王虹:王者的踌躇与执着

在人们想象中，数学家证明一项重大定理后，必定会沉浸在狂喜之中。王虹并没有这种体验。2025年2月，她与合作者乔舒亚·扎尔（Joshua Zahl）共同发表了一份长达127页的论文，证明了一个横跨多个数学分支的长期猜想。在发表前的几个月里，两人反复核查论证，还先把论文发给少数同行审阅，直到最后才鼓起勇气将它公开。比起论证本身可能存在漏洞，王虹更担心自己的表述不够完善，导致别人看不懂。没有人发现任何错误。随着同行逐渐消化并精简这套证明逻辑，所有人都确信其正确无误——王虹和扎尔，真的证明了三维挂谷集猜想（three-dimensional Kakeya conjecture）。

这项证明为这位来自中国桂林的数学家带来了一连串荣誉。2025年，王虹斩获萨勒姆奖（Salem Prize）、奥斯特洛夫斯基奖（Ostrowski Prize）以及世界华人数学家大会数学金奖。2026年上半年，她又接连将安东尼奥·安布罗塞蒂奖章（Antonio Ambrosetti Medal）、萨多斯基奖（Sadosky Prize）、克莱研究奖（Clay Research Award）和数学新视野奖（New Horizons in Mathematics Prize）收入囊中。最终，她摘得了2026年菲尔兹奖的桂冠。菲尔兹奖被公认为数学界的最高荣誉，专门授予40岁以下成就卓著的数学家。35岁的王虹现任美国纽约大学和法国高等科学研究院数学教授，也是菲尔兹奖90年历史上的第三位女性得主。

荣誉带来了关注，演讲、差旅和采访邀请也纷至沓来，她很难一一推辞，而这些事务不可避免地挤占了她做研究的时间——她本需要用这些时间去思考，那些指向不同方向的管状集（tube）究竟能重叠到什么程度。

这正是王虹专攻的“挂谷型问题”的核心所在。这类问题处于多个领域的交汇中心：调和分析（研究信号如何分解为不同频率）、几何测度论（研究非光滑物体的形状与尺寸）以及偏微分方程（描述多变量同时变化的系统），并与数论、组合数学等方向息息相关。“正是这种广泛的联系，使得该领域处于如此核心的地位，也让王虹的工作备受重视，”加拿大不列颠哥伦比亚大学数学家巴勃罗·施默金（Pablo Shmerkin）评价道。

无需外出时，王虹几乎全身心投入数学研究，保持着近乎苦行般的专注和自律。“她对数学简直到了痴迷的地步，”她的合作者、美国印第安纳大学的吴澍坤说，“她绝对是我见过最拼命的人之一。”她舍不得把时间花在读书或养狗这类“耗时”的爱好上，但会抽出时间陪伴朋友、练习瑜伽，以及清晨去华盛顿广场公园散步，看一看那里的狗。这些片刻能稍稍缓解数学研究带给她的压力，以及不时袭来的自我怀疑。

对从知识和能力上获得确定感的渴望，似乎塑造了王虹的人生轨迹。这也是数学吸引她的地方：在她看来，数学是世上最不容置疑的事物。完成这项里程碑式的证明后，王虹没有专门花时间庆祝，也没有因此感到自负。但至少现在，她可以无比笃定地说：在三维空间中，指向各个方向的管状集不可能重叠得太厉害。

王虹初接触时有些慢热，但很快就能放松下来。她戴着一副玳瑁色圆框眼镜，视频通话时，她的双手偶尔会闯入画面——两根食指上各戴着一枚戒指，左手银色，右手金色。接受采访时，她正在美国西海岸拜访合作者与朋友，计划在那里待上几个月。她坦言，自己小时候的生活其实无忧无虑得多。

上世纪90年代，王虹在桂林长大。放学回家后，她会看看书，比如希腊神话、《哈利·波特》和《指环王》，也会看看电视，打打乒乓球或者羽毛球。尽管父母都是教师，却从未在学业上给她施加压力。傍晚，一家三口常会在桂林街头散步。桂林群峰苍翠，漓江穿城而过，常被誉为“中国最美”的城市之一。

起初，数学只是她众多爱好中的一项。每次拿到新数学课本，她总会在开学前把课后习题全部做完，之后再去书店买更多的数学书，把里面的题目也一一解开。

她至今仍记得，某一章末尾有一道脑筋急转弯：怎样种7棵树，才能排出最多的“三树一线”？这个问题与她日后研究的挂谷型问题形成了奇妙的呼应。它们都属于“关联几何”（incidence geometry）范畴，探讨的是几何对象如何相交、重叠——在这道题里是线（三棵树排列的一行）与点（树）的关系。王虹很快想出了答案：种成一个等边三角形，三个顶点各种一棵，三条边的中点各种一棵，第七棵种在正中心。这样就能形成6行树，三条边各一行，中间穿过三行。她比身为数学教师的父亲更快找出了答案，那时她才6岁。

随着时间推移，王虹越来越欣赏数学的永恒性。历史总在被不断改写，学英语也让她感到挫败，因为例外似乎和规则本身一样多。相比之下，数学定理显得坚不可摧。“不会有人跑过来告诉你，‘哦，这个定理其实是错的’，”她说。

王虹回忆说，父母一直希望她能尽量过普通人的生活。可她只想尽可能多地学习，于是连跳了几级。到了初中快毕业时，为了考进桂林的一所好高中，成绩变得至关重要。王虹将目标锁定在北京大学数学系。据她所说，2007年北大数学系在她所在的省份仅招收一名学生，录取完全依据高考成绩。遗憾的是，她并没有在同志愿的考生中拿到最高分。

不过，她的分数足以让她进入北京大学地球科学系就读，她计划入学后再转到数学系。她的地球物理学教授很支持她，并向她强调了数学对科学的重要性。例如，科学家可以利用地震波绘制地球内部结构——这背后的部分数学其实也与挂谷问题息息相关，只是她当时并不知情。她刻苦用功，最终如愿以偿转了专业。她还记得，父亲曾随口评价：研究变化量、极限、测度和逼近的分析学，要比满是抽象符号的代数学容易得多。王虹偏偏生出几分逆反之心，选择了主攻代数。

由于本科成绩并非拔尖，她一度怀疑自己能否考上研究生。就在这时，法国声望极高、选拔极严格的巴黎综合理工学院派代表来到北京，为其学士后项目组织招生考试。2011年，她动身前往法国。

问题是，学校所有课程均用法语授课，而王虹当时一句法语也不会。幸运的是，第一学期涉及的数学内容她大多已经学过。她常和说法语的同学一起吃饭，安静地倾听，不懂就礼貌请教。渐渐地，她听懂的内容越来越多。与此同时，她开始修读分析学课程，并发现自己在这个领域比代数更有天赋。

尽管课业表现优异，她仍然不相信自己有能力真正从事数学研究。有一个学期，她甚至转去学习建筑，还到巴黎的一家建筑事务所实习。“那段日子没什么压力，”她说，“但我找不到目标。”于是，她重新回到了数学的怀抱。“我决定不再纠结自己究竟够不够好，只是一心把问题理解透彻，”她说。

2013年，王虹在麻省理工学院做研究实习时，听了分析学家拉里·古思（Larry Guth）的报告。古思讲述了他与莱斯大学数学家内茨·卡茨（Nets Katz）合作证明的埃尔德什不同距离问题（Erdős distinct distances problem）：平面上任意有限点集中，点对之间有多少种不同的距离？古思将问题与解法剖析得极为清晰。王虹发现自己能领会其中相当一部分证明，这让她深受鼓舞。她了解到，这个问题与许多性质相似的难题息息相关，而它们的核心都是关联几何。次年，她顺利进入麻省理工学院攻读博士，并选择古思作为导师，一起攻克挂谷问题的相关难题。

不到一年，他们便解决了法尔科纳距离集问题（Falconer distance problem）的一个特例。这个问题比古思和卡茨曾研究过的埃尔德什距离集问题更难。王虹还将傅里叶限制性问题置于关联几何的框架下进行探索，并取得了新进展。“这个问题太难了，极少有人能提出新见解，所以一个博士生能做到，实在令人惊讶，”英国爱丁堡大学数学家乔纳森·希克曼（Jonathan Hickman）回忆道，“我当时给她发了封邮件，就写了一个字‘哇’。”

同样研究过法尔科纳距离集问题的施默金，在麻省理工学院拜访古思时注意到了王虹的才华。他认为王虹不仅极具创造力，而且吸收新技术的能力极强。尽管接触关联几何才不久，她对这个领域似乎已经有相当深入的理解。

关联几何领域本就在不断涌现新工具，王虹很快又从几何测度论中引入了更多工具，这些是她在与施默金合作研究法尔科纳距离集问题时学到的。施默金的多尺度分析（multiscale analysis）方法给了她极大启发，这种方法通过比较不同尺度上的现象来寻找矛盾。“她总是非常谦逊，承认有些想法源自我的工作，但她会以我完全无法想象的方式巧妙应用它们，”施默金说。

2019年，王虹与古思及美国加利福尼亚大学伯克利分校的张瑞祥（Ruixiang Zhang）合作，共同证明了局部光滑性猜想（local smoothing conjecture）的二维情形，这是调和分析的“圣杯”之一，该猜想断言波动方程的解无法在长时间内将能量集中在一个小区域。她也由此在数学界获得更广泛的关注。同年，博士毕业的她前往普林斯顿高等研究院做博士后研究员。

离开古思后，王虹一度担心无法独立做出成果。但渐渐地，她开始建立新的合作，并在更多挂谷型问题上取得突破。教职招聘委员会很快注意到了她。2021年，她获得加利福尼亚大学洛杉矶分校的教职。2023年，她成为纽约大学的副教授。入职仅一个月，她抛出一项重磅成果：与凯文·任（Kevin Ren）共同证明了二维弗斯滕伯格集猜想（2D Furstenberg set conjecture），该猜想刻画了平面上包含所有方向线段的点集的维数。尽管成就斐然，王虹却始终觉得自己不够优秀。“每次都觉得只是运气好，”她这样评价自己的各项工作。

正是在疫情期间，还在普林斯顿高等研究院时，王虹决定将目光转向三维挂谷集猜想。几十年来，这个问题难倒了无数挑战者。甚至曾有人宣布已完成证明，最后却被发现其中存在错误。“我一直没能解决挂谷猜想，但有四五次，我都以为自己快做到了，”古思说。每一次，他都在公开发表前发现了错误。

王虹与数学家弗兰克 · 梅尔（Frank Merle）边喝茶边交谈。在证明三维挂谷集猜想之前，她已通过一连串重磅合作成果建立起自己的声誉。图片来源：朱利安 · 佩布雷尔（Julien Pebrel）/M.Y.O.P.

王虹读到了加利福尼亚大学洛杉矶分校数学家陶哲轩（Terence Tao）在2014年发表的一篇博客，文中阐述了一套陶哲轩和卡茨构思却未继续推进的证明策略。王虹觉得这条思路很有希望，于是她联系了当时在不列颠哥伦比亚大学的扎尔——他的博士论文同样涉及挂谷型问题的若干方面。两人决定联手，沿着陶哲轩和卡茨的设想深入探索。

这条路线最终需要动用庞大的数学工具库。但其核心思路是证明：任何针对该猜想的假设性反例——即一种可能将三维空间中指向各个方向的线段挤压到小于三个维度的方法——都必须具备极其刚性且有效的结构，以至于会与支配加法与乘法相互作用的定理（sum-product theorem）产生矛盾。这种先假设反例存在，再将其扭曲至自相矛盾，从而证明其不可能存在的方法，是数学中常见的证明策略。

在这个问题中，王虹和扎尔专注于所谓“粘性”（sticky）挂谷集。在这类集合中，方向相近的线段在空间中倾向于“粘”在一起。这些线段靠得足够近，以至于更大尺度的管状集能有效容纳它们，因此整个集合可能呈现出分形的缩放规律，而非表现得像三维物体。他们首先证明，粘性集合并非反例，它们终究是三维的。

但证明并未结束。“人们并不清楚，粘性情形是否真是最大的‘拦路虎’，”扎尔说。于是，他们转而假设一个更普遍的反例：一个维度小于三（比如3-x）的挂谷集。通过分析有多少管状集穿过集合中某个中等大小的球形区域，他们证明该集合要么是粘性的（已证为三维），要么是非粘性的。如果是非粘性的，其维度必然高于假设值。“这样一来，无论哪种情况我们都能成功，”王虹说。他们不断对越来越小的x值重复这一论证，直到最终得出结论：任何三维挂谷集都必定是三维的。

2024年初，距离两人正式开启这项研究已过去四年，这套复杂的归纳逻辑似乎真的走通了，但王虹和扎尔谁也不敢轻易下结论。“这么困难的问题，我凭什么能解出来？”王虹说，“你当然会怀疑。但论证的过程又显得那么自然。”她能在脑海中清晰地推演整个逻辑：某一尺度的管状集，在更大尺度上变成板条（plank），再扩展为填满整个体积的平板层（slab）。这些形状相互演化的方式让她确信，挂谷集必然是三维的。不过，又过了一年，王虹和扎尔才将证明公之于众。

本文节选自《环球科学》2026年10月刊《王虹：王者的踌躇》一文；原刊于西蒙斯基金会发起的Quanta Magazine，原标题为“Living Fully in the Math World Means Threading the Needle”。

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