答案｜正方形里的圆

在这张图中，一个红色圆内切于一个蓝色正方形，使得正方形四个顶角处形成空隙。其中两个空隙各嵌入一个更小的圆，每个小圆恰好与红色圆以及蓝色正方形顶角的两边相切。

这反过来又在两个正方形顶角处留下新的空隙，接着再用更小的圆填充，如此循环往复，直至小圆趋于无穷小。

问题是，整个图形内接于一个边长为1的灰色正方形中，那么所有这些圆的周长总和是多少？

答案：

众所周知，圆的周长等于其直径与圆周率π的乘积。因此，直径依次为d₁、d₂、d₃……的若干个圆的总周长是：πd₁+πd₂+πd₃+……=π（d₁+d₂+d₃+……)。

这意味着，只要计算出所有圆的直径之和，再乘以π即可得到答案。而且由于对称性，这些圆的总周长不随小圆位置的变化而变化。

这是因为随着这些圆无限缩小，越来越趋近于正方形顶角，所有圆的直径之和将等于蓝色正方形对角线（图中所示虚线）的长度，而这正是外接灰色正方形的边长，即1。这样一来，所有圆的周长总和就等于π与1的乘积，也就是π。

你答对了吗？