500万的房子400万卖了，200万又买回来，亏了还是赚了?

刚看到个贴子，说有人500万买的房子，400万卖掉，过两年又花200万买回来，问亏了还是赚了。网友回帖有的说整体只花了300万买到同一套，血赚；有的说中介税费加上时间成本，肯定是亏麻了。

我觉得这事吧，先别算账面价，先想两个问题：第一，中间那段时间，你是不是确实需要那400万去救急、创业或者换城市？如果那时候不卖，后面很多机会可能都没了，那些看不见的收益也得算在里头。第二，再买回来时，这套房是不是当下最合适的选择？地段、学区、通勤都满足需求，那多花一点，就当是为人生重新“买门票”。

房子本质是生活工具，不是K线图。只盯着亏赚，很容易被房价牵着情绪走。

力

算法题：阶乘函数后 K 个零

昨天晚上十一点多，我在电脑前正打算关机睡觉，结果微信蹦出来一条消息： “东哥，你讲讲那个《阶乘函数后 K 个零》呗，看题解看懵了……”

好嘛，本来想摸鱼，结果又被你们按回算法频道了 😂

那就边聊天边说说这道题，顺便用 Python 写个你以后面试能直接拿出来用的模板。

题目名字听着有点严肃：“阶乘函数后 K 个零”。 实际意思是这样的：

• 定义一个函数 f(n) 表示 n! 这个数尾巴上有多少个零

• 比如：

• 5! = 120，最后 1 个零，所以 f(5) = 1
• 10! = 3628800，最后 2 个零，所以 f(10) = 2

题目给你一个整数 k，问你：

有多少个非负整数 n，让 f(n) = k？

注意哈，是“有多少个 n”，不是“求这个 n 是多少”。 这个就是 LeetCode 那道挺经典的题。

这个你可以这么想： 一个整数末尾有多少个零，其实就是里面能拆出多少个 10。 而 10 = 2 * 5，在 n! 里面，2 的个数远远比 5 多，所以决定零的个数的是质因子 5 的个数。

也就是说：

f(n) = n! 里面一共包含多少个因子 5

那怎么算呢？ 不能一个个数，那样太折磨。

有个很经典的公式：

f(n) = floor(n / 5) + floor(n / 25) + floor(n / 125) + ...

意思就是：

• n / 5：统计有多少个数是 5 的倍数（每个至少贡献一个 5）
• n / 25：因为像 25、50 这种会多贡献一个 5
• n / 125：像 125 这种会贡献三个 5，前面只算了两个，还差一个
• 一直除下去，直到结果为 0

这个公式就已经把 f(n) 搞定了。

先写个统计尾零的小函数（Python）

这个函数你以后遇到任何“n! 的尾零个数”都能直接用：

deftrailing_zeros(n: int) -> int:
"""
    返回 n! 末尾有多少个 0
    """
    res = 0
while n > 0:
        n //= 5
        res += n
return res

随便试几个：

• trailing_zeros(5) = 1
• trailing_zeros(10) = 2
• trailing_zeros(25) = 6（因为 25=5²，会多贡献一个 5）

到这一步为止，你已经搞清楚“算 f(n)”了。 但题目真正恶心人的地方在后面：给你 k，反过来问你多少个 n 满足 f(n) = k。

f(n) 有什么怪性格？

简单捋一下 f(n) 的特点：

1. n 越大，n! 越大，尾零一定不会变少 👉 所以 f(n) 是一个单调不减函数

2. 不是每个整数 k 都一定能取到 比如有些区间是“跳过去”的，这也是为什么答案有时候是 0

3. 很关键的一点（这题核心结论）：

   对于任意一个 k，要么没有 n 让 f(n)=k， 要么正好有 5 个连续的 n 满足 f(n)=k

也就是说：

• 要么答案是 0
• 要么答案是 5

这也是题目名字里那个“K 个零”的真正含义：让你求的是“原像大小”（preimage size）。

怎么从 k 反推回 n？

既然 f(n) 单调不减，我们最顺手的工具就是——二分搜索。

你可以先想一件事： 大概 n 多大的时候，f(n) 会到 k 呢？

每 5 个数里至少贡献一个 5，所以很粗糙估计：

5 * k 这个位置，尾零至少有 k 个

实际上：trailing_zeros(5 * k) >= k 这句话是肯定成立的。

那我们可以把搜索区间写成：

left = 0
right = 5 * (k + 1)   # 稍微放宽一点，绝对够用了

二分的目标是：看看区间里有没有某个 n，使得 trailing_zeros(n) == k。

如果有，我们知道这样的 n 会连着 5 个，所以答案是 5； 如果没有，那就是 0。

二分查 k 的“原像”

把刚才的想法翻成 Python 代码，大概是这样：

defpreimage_size_fzf(k: int) -> int:
"""
    返回满足 trailing_zeros(n) == k 的非负整数 n 的个数
    结论：要么是 0，要么是 5
    """
# 搜索区间 [0, 5 * (k + 1)]
    left, right = 0, 5 * (k + 1)

while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        z = trailing_zeros(mid)

if z < k:
            left = mid + 1
elif z > k:
            right = mid - 1
else:
# 一旦找到一个 mid 使得 f(mid) == k
# 根据性质，一定有连续 5 个，这里直接返回 5
return5

# 整个区间都没找到，说明没有 n 让 f(n) == k
return0

这段代码干了几件事：

• 用 trailing_zeros(mid) 算当前中点的尾零数
• 尾零太少就往右找，太多就往左找，刚好等于就成功
• 因为 f(n) 单调不减，二分是安全的，不会漏

时间复杂度大概是：

• 每次 trailing_zeros 是 O(log₅ n)
• 二分本身是 O(log n)
• 合起来 O((log n)²)，实际跑起来很快，在线评测完全没压力。

顺带：真想把那 5 个 n 找出来也行

虽然题目只问有几个，但你要是好奇，想把那 5 个 n 具体求出来，也不难。

思路很简单：

• 先用上面那套二分，找出最小的 n，使得 f(n) = k
• 那后面的 n+1, n+2, n+3, n+4 也都会满足 f(n) = k

再做一次“左边界二分”就行，这里就不展开啰嗦了，你面试要真遇到，再在这一层上加个二分即可。