独家 | 攻克125年数学难题（邓煜审校）
环球科学约 5 分钟图片来源：Unsplash
撰文 | 杰克·默塔（Jack Murtagh）
翻译 | 陶兆巍
审校 | 邓煜
当在世最伟大的数学家为下世纪的研究绘制蓝图时，数学界无不为之侧目。1900年，国际数学家大会（International Congress of Mathematicians）在法国巴黎索邦大学召开，传奇数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert）在会上提出了10个未解问题，雄心勃勃地为20世纪的数学发展指引方向。这份清单后来被希尔伯特扩展为23个问题。过去125年来，这些问题对数学思想的影响无比深远。
希尔伯特的第六问题是最崇高的难题之一。他呼吁将物理学“公理化”，即确定所有物理理论背后最简洁的数学假设。从广义的角度看，数学物理学家能否确信自己已彻底攻克这一难题，目前尚不清楚。然而，希尔伯特提到了一些具体的子目标，研究人员后来将他的愿景细化为解决问题的具体步骤。今3月，美国芝加哥大学的数学家邓煜与美国密歇根大学的两位数学家查希尔· 哈尼（Zaher Hani）和马骁在预印本文库arXiv上发表论文，宣称已实现其中一个子目标。如果他们的工作经得起验证，将被视作为物理学奠定数学基础的重要进展，并可能为物理学其他领域的类似突破铺平道路。
在这篇论文中，研究人员表示他们已找到方法，能统一描述流体运动的三种物理理论。这些理论指导着从飞机设计到天气预报等众多工程应用，但直到现在，这些理论都基于尚未得到严格证明的假设。这一突破不会改变理论本身，但它能在数学上证明这些理论的合理性，进一步增强我们对这些方程符合预期的信心。
每个理论在观察流动液体或气体时的放大尺度各不相同。在微观层面，流体由粒子组成，这些粒子像台球一样四处运动，偶尔相撞，牛顿运动定律能很好地描述它们的运动轨迹。
但当你放大视野，考虑大量粒子的集体行为，即所谓的介观层面时，为每个粒子逐一建模已不再实用。1872 年，奥地利理论物理学家路德维希 · 玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）在创立（后称为）玻尔兹曼方程时解决了这一问题。玻尔兹曼方程并不追踪每个粒子的行为，而是关注典型粒子的可能行为。这种统计视角淡化了微观细节，转而聚焦宏观趋势，使物理学家能够计算流体动量、热导率等物理量的演化，而无需费力考虑每一次微观碰撞的细节。
进一步放大视野，我们就到了宏观世界。此时，流体不再被视为离散粒子的集合，而是单一连续的物质。在这一尺度上，欧拉方程（Euler equations）和纳维 - 斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）完全无需涉及粒子，便能精确描述流体的运动行为及其物理性质间的关联。
这三个分析尺度都描述了同一现实——流体如何流动。原则上，每个理论都应该建立在更小尺度的理论之上 ：在宏观尺度，欧拉和纳维 - 斯托克斯方程应当从介观尺度的玻尔兹曼方程中逻辑推导而来，而后者又应当从微观尺度的牛顿运动定律中逻辑推导出来。这种层层推导的关系正是希尔伯特在第六问题中呼吁的公理化框架，他在问题阐述中明确引用了玻尔兹曼关于气体的研究工作。我们期望完整的物理理论遵循数学规则，从微观到宏观尺度解释现象。如果科学家无法弥合不同尺度间的鸿沟，这可能意味着我们对现有理论的理解仍有欠缺。
统一流体动力学的三种尺度，一直是该领域难以攻克的挑战，但邓煜、哈尼和马骁可能实现了这一突破。他们的成就建立在数十年来渐进发展的成果之上。然而，此前的所有进展都带有某种条件限制，例如，所涉及的推导只在短时间尺度、真空或其他简化条件下有效。
新证明大致包含三个步骤 ：从介观理论推导宏观理论，从微观理论推导介观理论，然后再用一个推导过程将二者统一，直接从微观理论推导出宏观定律。第一步此前已为人所熟知，甚至希尔伯特本人也曾对此做出贡献。然而，从微观推导介观在数学上要困难得多。毕竟介观尺度关注的是大量粒子的集体行为。
因此，邓煜、哈尼和马骁研究了当独立粒子碰撞和反弹的数量增长到无穷大而粒子尺寸趋于零时，牛顿方程会发生怎样的变化。他们证明，当牛顿方程被外推至这些极端情况时——具体来说，在所谓玻尔兹曼 - 格拉德（Boltzmann-Grad）极限意义下——系统的统计行为，即流体中典型粒子的可能行为会收敛到玻尔兹曼方程的解。这一步形成了一座桥梁，使数学家能从微观数学的极限行为中推导出介观数学。
从微观推导至介观的主要障碍涉及方程建模的时间尺度。此前数学家已经知道如何在非常短的时间尺度上从牛顿定律推导玻尔兹曼方程，但这不足以满足希尔伯特计划的要求，因为现实世界的流体可以在任何时间段内持续流动。时间尺度越长，复杂性就越大 ：碰撞更加频繁，且粒子当前行为可能受其相互作用历史的影响。三位作者通过仔细计算粒子的碰撞历史对当前状态的影响程度，并运用新的数学技术论证先前碰撞的累积效应始终较弱，从而克服了这一障碍。
他们将长时间尺度的突破与先前介观推导宏观的工作结合起来，统一了流体动力学的三个理论。这一发现证明 ：根据具体应用场景选择不同视角研究流体是合理的，因为在数学上它们都收敛到描述同一现实的统一理论。若该证明正确无误，它将在希尔伯特计划中开辟一片新的天地。我们期待，凭借这类创新方法，希尔伯特难题的壁垒终将被打破，更多物理学的真知将如泉涌般流淌而出。
文章原刊于《环球科学》2025年9月刊数学专栏。
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