如何检测时间序列中的异方差性

如果时间序列的方差随时间变化，则该时间序列是异方差的。否则，数据集是同方差的。

异方差性影响时间序列的建模。因此，检测和处理这种情况很重要。

介绍

下面的图显示了热门航空公司乘客的时间序列。你可以看到整个系列的变化是不同的。该系列的后半部分方差较高。这也是数据水平也更高的地方。

该 数据集 ^[1] 在 pmdarima Python 库中公开可用。

方差的变化对预测来说是有问题的。它会影响适当模型的拟合，从而影响预测性能。

但是，仅目视检查是不切实际的。你如何以更系统的方式检测和处理异方差性？

检测异方差

你可以使用统计检验检查时间序列是否异方差。其中包括：

• White 测试 ^[2] ；
• Breusch-Pagan 测试 ^[3] ；
• Goldfeld–Quandt 检验 ^[4]

statsmodels Python 库实现了上述三个测试。这是将这些包装在一个类中的片段：

import pandas as pd
import statsmodels.stats.api as sms
from statsmodels.formula.api import ols

TEST_NAMES = [ 'White' , ' Breusch -Pagan' , ' Goldfeld -Quandt' ] 
FORMULA = 'value ~ time' 

class Heteroskedasticity:
  @staticmethod 
  def het_tests ( series: pd.Series, test: str ) -> float : 
     """        
    异方差测试        
    :param series: 单变量时间序列作为 pd.Series
        :param test: 表示测试的字符串。'white','goldfeldquandt', 或者 'breuschpagan'之一
        :return: p 值作为浮点数。
        如果 p 值很高，我们接受零假设，即数据是同方差的
        """ 
        assert test in TEST_NAMES, 'Unknown test'
  
        series = series.reset_index(drop= True ).reset_index() 
        series.columns = [ ' time' , 'value' ] 
        series[ 'time' ] += 1

         olsr = ols(FORMULA, series).fit()
        if test == 'White'：
            _, p_value, _, _ = sms.het_white(olsr.resid, olsr.model.exog) 
        elif test == 'Goldfeld-Quandt' : 
            _, p_value, _ = sms.het_goldfeldquandt(olsr.resid, olsr.model. exog, alternative= 'two-sided' ) 
        else : 
            _, p_value, _, _ = sms.het_breuschpagan(olsr.resid, olsr.model.exog) 
        return p_value
      
    @classmethod 
    def  run_all_tests ( cls, series: pd.Series ): 
        test_results = {k: cls.het_tests(series, k) for k in TEST_NAMES} 
        return test_results
      
    @staticmethod
    def get_residuals(series: pd.Series):
        series = series.reset_index(drop=True).reset_index()
        series.columns = ['time', 'value']
        series['time'] += 1
        olsr = ols(FORMULA, series).fit()
        return olsr.resid

Heteroskedasticity类包含两个函数。函数 het_tests 应用特定测试（White、Breusch-Pagan 或 Goldfeld-Quandt）。函数 run_all_tests 一次应用所有三个测试。这些函数的输出是相应检验的 p 值。

下面介绍如何将此代码应用于图 1 中的时间序列。

from pmdarima.datasets import load_airpassengers 
from src.heteroskedasticity import Heteroskedasticity 
series = load_airpassengers( True ) 
test_results = Heteroskedasticity.run_all_tests(series) 
# {'Breusch-Pagan': 4.55e-07,
# 'Goldfeld-Quandt': 8.81e-13,
# 'White': 4.34e-07}

所有测试的 p 值都接近于零。因此，你可以拒绝原假设。这些检验很好地证明了异方差性的存在。

这是时间序列前半部分和后半部分的残差分布：

这两个部分的残差分布不同。Goldfeld-Quandt 检验使用这种类型的拆分来检验异方差性。它检查两个数据子样本中残差的方差是否不同。

转换数据

时间序列中异方差性的常见补救措施是转换数据。对时间序列取对数有助于稳定其变异性。

这是与之前相同的时间序列，但采用对数标度：

这一次，该系列的可变性看起来很稳定。我们使用对数标度时间序列重新运行测试：

import numpy as np 
test_results = Heteroskedasticity.run_all_tests(np.log(series)) 

# {'Breusch-Pagan': 0.033, 
# 'Goldfeld-Quandt': 0.18, 
# 'White': 0.10}

还原log转换

假设你正在使用对数log转换数据进行预测。此时，你需要将预测恢复到原始比例。这是通过逆向转换完成的——在对数的情况下，你应该使用指数。

因此，预测过程的步骤如下：

1. 变换数据以稳定方差；
2. 拟合预测模型；
3. 获取预测，并将它们恢复到原始比例。

下面是一个例子。

import numpy as np 
from pmdarima.datasets import load_airpassengers 
from pmdarima.arima import auto_arima 
from sklearn.model_selection import train_test_split 
series = load_airpassengers( True ) 

# 保留最后 12 个点用于测试
train, test = train_test_split(series, test_size= 12 , shuffle= False ) 
# 稳定训练中的方差
log_train = np.log(train) 

# 构建 arima 模型，m 是季节周期（每月）
 mod = auto_arima(log_train, seasonal= True, m= 12 ) 

# 获取日志预测
log_forecasts = mod.predict( 12 ) 

# 恢复预测
forecasts = np.exp(log_forecasts)

总结

• 如果方差不是常数，则时间序列是异方差的；
• 你可以使用统计检验来检验时间序列是否异方差。其中包括 White Breusch-Pagan 或 Goldfeld–Quandt 检验；
• 使用对数变换来稳定方差；
• 不要忘记将预测恢复到原始比例。

参考资料