不能穿过自己的多面体
环球科学约 3 分钟非鲁珀特多面。制图：阿曼达・蒙塔涅斯（Amanda Montañez）
撰文 | 爱玛·R. 哈森（Emma R. Hasson）
翻译 | 张宇哲
你能否在正方体上钻一个洞，并让另一个完全相同的正方体从中穿过？这个问题于17世纪由普法尔茨的鲁珀特亲王（Prince Rupert of the Rhine）首次提出，并很快得到肯定的答案：想象将一个正方体以其任意顶点为支点立起来，随后沿竖直方向钻一个足够大的正方形孔，就能让另一个与之等大的正方体从中穿过。
后来，数学家发现了越来越多具有这种性质的三维形状，它们被统称为“鲁珀特体”（Rupert）：能够钻出一个允许与自身相同几何体穿过的直孔。2017年，研究人员正式提出一个猜想：所有由平面形状组成、表面无凹陷的三维形状，即所谓的凸多面体，都是鲁珀特体。此后多年来，尚未有人推翻这一猜想。
鲁珀特体。制图：阿曼达・蒙塔涅斯（Amanda Montañez）
如今，数学家展示了一种全新的形状—— “非鲁珀特多面体”（noperthedron）。它有90个顶点、240条边、152个面和一个非常独特的性质：“非鲁珀特性”（nopert，这是由“Nope”和“Rupert”组成的合成词，表示“非鲁珀特”）。奥地利科技公司A&R Tech的数学家谢尔盖·尤尔克维奇（Sergey Yurkevich）与奥地利国家统计局的数学家雅各布·施泰宁格（Jakob Steininger）最近在发布于预印本文库arXiv的一篇论文中介绍了这一新的几何形状。尽管该非鲁珀特多面体并非首个被怀疑具有非鲁珀特性质的形状，但却是首个得到严格证明的——研究人员专门设计了它的几何特征以便于证明。借助定制计算机程序，尤尔克维奇和施泰宁格验证了无论怎样平移或旋转上述非鲁珀特多面体，都无法使另一个完全相同的多面体穿过它。
多年来，尤尔克维奇和施泰宁格一直致力于研究鲁珀特性质，二人之间的合作由来已久——他们在少年时期备战数学奥林匹克竞赛时就相识了。施泰宁格表示：“经过这么多年的相处，我们非常了解彼此的长处。”尤尔克维奇补充道：“如果我们中有一人说了不合逻辑的话，那么另一个人会毫不犹豫地指出‘我完全不懂你在说什么’。”
他们最早是在大学时期从视频网站上了解到鲁珀特体的，并很快发现相关问题仍悬而未决。于是2020年，尤尔克维奇和施泰宁格首次在论文中公开提出：并非所有凸多面体都具有鲁珀特性质。如今，五年过后，他们终于严格证明了这一猜想。
尤尔克维奇和施泰宁格用一个五维立方体来描述所有可能的非鲁珀特多面体钻孔方式，每一个维度对应多面体的一种旋转方式。他们巧妙结合了数学推理与计算机编程，系统地排除了全部维度中的可能性。来自泰国朱拉隆功大学、研究鲁珀特性质的数学家蓬本提·通坡（Pongbunthit Tonpho）表示：“他们的方法富有创造性，同时又极其严谨，我没想到会有人这么快推翻这一猜想。”
本文选自《环球科学》2025年12月刊“前沿”栏目。
本文来自微信公众号“环球科学”。如需转载，请在“环球科学”后台回复“转载”，还可通过公众号菜单、发送邮件到[email protected]与我们取得联系。相关内容禁止用于营销宣传。
-电商广告-
戳图片立即订阅