窃取无穷的数学家：他在改写数学史的论文里，抹去了挚友的名字
环球科学约 15 分钟2025年3月12日，当德米安·戈斯（Demian Goos）跟着卡琳·里希特（Karin Richter）走进她的办公室时，他首先注意到的是那尊半身像。它坐落在房间角落一个高高的底座上，雕刻着一位秃顶、年迈、神情坚毅的绅士。戈斯丝毫没有看到那个让他一年多来念念不忘的焦虑孤独的男人的影子——这正是历史记忆中的格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）。他是一位学界泰斗，他坚毅、倔强、意志坚定，不顾同行的哗然与反对，决心掀起一场数学革命。
约150年前，康托尔在德国哈雷大学掀起了这场革命。1874年，他在这里发表了数学4000年历史上最重要的论文之一。这篇论文将无穷这一概念清晰地阐述出来。在过去，这个概念一直被视为数学“毒瘤”，人人都避之唯恐不及。康托尔的文章迫使数学家重新审视一些长期坚持的基本假设，动摇了数学的根基。它还催生了一个新的研究领域，并最终彻底改写了整个数学体系。
戈斯是一位数学家，也是一位科学记者，他从德国美因茨出发，乘坐五个小时的火车来到哈雷，只为了查看一些来自康托尔遗产的信件。他已经看过其中一封信的扫描件，并且相当确定其他信件的内容，但他还是想亲眼看看这些信件。
里希特示意戈斯坐下。和康托尔一样，她整个职业生涯都在哈雷大学度过，先是担任数学研究员，退休后又担任了数学史讲师。她从桌上散落的书籍和文件堆中拿起一个薄薄的蓝色活页夹。活页夹里有几十个塑料文件袋，每个文件袋里都装着一封古老的手写信。
戈斯专注地翻阅着这些信件。当他翻到某一页时，他突然僵住，呼吸变得急促起来。令他震惊的并不是字迹。在他对康托尔的研究中，他已经习惯了那种奇特、几乎难以辨认的哥特式字体，即“克伦特斯克里特体”（kurrentschrift）——德国人一直使用这种字体直至约1900年。也不是信件结尾签名的问题。他知道，德国数学家里夏德·狄德金（Richard Dedekind）是康托尔探索无穷、夯实数学基础过程中的关键人物，两人之间曾有过大量的信件往来。
真正让他震惊的是日期：1873年11月30日。戈斯此前从未见过这封信。没有任何人见过。人们认为这封信早已遗失，或是毁于第二次世界大战的动荡，也可能是被康托尔本人销毁了。
而这封信足以改写康托尔一生的功名。它最终证明，康托尔1874年发表的著名论文——那篇后来重塑数学体系的论文——其实隐藏了另一位数学家的贡献。
心智的碰撞
康托尔1845年出生在俄罗斯圣彼得堡。在他11岁那年，父亲病倒，全家为躲避俄罗斯恶劣的冬季迁往德国。此后，康托尔在德国度过了余生，连原本的口音也逐渐消失。然而，在这个第二故乡里，他始终未曾真正感到自在。
18岁那年，父亲去世后，康托尔用父亲的遗产进入德国柏林大学求学。那时的柏林是数学研究的重镇，一场争论正在那里悄然酝酿。
问题出在无穷上。数千年前，数学家提出了这一抽象概念，用来应对一个简单却棘手的问题：无论你说出多大的数，总还能找到一个更大的数。但无穷本身也带来了新的麻烦。古希腊哲学家芝诺（Zeno）曾围绕它提出了各种各样的悖论。一旦引入无穷，大小、加法这类原本清晰直观的概念似乎都变得难以理解。
数千年来，数学家通过一种默契来规避这些问题：无穷只是一种有用的技巧，而非真正的数学对象。正如伟大的数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在1831年的一封信中所说，无穷不过是一种“修辞手法”（façon de parler）。
但几十年后，无穷变得越来越难以回避。数学家开始重新审视最基本的概念，希望让它们变得更加精准。他们甚至意识到，自己对于“数究竟是什么”的理解，也建立在不稳固的基础之上。在此之前，人们主要将数视为代数方程的答案：整数、分数、平方根。但当时，一些数学家想进一步探究，这些不同的数系之间究竟存在怎样的关联，以及是否还有尚未发现的新种类。
其中一位探索者正是狄德金。1858年，他找到了一种严格定义实数的方法——实数即数轴上出现的任意数。但他并没有将这一发现公之于众。狄德金是一个思维缜密、行事审慎的人，他总喜欢与他人反复讨论自己的研究成果，直到他确信自己完全正确。与此同时，1870年，康托尔在不了解狄德金研究成果的情况下完成了研究生学业，并开始研究某些方程的实际应用问题。他当时对有关数本质的哲学问题并不感兴趣，但他的工作最终促使他提出了自己对于实数的定义。
1872年初，狄德金和康托尔各自独立地发表了他们的研究成果。他们都做了一件激进的事情——重新定义数轴。在他们的论文发表之前，数学界曾普遍认为，尽管数轴看起来像一个连续的物体，但只要放大到足够精细，最终还是能发现其中存在缝隙。
取数轴从0到1的那一段。它包含了无穷多个分数：对于任意两个分数，你总能放大数轴，找到介于它们之间的另一个分数。但无论你放大多少倍，总有一些数，比如，你永远无法企及。这里存在缝隙，也意味着无穷并不完整。
然而，在他们1872年发表的论文中，康托尔和狄德金找到了一种构建完备数轴的方法。无论你如何放大数轴上的任意一段，它仍然是一个由无穷多个实数构成的连续空间。忽然之间，数学家长期畏惧的无穷怪物，再也无法被赶到数轴上某个遥不可及的角落。它隐匿在数轴的每一处缝隙之中。
那年夏天，康托尔和狄德金都去了瑞士风景如画的湖畔小镇盖尔绍（Gersau）度假。在那里，他们第一次相遇，并一起漫步交谈，探讨彼此的想法。
在旁观者看来，沿着湖边漫步的两人实在是一对奇怪的组合。27岁的康托尔身材高大，肩膀宽阔，性格豪爽。他享受同行的关注，但内心深处又非常焦虑别人如何看待自己。这促使他行动迅速，力求快速且频繁地发表成果。狄德金则比康托尔年长13岁，但个子矮得多，性格也内敛得多，而且他完全没有康托尔那种急于发表成果的劲头。事实上，狄德金一生发表的研究成果都相对较少。
但他们一见如故。在后来的书信往来中，两人多次回忆起在湖边探讨数学的美好时光。他们将彼此视为伙伴和朋友。只是，这段情谊并没有持续下去。
特洛伊木马
1873年12月7日，他写信给狄德金，说他认为自己终于成功了：“但如果我在自欺欺人，我肯定找不到比你更宽容的评判者了。”他详细阐述了自己的证明，但这个证明冗长又复杂。狄德金回信提出了一种简化康托尔证明的方法，构建了一个更清晰的论证，同时又不失严谨性和准确性。与此同时，在收到狄德金的来信之前，康托尔就已经给他寄去一个类似的简化证明的思路，尽管他并没有像狄德金那样详细推导出具体的细节。
康托尔审视着自己手中的结果：两个集合，同样都是无穷的，但其中一个似乎比另一个更大。这其中的含义是革命性的。他开始构想，不只是单一的一个无穷，而是完整的无穷层级体系。如果无穷的集合可以如此具体地进行比较，那么它们一定是真实的数学对象，而不仅仅是一种“修辞手法”。他意识到，自己的证明有可能撼动整个数学界的根基，但同时也会惹恼一些最杰出的数学家。
其中一位人物是利奥波德·克罗内克尔（Leopold Kronecker），他是一位对无穷深恶痛绝的数学思想家。他不相信数轴上被填得满满当当的角落和缝隙。数学家费迪南德·冯林德曼（Ferdinand von Lindemann）曾证明了π不是代数数，也就是说，你绝不可能列出一个解为π的普通代数方程。据冯林德曼所说，克罗内克尔曾告诉他，他的工作毫无价值，因为所谓“超越数”根本不存在。
康托尔一直致力于在数学领域有所建树。但到了19世纪90年代，他的雄心壮志却使他陷入了严重的抑郁状态（左图）。对于利奥波德 · 克罗内克尔而言，无穷在数学中毫无意义。当康托尔对此观点提出质疑时，克罗内克尔便开始诋毁他的声誉，并阻止他发表相关成果（右图）。
克罗内克尔也是数学界举足轻重的一位权威人物。他是当时世界顶尖的数学出版物之一《克雷勒杂志》（Crelle's Journal）的编辑委员会成员。而且他从不吝于利用自己巨大的影响力来推行自己的保守立场。很多时候，他能决定哪些研究成果能迅速被其他数学家知晓，甚至能否被知晓。康托尔在与导师卡拉·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）讨论后，决定将研究成果投给《克雷勒杂志》。他认为自己能在这里将无穷的概念带入主流视野，向全世界展示上帝的智慧，成为数学界一颗璀璨的明星。
康托尔与克罗内克尔关系良好。但几年前，狄德金抢在克罗内克尔之前取得了一项重要成果，克罗内克尔对他的厌恶众所周知。如果康托尔与克罗内克尔的死对头共同撰写一篇论文——一篇公开宣称无穷存在不同大小的论文——那么这篇论文可能永远都无法发表。
于是他做出了两个决定。首先是建立一个数学特洛伊木马。魏尔斯特拉斯对证明代数数可数这一成果极为兴奋。（后来他还将这一成果用于证明自己的一条定理。）因此，康托尔选了一个具有误导性的标题，仅提到了代数数这一概念。但他把那个证明——狄德金的证明——看作一个诱饵，一个可以用来撬开无穷禁忌之门的楔子。在撰写论文时，康托尔把关于代数数的证明放在了前面。而在其下，他补充了自己的证明，即实数无法进行计数——也就是狄德金证明的简化版。康托尔淡化了这部分内容的实际意义。戈斯说：“他特意选择了不会让克罗内克尔以及那些厌恶无穷的人产生怀疑的措辞。”
康托尔的第二个决定是将全部成果都归到自己名下。他小心地抹去了合作者贡献的每一丝痕迹，包括那些知情人一眼就能认出是狄德金风格的零星术语。按照康托尔一贯的风格，他在一天之内就匆匆将论文拼凑好，并提交给了《克雷勒杂志》。第二天早上，也就是1873年的圣诞节，他给狄德金寄了一封信，告诉他魏尔斯特拉斯已说服自己发表论文。“正如您将看到的，”他写道，“我非常珍视您的评论，您对某些要点的阐述方式也对我帮助极大。”
书写这段历史
康托尔欺骗行为的第一个证据是在20世纪初由另一位伟大的德国数学家揭露的。埃米·诺特（Emmy Noether）是狄德金的追随者，她一直对狄德金在数学上的远见赞不绝口。她常对学生说：“一切真相都写在狄德金的著作之中。”1930年，她正在将狄德金的所有数学著作汇编成四卷本全集时，偶然发现了他保留的一部分与康托尔的信件往来。她随后与法国哲学家让·卡瓦利斯（Jean Cavaillès）合作，准备将这些信件也整理出版。
那时狄德金和康托尔都已去世十余年。诺特和卡瓦利斯在接下来的几年里一直在寻找狄德金遗产中的信件。1933年，阿道夫·希特勒（Adolf Hitler）上台后，身为犹太人的诺特从德国逃往美国，两年后因癌症去世。但卡瓦利斯在1937年完成了他们的项目。
书中呈现的这些往来信件内容颇为奇特。开头是一连串密集的信件往来，时间始于1872年康托尔和狄德金初次相识后不久。这些信件来自狄德金的遗物，只包含他收到的信件，并不包括他写给康托尔的信件。随后，信件往来在1874年1月突然中断，之后便是数年的沉寂。等到1877年两人恢复信件往来时，狄德金写给康托尔的信件也一同出现了。显然，狄德金决定保留他寄给这位数学家同行的所有信件的副本。
此外，还有一份似乎是狄德金在读到康托尔1874年发表于《克雷勒杂志》的论文后，写给自己的笔记。在笔记中，他讲述了自己如何将论文中的第一个证明以及第二个证明的修订稿寄给康托尔，结果几个月后，却发现这两个证明“几乎一字不差地”以康托尔的名义单独发表在期刊上。
狄德金从未公开提出这一指控，诺特和卡瓦利斯也未对此发表评论。“我想，对他们而言，不发表任何意见，让信件本身来说明一切，是经过深思熟虑的决定，”西班牙塞维利亚大学的数学史学家、数学哲学家何塞·费雷罗斯（José Ferreirós）说道，“这就是当时的荣誉准则。”再没有其他人注意到这一点——至少在出版物中没有。康托尔的早期传记由他的数学追随者撰写，只是单纯地赞扬了他的天才。
几十年后，伊沃尔·格拉顿-吉尼斯（Ivor Grattan-Guinness）等历史学家重新审视了康托尔与狄德金之间的交流记录。格拉顿-吉尼斯曾竭力寻找狄德金1873年寄给康托尔的信件——这些信件或许能证明康托尔当年存在过错。据说这些信件在康托尔去世后被留在了哈雷大学的办公室里，但如今下落不明。格拉顿-吉尼斯推断，它们很可能在第二次世界大战期间遗失，或是在1945年美国和苏联军队占领哈雷后引发的破坏中损毁。
由于找不到这些信件，格拉顿-吉尼斯及同时代的学者决定不指控康托尔违背了学术道德。一些人认为，康托尔可能得到了狄德金的许可；另一些人则为他的选择开脱，因为他是这场交流的发起者，并且提出了更为重要的第二个证明的最初版本。
戈斯制作了一档关于数学和科学历史的播客节目。正是他在这一播客节目中的研究工作，让他发现了有关康托尔和狄德金之间真实历史故事的新证据。
但在2024年，当戈斯在制作播客节目时了解到这段历史后，他感到极为愤怒。他只找到了一篇明确提及康托尔过错的文章。在1993年的一篇论文中，费雷罗斯指责康托尔窃取了狄德金的成果并发表，而且未注明出处。但其他康托尔传记作者很快反驳了费雷罗斯的说法，认为这是对所发生事件的极端解读。况且，由于缺少狄德金那封失踪的信件，就没有能真正证明这桩“罪行”的证据，只有狄德金事后写下的笔记。人们又怎能确信笔记上的说法就是真的呢？
意外收获
直到戈斯找到了里希特。2025年3月，他来到她的办公室，打开了她递给他的那本薄薄的蓝色活页夹。
此刻摆在他面前的，正是他一年多来一直希望找到的那封信。他确信无疑。狄德金的字迹工整繁复，某种程度上甚至比康托尔参差潦草的笔迹更难辨认。但戈斯仍能看出信纸上反复出现一个短语“algebraischen Zahlen”这个短语，也就是“代数数”。而在信末，落款清晰可辨：“致以最诚挚的问候，您最忠实的R.狄德金——布伦斯瓦赫（Braunschweig），1873年11月30日。”里希特知道自己手中有什么吗？戈斯请求获得一份扫描件。里希特表示，她会考虑一下。
在乘火车回家的路上，戈斯反复思考着自己刚发现的事情。他知道情况相当微妙。当他提及康托尔对狄德金的背叛时，德国数学家曾表现出不屑的态度。“德国人通常不太习惯谈论‘自豪’这种情绪，”戈斯说道，“但我们确实为康托尔感到自豪。”很难找到比里希特更狂热的康托尔崇拜者了，而且她似乎并不急于分享那些扫描件。
两天后，当他再次拨打里希特电话时，他心里一沉：电话已经停用。他开始责备自己为何太过客气，没有在里希特的办公室里拿出手机去拍照。接下来的一个月里，他不停地联系他在哈雷认识的每一个人，恳求他们想办法联系到里希特。“我开始觉得自己快要疯了，”他说，“她真的存在吗？”最后，里希特的一位同事告诉他她下次演讲的时间和地点。4月，他又进行了一次往返10个小时的旅程。里希特解释说，她只是换了电话运营商。她递给他一份扫描件和转录稿。虽然只是一封信，但正是那封至关重要的信。
又过了一个月，戈斯再次长途前往哈雷。里希特又交给他一封狄德金的信，这封信写于1873年夏天。戈斯不知道自己是否还能负担得起更多这样的行程，“我不富有，”他说。他决定，是时候让世人了解他发现的东西了。
这封狄德金于1873 年11月30日写给康托尔的信，100多年来一直下落不明。在这封信中，狄德金给出了代数数集合的元素与整数集合的元素一一对应的证明，即 ：这两个集合的大小相等——而这一贡献后来被康托尔隐藏了。
更真实的遗产
但戈斯遇到了抵制。当他分享自己发现那封遗失的信件时，不少数学家都质疑其重要性，尤其是在德国。他很难让人们理解这件事为什么重要。他们的反应与30年前历史学家对费雷罗斯论文的反应如出一辙。
如今，康托尔的声誉远超狄德金。两人都为数学的基础理论做出了重大贡献。康托尔通常被认为驯服了无穷，并创立了集合论，而集合论正是现代数学所使用的通用语言。传记和大众读物的推广不断巩固他作为史上最伟大的数学家之一的声誉，他也是少数为数学领域以外公众所熟知的数学家之一。
目前狄德金还没有英文版的传记。他的维基百科页面长度仅为他昔日好友的四分之一。在数学界——很大程度上要归功于诺特的努力——他仍保持着一个知名度不高但极具远见卓识的声誉。“我对狄德金的了解越多，就越为他所折服，”美国圣母大学的集合论与哲学家乔尔·戴维·哈姆金斯（Joel David Hamkins）说道。
康托尔1874年那篇论文背后真实的历史故事已经公开了90年之久。但这个历史故事并非人们乐于讲述的类型。“每一门科学分支都需要一位英雄，”费雷罗斯说道，“化学有拉瓦锡（Lavoisier），力学有牛顿（Newton），相对论有爱因斯坦（Einstein）。总有这样一位独一无二的英雄，而且只能有一位。但这种故事总是谎言。”
但事实上，康托尔研究成果的披露并未削弱他的学术遗产。他仍然是第一个证明实数多于整数的人，正是这一发现最终开启了对无穷的研究。“在我看来，真正重要的其实是第二个定理，”哈姆金斯说道。而那个定理的原始证明并不是由狄德金给出的。但承认狄德金在数学史上这一重大发现中的角色，以及康托尔没有给予他应有署名的决定，依然非常重要。
本文节选自《环球科学》2026年6月刊《窃取无穷的数学家》一文。（本文原刊于西蒙斯基金会发起的Quanta Magazine，原标题为“The Man Who Stole Infinity”）
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