这 23 道题，全世界的数学家花费 100 年时间，只解答了一半

哈代 32 岁时就已经执掌英国数学界，成为世界顶级的数学家。而一直被哈代所敬佩膜拜的两位更伟大的同时代数学家，一位印度数学大神拉马努金，另一位是“数学界的无冕之王”德国数学家希尔伯特。 这里我们讲讲关于希尔伯特的事。

哥廷根学派

讲希尔伯特之前，我们不得不先讲一下希尔伯特所代表的哥廷根学派。

哥廷根是德国当之无愧的学术之都，在这个13万人的城市里，每四个人中就有一个大学生。46名诺贝尔奖得主，或在此读过书，或在此教过学，世界上难以找出另一个城市，有如此的殊荣。

哥廷根学派是在世界数学科学的发展中长期占主导地位的学派，该学派坚持数学的统一性，思想反映了数学的本质，促进了数学的发展。 高斯开始了哥廷根数学学派的起始时代，他把现代数学提到一个新的水平。黎曼、狄利克雷和雅可比继承了高斯的工作，在代数、几何、数论和分析领域做出了贡献，克莱因和希尔伯特使德国哥廷根数学学派进入了全盛时期，哥廷根大学因而也成为数学研究和教育的国际中心。 但由于希特勒的上台，使得哥廷根学派受到致命的打击，大批犹太血统的科学家被迫亡命，哥廷根学派解体。 当时出逃德国的科学家中包括：爱因斯坦、冯·诺依曼、哥德尔、费勒等一大批科学家。这都是后话。

希尔伯特和他的 23 个问题

大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862～1943），德国著名数学家。中学时代他就对数学表现出浓厚的兴趣，善于灵活和深刻地掌握以至能应用老师讲课的内容。

他与17岁便拿下数学大奖的著名数学家闵可夫斯基 （爱因斯坦的老师） 结为好友，同进于哥尼斯堡大学，最终超越了他。

希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期，每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。

按时间顺序，他的主要研究内容有：不变量理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。 在这些领域中，他都做出了重大的或开创性的贡献。

他指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。” 1900年，在世界数学大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。

这23个问题统称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用。

曾有人问希尔伯特：为什么不去解决这些难题呢？ 希尔伯特回答说：我不想杀死会下金蛋的鹅。 随着历史进程的推进，这些数学问题一个一个被解决，剩下的几乎解不开。 下面我们来看看这 23 个问题都有哪些？
No.1  连续统假设 状态： 部分解决 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设，也成为希尔伯特第 1 问题。 连续统假设，数学上关于连续统势的假设。该假设是说，无穷集合中，除了整数集的基数，实数集的基数是最小的。 1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性，并于1940年发表。 1963年美国数学家保罗·柯恩以力迫法证明连续统假设不能由策梅洛-弗兰克尔集合论（无论是否含选择公理）推导。

因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。

No.2  算术公理的相容性

状态： 部分解决

欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。 在公理系统中如果不能推导出两个互相矛盾的命题（即互为反命题的命题），这个公理系统就称为相容的或无矛盾的，也称和谐的。 希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。 1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法，但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界没有共识。

1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。

No.3  两个等底等高四面体的体积相等问题

状态： 已解答

答案： 否定 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。 由 希尔伯特的学生 M.W.德恩 于 1900 年以一反例证明了是不可以的。 No.4  两点间以直线为距离最短线问题

状态： 部分解决

希尔伯特对于这个问题的定义过于含糊。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。 在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未完全解决。 1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。 No.5  连续群的解析性

状态： 已解答

答案：肯定 一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的 这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？ 中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、庞德里亚金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。 No.6  物理学的公理化

状态： 部分解决

希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。

然而，尽管公理化已经开始渗透到物理当中，量子力学中仍有至今不能逻辑自洽的部分（如量子场论），故该问题未完全解决。

No.7  某些数的无理性与超越性

状态： 已解答

答案：肯定 分别于1934年、1935年由苏联数学家亚历山大·格尔丰德与德国数学家特奥多尔·施耐德独立地解决。创造的格尔丰德-施奈德定理（Gelfond–Schneider theorem）是一个可以用于证明许多数的超越性的结果。 No.8  素数问题

状态： 部分解决

三大问题包括：黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。 2018年9月，美国人迈克尔·阿蒂亚宣布他证明了黎曼猜想。哥德巴赫猜想的最佳结果属于中国数学家陈景润（1966），但离最解决尚有距离。 孪生素数问题的最佳结果属于另一位中国数学家张益唐，2013年5月，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，发现存在无穷多差小于7000万的素数对，从而在孪生素数猜想这个此前没有数学家能实质推动的著名问题的道路上迈出了革命性的一大步。这一差值已被缩小至246。 No.9  在任意数域中证明最一般的互反律

状态： 部分解决

该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家埃米尔·阿廷（1927）解决。 埃米尔·阿廷证明在阿贝尔扩张的情况下答案是肯定的；此外的情况则尚未证明。 No.10  丢番图方程的可解性

状态： 已解答

答案：否定 希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？ 能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解，也叫不定方程可解性。

1970年，苏联的 IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。

No.11  系数为任意代数数的二次型

状态： 部分解决

有理数的部分由哈塞于1923年解决。 No.12  一般代数数域的阿贝尔扩张

状态： 未解决

埃里希·赫克于1912年用希尔伯特模形式研究了实二次域的情形。虚二次域的情形用复乘复乘理论已基本解决。一般情况下则尚未解决。 No.13  用只有两个变数的函数解一般的七次方程

状态： 部分解决

七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x （a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957）证明对于单值函数，答案是否定的。 维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。 No.14  证明某类完备函数系的有限性

状态： 已解答

答案：否定 这和代数不变量问题有关。
1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。 No.15  舒伯特计数演算的严格基础

状态： 部分解决

一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。 希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。 No.16  代数曲线和代数曲线面的拓扑问题

状态： 未解决

这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论 的极限环的最大个数和相对位置，其中 X、Y 是 x、y 的 n 次多项式。 苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了 n=2 时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。

No.17  半正定形式的平方和表示

状态： 已解答

答案：肯定 「半正定形式的平方和表示」也就是说。把有理函数写成平方和分式。 一个实系数n元多项式对一切数组 (x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年埃米尔·阿廷解决此问题，并提出实封闭域。 No.18  非正多面体能否密铺空间 球体最紧密的排列

状态： 已解答

答案： 肯定 1911年比伯巴赫做出“n 维欧氏几何空间只允许有限多种两两不等价的空间群”；莱因哈特证明不规则多面体亦可填满空间；托马斯·黑尔斯于1998年提出了初步证明，并于2014年8月10日用计算机完成了开普勒猜想的形式化证明，证明球体最紧密的排列是面心立方和六方最密两种方式。 No.19  拉格朗日系统之解是否皆可解析

状态： 已解答

答案： 肯定

1956年至1958年 Ennio de Giorgi 和约翰·福布斯·纳什分别用不同方法证明。

No.20  一般边值问题

状态： 未解决

一般边值问题也叫“所有边值问题是否都有解”，这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。还在继续研究。

No.21  证明有线性微分方程有给定的单值群

状态： 已解答

答案：肯定 具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明已由希尔伯特本人（1905）和 H.罗尔（1957）的工作解决。 No.22  由自守函数构成的解析函数的单值化

状态： 部分解决

它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年 P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。

No.23  变分法的进一步发展出

状态： 未解决

这并不是一个明确的数学问题，而是一个开发性问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。

后记

实际上希尔伯特本人提出的原本的 “23 个问题” 中很多并不是具体的问题，而是数学的研究方向。由于希尔伯特个人巨大的影响，使得许多数学家研究他的问题，很大程度上促进了数学的发展。

科学在每个不同时代会产生不同问题，而这些问题的解决又对科学发展有深远的意义。虽然 23 个问题中有不少问题被证明解决，但并不意味着数学家们就此停止脚步，不同问题还有不同解决方法，不同解决方法中是否存在不足之处或不充分的地方，都需要更多数学家们继续推动。 参考资料：
1. 数学可能有穷尽的一天吗？ https://www.zhihu.com/question/55307215/answer/143887137 2.为什么说希尔伯特和庞加莱之后人类再无数学家？ https://www.zhihu.com/question/21401664/answer/802714573 3. https://zh.wikipedia.org/wiki/希尔伯特的23个问题

BOOK TIME

本书介绍了从代数、几何、图论、数论中采撷出的6 个经典数学问题。第一章介绍多项式方程根式解问题。第二章介绍几何三大问题，即用尺规三等分角、倍立方，以及化圆为方。第三章介绍欧几里得第五公设问题。第四章介绍四色问题。第五章介绍费马问题。第六章介绍素数问题。通过这几个问题的清晰介绍，读者可对这些问题的来龙去脉获得清楚认识。另外，书中还穿插了数学家的逸事及相关的数学思想。通过这种介绍，读者可从更多侧面了解“数学家是什么样的人”，同时可对许多重要数学思想有更透彻的认识。本书是一本数学科普读物，可供广大师生及所有数学爱好者阅读。 特别提示 可开发票，请在购书备注中留下开票信息（ 单位、税号和邮箱 ），确认收货后，由出版社开具。

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