尺上的哪条线，而这对他是非常困难的。

有一个时期，孩子能背出一到十，却弄不清楚该往餐桌上放多少把勺子，才能让每个人有一把。一个孩子要学会为餐桌数勺子，需要很多东西汇聚到一起。吃饭的一群人、抽屉里的勺子，以及我们背诵的数字，全都相互关联，孩子必须理解所有这些关系。

学习数数来自童年的一段特殊时期：随着孩子理解得越来越多，世界不断向他展开。我们大多数人只模糊地记得那段时光。学习数学的一个特别之处在于，我们一生中都会不断有那样的体验。

当我们学习数学时，事物会汇聚在一起。

当我们学习直线和圆的方程时，图像、数字和方程汇聚在一起。我觉得这种联系真的很了不起。直线和圆是基本形状，人类使用它们已有数千年，幼儿园的孩子也会画。数字和方程同样是基本的，但它们似乎来自另一个世界。孩子们学习乘法，是为了回答这样的问题：“如果班里有八个孩子，我们给每人四块饼干，需要拿出多少块饼干？”我不知道乘法这一观念在历史上最初是如何发展出来的，但也许原因类似。令人惊讶的是，这个数饼干的问题竟然和直线有关，更令人惊讶的是，它还和圆有关。然而，圆和直线都可以用基于乘法和加法的优雅方程来描述。这种联系让我们能够以一种完全不同的方式“看”圆和直线。要理解圆的方程，需要很多东西汇聚在一起。

在微积分中，我们把图像的公式和图像的样子联系起来。特别是，我们学习图像的斜率如何与函数的公式相关。后来我们学习图像下方的面积如何与斜率这一概念相关。一个学生要理解如何用微积分求抛物线下方的面积，需要很多东西汇聚在一起。

许多高等数学领域都以两种事物汇聚在一起而命名：代数拓扑、微分几何、代数几何……我读博士时学习的第一门数学分支叫定量拓扑——意思是定量估计与拓扑学汇聚在一起。

我学习的下一个数学分支是傅里叶分析。在傅里叶分析中，我们了解到任何函数都可以用两种不同方式表示，分别称为物理空间表示和频率空间表示。傅里叶分析就是从这两个非常不同的视角来看待函数。从一个视角看很复杂的东西，从另一个视角看会变得更清楚。通过结合这两种视角，我们能够更好地理解事物。我和我的研究生们一起在黑板前花了很多小时，画函数在频率空间中的图像，并试图理解它们在物理空间中是什么样子——试图看清这两种观点如何契合在一起。

傅里叶分析有助于理解像钟摆或振动弦这样振荡的事物。它最初是为了帮助理解热或波的行为等物理系统而发展起来的。但结果它也有助于理解其他非常不同的事物，比如素数分布、晶体结构，或经典计算机和量子计算机上的某些快速算法。一位数学家要理解振动弦如何与晶体、素数以及快速算法相关，需要很多东西汇聚在一起。在许多其他领域，数学家也能讲出类似的故事。

随着我们花时间熟悉问题，我们会看到问题之间越来越多的关系。这些关系有助于回答问题。而好的问题能唤醒我们去看到以前没有看到的关系。数学世界比我年轻时预想的更加相互联系。随着我们不断学习，事物会融入一个更大的整体。这种联系与整体性，是数学世界——也许是自然——的一个显著特征。当我们实践数学时，我们就在培养它。

二

困惑、沮丧、怀疑与犯错

在我们日常所做的工作中，我们很少意识到那种联系与整体性的感觉。我们当下的体验通常充满困惑、沮丧和怀疑。

我有揉皱的纸、涂改得乱七八糟的文字，还有把铅笔深深戳进本子的经历。我曾对某个想法很兴奋，后来却意识到它说不通，因为我三周前做错了某件事。我记得读研究生时和父母通电话，告诉他们我觉得自己像威利狼。我从事研究的体验常常让我想起威利狼：设计出一套复杂的策略，启动它，看着它出错，然后被保龄球砸中脑袋，或者发现自己已经走出了悬崖。

研究可以像坐过山车。当我为某个想法兴奋时，有时会幻想人们会觉得这项工作多么了不起——尤其是我正在研究像挂谷问题这样有点名气的问题时。当我意识到这个想法说不通时，我开始怀疑自己是否“足够好”，或者怀疑这项工作是否重要。

这些体验是实践数学的一大部分。而在所有这些困难体验中，我认为犯错的体验尤其重要。我们拼命想做成一件事，想出一个主意，非常希望它是真的，结果却意识到它错了，然后我们承认这一点。

这种艰苦的工作和艰难的经历可以教会我们分辨合理与荒谬。它可以教会我们：自然就是如此，它不在乎我们希望什么为真。它可以教会我们对自己诚实。

犯错的体验可以出现在各种工作和学习中，但这种体验在不同领域中的作用略有不同。在数学中，我们努力让真与假变得尤其清晰、界限分明，我认为这有助于迫使我们面对自己犯错的事实。

在做数学时，我以一种在其他学习中没有总是强迫自己面对的方式，面对了自己犯错的事实。例如，我认为做数学的经历让我成了一个稍微好一点的写作者。高中和大学时，我很喜欢写作。我会试着写一个有趣、跳出框架的句子。然后我会试着再加一个有趣的句子。如今，在写了很长时间数学之后，我写下第一句话，看看它。“我真的认为这是真的吗？”通常不是。划掉。重新开始。

三

提问

提问是做数学的一大部分。问题可以指出我们的困惑。它们可以凸显不符合我们直觉的例子。它们可以唤醒我们去看到新的联系。

当我们卡在一个问题上时，我们会试着问一个更基本的问题。当我们又卡在这个基本问题上时，我们会试着问更基本的问题。我曾听过一句关于这个过程的话，大致是这样的：“如果有某个我不理解的东西，通常还有某个更简单的东西我也不理解。”我不确定这句话的确切出处，但它经常浮现在我脑海中。对我来说，这种哲学是数学的重要部分。

这种不断尝试提出更基本问题的做法，可以帮助我们看到事物之间的联系。我们留心任何看起来任意的东西。如果问题的某个特征看起来是任意的，我们就试着推广这个特征，提出一个更基本、更一般的问题。问题A和问题B可能各自都有各种看起来非常不同的任意方面。但如果我们有思考地去掉这些任意方面，看其底层，那么这些问题可能开始看起来是一样的。

我曾经教过一个为期一天、关于解决问题的本科生研讨课，叫“走向更简单的问题”。这个研讨课的要点是：面对一个非常困难的问题，当我们完全卡住时，我们可以转向一个更简单的问题，它会为原问题提供一些启发。我想向学生表明，面对比如费马大定理这样的问题时，他们不必僵住、不必被压垮，而可以开始参与其中。他们可以问更小的问题，开始弄懂这些问题，这有助于更好地理解更大的问题，并引出更多问题……

问题很重要，因为当我们面对一个大到无法撼动的问题时，我们仍然可以通过提问来参与它。

面对一个困难问题，一种方法是寻找一个介于我们已经理解的东西和我们的目标之间的问题。但找到这样一个“中间问题”往往并不容易。生物学中有一个众所周知的问题：最简单的生物是单细胞生物，而单细胞极其复杂。不存在“半个细胞”可以作为热身问题来研究。数学中的许多问题也有点像这样——根本不清楚如何把问题分成两半。尽管如此，数学家们还是以创造性的方式找到更简单的问题，为原问题提供启发。

这里有一个来自我个人经验的例子。限制性问题是傅里叶分析或偏微分方程中的一个困难问题，研究的是当我们叠加许多不同频率的波时出现的干涉图样。卡在限制性问题上的数学家把它与另一个问题联系起来，叫做挂谷问题，这是一个关于空间中重叠管道的几何问题。乍看之下，挂谷问题显然不是“限制性问题的一半”，它甚至听起来不像是同一领域的问题。但通过工作和智慧，这一领域的数学家意识到，挂谷问题是一个更简单的问题，它隔离出了限制性问题中的一个本质问题。

我认为，数学中许多听起来复杂的部分，都是作为创造性的方式发展出来的，用来针对我们卡住的地方提出更基本的问题。从外面看，可能像是数学家在谈论非常复杂的东西，并“建立”比先前理论更复杂的新理论。这并没有错，但我认为从内部看，感觉常常相反：我们是在试图找到位于我们无法回答的先前问题之下的更基本的问题。拉乌尔·博特曾说：“数学家是喜欢追根究底的人。”

提出一个好问题需要艰苦的工作，充满失败的尝试和揉皱的纸，就像整个过程的其他部分一样。当有人提出一个好问题时，他们有一种直觉：试图回答这个问题会引出一个有趣的想法。他们可能还没有那个有趣的想法，但这个问题是某种提示，可能通向那个想法，是一种他们可以与他人分享、让他人继续建设的提示。

四

理解世界

数学也有助于理解世界，尤其是世界中一些奇怪的部分。到目前为止，在我的职业生涯中，我一直专注于纯数学，因此在尝试写这个重要问题时，我感到一些冒名顶替综合征，但我还是试一试。

数学部分来自试图理解世界，部分来自寻找联系和关系，部分来自试图让想法更严谨，部分来自寻找更基本的问题，部分来自许多其他东西。这些不同方面以某种方式互相帮助。

当人们发现量子力学时，它非常奇怪，与我们的日常经验相比非常反直觉。从某种意义上说，它与人们见过的任何东西都极其不同。但量子力学可以用数学来描述。而且其中涉及的数学，实际上类似于人们早先因非常不同原因而发现的数学——矩阵、内积、特征值与特征向量、偏微分方程。

诚然，量子力学是一个成功故事，也有许多不那么成功的故事。但我仍然觉得，当我们在世界中遇到新而奇怪的东西并试图理解它时，数学是一种能帮助我们的工具。

我认为数学有帮助的一个原因与提出基本问题有关。试图研究更基本、更一般的问题，有助于找到可能适用于新情境的想法。当我们在世界中遇到新而奇怪的东西并试图理解它时，这会迫使我们提出基本问题，重新思考基本假设。有时数学能在这方面帮上忙，因为我们已经长期在尝试提出基本问题。

这也与事物如何契合在一起有关。有些基本结构出现在数学的许多部分。例如，矩阵、内积、特征值与特征向量出现在数学的许多不同部分，包括纯数学的各个领域，以及整个科学和工程中的各个领域。

这里有一个来自我作为纯数学家自身经验的谦逊例子。我长期研究傅里叶分析中一个叫解耦的领域，它处理纯数学中关于偏微分方程和数论的问题。在研究解耦之后，我读了一些关于傅里叶分析更应用主题的材料，我注意到许多相同的结构。例如，我看到纯数学家为帮助解决一个数论问题所做的某些计算，与科学家为帮助从X射线衍射图样中识别螺旋结构所做的计算非常相似（这帮助发现了DNA的双螺旋结构）。在另一个方向上，我看到解耦的基本结构与快速傅里叶变换的结构有关，而快速傅里叶变换是许多科学家和工程师使用的重要算法。

随着我们不断学习，事物会融入一个更大的整体，这个整体包括数学、科学和工程。有些基本结构出现在所有这些领域中，并把它们联系起来。培养我们对这些结构的理解，从长远来看有助于理解世界。

五

教学

长期以来，数学家的传统工作包括研究和教学。这听起来像是两份工作被硬塞成一份，但我并不这么觉得。我写的一切实际上都既关于研究，也关于教学，我认为它们密切相关。

当老师和学生讨论数学时，事物会（缓慢地！）汇聚在一起。学习也涉及困惑、沮丧、怀疑和犯错。学生和老师试着找出困惑所在。为了让它更清楚，他们互相提问。随着时间推移，他们试着找到能处理最根本问题的问题。当数学不清楚时，我们会对自己说：“如果这部分不清楚，那么很可能还有某个更简单的东西也不清楚。”

以这种方式分享想法是快乐之源。

老师向学生解释自己学到的东西。学生用自己的话解释回来。老师意识到自己第一次的解释令人困惑，于是尝试另一种方式。学生看到某个不契合的地方，并重新表述问题。我们继续前进，逐渐让它更清楚，逐渐看到它如何契合在一起——并享受这一切的奇妙。

老师分享自己理解的东西，也分享自己不理解的东西。老师和学生一起眺望世界中奇怪的部分，眺望还没有人理解的东西。也许老师会把一个自己认为可能引向有趣结果的问题传给学生。他们想知道，学生有朝一日会学到什么。

六

选择研究什么

每位数学家都可以选择自己研究什么。

在数学教育的初期，学生常常被告知要做什么：读这些章节，解这些练习，做这些问题。但这并不是学习数学的全部。在一个学生的数学教育中，有一个重要时刻：他们开始自己安排时间思考数学。在这段个人学习时间里，他们决定思考什么。在这段时间里，他们开始发展自己的兴趣和自己的观点。

有时，选择研究什么很容易。有时我们很快找到一个感兴趣的方向，并乐于在其中工作很久。我们可能不必太担心“该研究什么”这个问题。

但其他时候，选择研究什么可能令人困惑和沮丧。我们可能不得不揉皱很多纸。我们可能会有怀疑。这些困惑和揉皱的纸并不意味着我们没有正确地做工作。困惑和揉皱的纸是成为数学家这项工作的一部分。

研究生和导师一直以来都在这些问题上一起工作。大多数研究生在博士阶段的某个时候都会经历一些艰难。工作不再感觉有意义。他们可能不知道为什么。研究生和导师一起交谈，试着弄清楚发生了什么。导师的一部分工作就是在那里倾听，并帮助学生找到对他们有意义的方向。

即使你没有感到沮丧或困惑，思考这些问题也是值得的。

“该研究什么”这个问题，并不是一个我们试图解决掉、以便摆脱它继续做别的事情的问题。它比这更重要。诗人赖内·玛丽亚·里尔克有一句关于“活在问题中”的著名引语。这句话一直让我想起做数学的过程。有时它让我想起某些数学问题，一位数学家可能会长期与它们共处。但它更适用于选择研究什么这个问题。

所以，这是我的建议。

考虑不同的事物去研究，并问自己：“这对我有意义吗？”如果有意义，就去做。如果没有意义，就继续探索其他事物。但不要在等待找到完美方向时完全停下来。试试这个，再试试那个。花时间反思你想研究什么。头脑风暴一些想法。和你的导师、朋友讨论。花些时间尝试，也花些时间反思。记住，尝试和反思都是数学家生活的一部分。

本文经授权转载自微信公众号“数学家”，责编：燕北平。