【老万】金庸群侠评职称
老万约 12 分钟金庸老爷子仙去之后，在那元宇宙好不快活。既没有了人世俗务的拘绊，又不存在新冠病毒的肆虐，他整日里品美食，读诗书，会老友，谈人生，过得真叫一个潇洒豁达。
这天，他约了生前好友黄霑、倪匡齐聚杭州楼外楼一叙旧谊。三人进得门来，小二已恭候多时，将他们引至二楼靠窗的一个包间，西湖美景尽收眼底。时至寒冬，雪后初晴，那断桥的残雪在阳光下熠熠生辉，别样风情。
金老先生也不看菜单，径直点了西湖醋鱼、宋嫂鱼羹、龙井虾仁、叫化童鸡、蜜汁火方、东坡肉、蟹黄橙、鳖蒸羊、西湖莼菜汤，又让小二温上两壶陈年花雕。
黄霑刚给二位兄长斟上酒，倪匡便起身道：“金兄、霑弟，我来元宇宙晚了。先自罚三杯。”说罢，一饮而尽，又再自斟两杯干了。不文霑笑道：“匡哥，想喝酒就直说！不必这般拐弯抹角。”倪匡一听，哈哈一笑：“人家叫我们香江四大才子，我看金兄天才，澜哥人才，霑弟鬼才，在下不才。今日须得澜哥在场，才不辜负这番美景美食。”
金庸道：“蔡澜在人世还有债未了，日后自有和他相聚之时。今日我们老友相聚，何不合唱霑弟所作《笑傲江湖》，一醉方休？”
黄霑拍手称快，当下以筷击盏，放声高歌：“沧海一声笑，滔滔两岸潮！浮沉随浪，只记今朝。”
倪匡当即跟上：“苍天笑，纷纷世上潮，谁负谁胜出天知晓。”
金庸接唱：“江山笑，烟雨遥，涛浪淘尽红尘俗世几多娇。”
三人相视大笑，齐声唱道：“清风笑，竟惹寂寥，豪情还剩了一襟晚照。苍生笑，不再寂寥，豪情仍在痴痴笑笑。啦啦啦啦啦……”
正说笑间，忽听得楼下人声鼎沸，似有事发生。黄霑忙叫来小二，问楼下喧闹何事。小二一脸愁容，说：“各位客官，不瞒您说，这事还跟金老爷子脱不了干系。”众人一下来了兴致，齐问如何脱不了干系。
那小二道：“您几位可知楼下都有哪些人？老爷子书中武林各大门派代表差不多都来了。他们听说今天老爷子在此，提早广发英雄帖，齐聚杭州，想求老爷子办一件事。”
金庸一点头：“哦，他们要我做什么？”小二说：“他们都说金庸先生当年写小说摊子铺得大，各门派高手层出不穷，绝世武功异彩纷呈，但却没有量化评估，不光是读者，连他们自己都是一头雾水，不知道问世间武功是否此山最高。这不，谁也不服谁，因为这个吵起来了。他们要一起上楼找您断公道。那还不得把楼压塌了！俺为了不破坏您几位的雅兴，好说歹说才把他们暂时拦下了，让您们用完膳再说不迟。不过俺看他们耐心有限，估计七大门派聚齐之后就要动手强攻了，那时候借俺天大的胆子也不敢去接他们的降龙十八掌跟北冥神功啊。”
金庸说：“不妨，待我会会他们便是。”小二转忧为喜：“如此便好。您要是能把他们劝退了，俺也不用夹在中间里外不是人。”
金庸三人下得楼来，放眼望去，好家伙满满一条街都是武林中人打扮。队首一人白须皓首，仙风道骨，却是武当派的宗师张三丰。再往后东邪西毒、南帝北丐、虚竹、段誉、萧峰、郭靖、金轮法王等豪杰一齐排开。见金大侠驾到，众人都双手抱拳施礼。金庸抬手还礼，说：“朋友们，非必要不聚集。大家所来何事啊？”
众人你看看我，我看看你，面面相觑，毕竟在自己的创造者面前难免紧张。还是张三丰打破了沉默：“贫道历史上真有其人，即便金先生不写，也不影响我的存在。如此，还是我先来说。我们这帮武林人物，终日埋头苦练，却没有一个国际公认的排行榜，武当少林谁是天下第一这么多年也没争出个名堂。近日，有人搞了元宇宙收费蓝标认证。那欧阳锋竟每个月花八吊铜钱认证了一个特级国际武林大师的蓝标，现在推手网站上到处是他的小广告，搞得八方后生不明真相，以为他才是武林中的名门正派，纷纷关注，粉丝竟有一亿之众。而我等正统英雄，只因为没有蓝标，竟然信者寥寥。如此混淆视听，大家都群情激愤。思来想去，唯有官方给每人按武功高低评定职称，统一认证，方可服众。此事还请金老先生定夺。”
金庸略一沉吟，说：“君宝兄，我不做老大已经很久了。不过嘛，这有人的地方就有江湖。我虽无意入江湖，江湖未必肯放我一马。依我来说，这也不难办，只要大家定出一套公认的算法，给每个人的武功打个等级分，再规定一套积分规则，到一定分数即授予相应职称，比如候补武林大师、国家级武林大师、特级武林大师、国际武林大师等等，不一而足。大家岂不就不用在这儿耍嘴皮子了？这一认证非得由咱们权威机构进行不可，花银子买职称的做法，万万不可取。”
张三丰道：“我们也是这个意思，但这个规则却是众说纷纭，莫衷一是啊。”
这时后排蹿出一人，也是白发白须，却在头上扎了两个发咎，莫名喜感。金庸一看，却是老顽童周伯通。只见他哈哈哈哈一阵笑，说道：“哪来这么多麻烦，一点都不好玩。不如咱们捉对厮杀，你打我一拳，我回你一腿，谁先撑不住哭鼻子求饶就算输了。这样总能排出个高低上下来了罢。”说得兴起，他索性施展开左右互搏，打出七十二路空明拳，双手到处，有破空之声，一时好像有两个老顽童在抖音。众人齐声叫好。
人群中又走出一人，手持一根打狗棒，虽衣衫褴褛，不掩鹤发童颜，原来是丐帮老帮主洪七公。七公朗声道：“老顽童，你忘了我跟老毒物比武，恶斗数日，最后相拥归西仍不分高下的事了？你这法子忒不靠谱。再说了，要是你赢了靖儿，他赢了过儿，过儿又赢了你，这账该怎么算？”
周伯通听了一愣，随即啪啪啪连扇自己三个耳光，说：“老叫花，还是你厉害。我的道行太浅，没想过这个高手传递定理须得在有向无环图中方可进行。如今武林人数巨多，确实有一物降一物出怪圈的可能，这可如何是好？”
黄药师也插话道：“练武不光要看先天资质，还有后天努力。象我女婿靖儿，虽然人傻话不多，但是傻人有傻福，开始谁都打不过，后来谁都打不过，你懂的，所以一战定终身殊不可取。”
黄霑说道：“依我看，各位说的都有道理。最好的方法是让大家两两对决，每次根据比武结果调整积分。只要打得足够久，日积月累积分总会反映各人真实高低。再按此积分定职称，还有谁敢不服。”
人群中丁春秋叫道：“哈哈哈，此计甚妙。不妨每个人发 1000 分做为启动基金，每次比武，输了的送对方五十分，不就好了？”话音刚落，他身后一帮人齐声称颂：“师父高见，震烁古今！”
一粉红衣裙俏丽女子站了出来：“丁老怪，别以为我不知道你打的小算盘。你星宿派教众甚多，无不听你调遣。你只需关起门来跟他们一一过招，他们岂有不让你赢之理。你这样每天刷分，武林第一的名头指日即可窃入囊中，可知世间有羞耻二字？”说话者正是黄老邪的女儿黄蓉。
众人一听，都说蓉姑娘果然聪明。那郭靖见老婆露脸，也觉得自己脸上有光，不由得夸道：“蓉儿，你真厉害。”丁春秋被黄蓉识破，吃了个瘪不便再说什么。
黄霑道：“本家姑娘，你的主意如何呢？”黄蓉说：“依我看，高手与低手对阵，赢了也是应该的，稍微送一点分就好。要是输了倒是说明他大概名不符实，恐怕是裘千丈一路货色，应该大大地扣分。这样才算得公平，绝了高手专挑低手刷分的可能。”说完，用余光扫了丁春秋一眼。
金庸赞许道：“蓉姑娘有理。我等在定规则之前，先应确立几个原则，否则漫无边际，猴年马月也得不到共识。我以为：积分应能直观地反映一个人的武功高低，不同人的积分需得有横向可比性。最好看两人积分之差别便可估算彼此对战的胜率。此规则需得有一定稳定性，若某人积分今日500，明日1000，后日又700，岂不有违用积分定高低的初衷。”
大家都说好，这点并无争议。
金庸又说：“但也不可因噎废食，一昧求稳，还得要让积分有实时性，能及时反映每个人的最新水平，这样新人才有机会出头，不然岂不成了论资排辈。”
众人也说就依金老先生所言。
金庸说：“最后一点，积分还得要有历史可比性。不管什么时候入场，拿1000 分的难度应该差不多。要是比来比去，大家水平没有上升分数却飕飕飙涨，职称通货膨胀，就失去意义了。反之亦然，不能比到后来，大家的分数都在下落。”
大家说：“这个自然。”
众人中有那老顽童的旧日相好“神算子”瑛姑，当年她曾苦参算学，颇有所得。她听金庸黄蓉所言，心有所思，不由得喃喃自语：“损益之数，与输赢之概率暗合，方可收敛”。言毕，瑛姑掏出竹筹，以筹为笔，运筹如飞。她以内力驱使竹筹，竟在石板地上划出了约三分深的刻痕：
然后，她又画出一条曲线：
众人一时摸不着头脑，黄蓉却已看出端倪，拍手叫道：“妙啊，妙！”周伯通道：“我看不懂这是什么线条，倒像是拉抻了的大 S。”黄蓉说：“老顽童，论武功你远超瑛姑，要是论数学嘛你就赶不到她脚趾甲盖了。你来看，假比你比七公的武力高 x 分，W 是你打架赢他的概率，那 1-W 就是你输给他的概率。”
周伯通连连摆手：“不通不通，我怎么会输给老叫花！”黄蓉微微一笑：“知道你厉害，七公轻易赢不了你。可是难保你哪天不突发奇想，比武的时候想玩些新花样，一失手输了也是可能。”周伯通讲：“那算我赢十次他赢我一次好了！不许耍赖皮哟。”
黄蓉笑道：“这个自然。你看，两人对阵总归有输有赢，多少而已。不过，要是我们说赢和输的比例取决于两人水平的差异，大致是不错的。我们在设计积分制度的时候，姑且规定积分每上升 400，功力便涨至10倍，也就是说跟对手比武赢输的比例上升至 10 倍。所以就有瑛姑的第一个方程：
你看，要是两人积分相同旗鼓相当，譬如七公和欧阳锋，那 x 就是 0，等号右边就是1，所以赢输比就是 1，平均说来七公每赢一次老毒物也会赢一次。”
周伯通说：“没错没错！他俩半斤八两，都不是我的对手。”
黄蓉又道：“要是七公得了一本武林秘籍，功力大涨，老毒物跟他打架十一次倒要输十次，只有一次能赢。那我们就可以说 W/(1-W) = 10，那么 x 必须是 400。也就是说七公的等级分应该比老毒物高出400才对。”
此时张三丰一抚长髯，问道：“我有一事不解，为何规定功力涨 10 倍对应于积分涨 400？难道不能规定功力涨两倍积分涨200？”
瑛姑一笑：“倒也没什么道理，我就是随便选的这两个数，选其它数也不是不行。”
黄蓉打趣道：“瑛姑，你可瞒不了我。我想，10 一定是纪念你十月怀胎为老顽童产下一子。400 吗，自然是暗指老顽童跟你定情的那阕《四张机》了。”说罢，继续吟诵：“四张机。鸳鸯织就欲双飞。可怜未老头先白。春波碧草，晓寒深处，相对浴红衣。”
那瑛姑听了，脸上竟浮现出娇羞的神色，两眼隐隐泛有泪光。一旁的周伯通也是坐立不安。
黄蓉一看，忙说道：“瑛姐姐，这是妹妹不对，提那些过去了的事。咱们还是探讨武林积分的正事吧。”一旁黄药师听了，面露嘉许之色。
瑛姑道：“黄姑娘，往事不必再提，人生已多风雨。来，若给定 x，我们可以求解出W:
这便是我所画的曲线。”
黄蓉又道：“瑛姐姐的设计浑然天成。我们检验一下这个规则的合理性。首先，按定义概率必须是在 [0, 1] 区间，0 表示绝对不会发生，1表示绝对会发生。大家看这条斜 S 形曲线上各点的纵坐标总在 0 和 1 之间。”
大家纷纷点头，表示懂了。
“其二，这个函数是单调上升的。也就是说相对水平差距越大，胜率越大。”
众人又击节叫好。
“其三，这个函数在 x 靠近负无穷的时候无限接近于 0 但永远到不了 0，说明再菜的功夫也有机会翻盘，不必妄自菲薄。同样，它在 x 靠近正无穷的时候无限接近于 1 但永远到不了 1，说明再厉害的高手也可能马失前蹄，切不可自满轻敌。
其四，我们把这条曲线绕它的中心点(0, 0.5)旋转180度后跟自身重合，说明对任意x，W(x) + W(-x) = 1。我们知道要是某甲的积分比某乙高 x，W(x) 就是某甲赢某乙的概率，W(-x) 就是某乙赢某甲的概率。这公式表明前者越高后者就越低，两者加起来总是 1。”
黄药师面露喜色：“蓉儿果然继承了你母亲的聪慧。经你一解释，现在我们对积分的含意可以说是了如指掌。不过，如何根据比武结果调整积分才好呢？”
黄蓉道：“爹爹，孩儿已有打算。两人对阵之前，可以按他俩目前的积分计算出输赢概率。比如老顽童比老毒物积分高出 400，则其胜率为
对阵之后，胜方得一点，败方得零点。若是不分上下，就各得半点。
若令 S 为点数，只需比较 S 和 W 即可：若S较大，说明老顽童积分需要略做上调，反之下调。S 和 W 相差越大，调节幅度也该越大。所以可定义调节幅度为 K(S - W)。至于 K 么，”黄蓉略微一顿，“还要和各位商议。”
金庸忍不住插了一嘴：“K 太大太小都不好。太大，则对单次比武结果看得太重，积分容易上下翻飞，无法稳定。太小，新人被压制很难出头。”
倪匡说：“我倒有个主意，K不必从一而终。可以动态调整，若是某人初入江湖，不妨将 K 设大一点。老江湖 K 就可以小一些。”
瑛姑赞同道：“我看可以根据一个人已经参加比武的次数决定 K，逐步下调，到身经百战之后再将其固定，不再调整。如此金先生说的稳定性和实时性都有了。”
黄蓉又补充道：“不仅如此，只要经过数轮迭代，每个人的积分便会和他的胜率大致相合，积分相近之人，对战互有胜负，所以横向可比性也是有的。”
郭靖听了，拍手赞道：“蓉儿的主意总不会错！”若是一般人这样当众夸赞自己的妻子，难免让人觉得肉麻，但郭靖一脸诚恳的样子，竟然让人无法反驳。
金庸说：“很好，很好，我们再来看看这套方案有没有历史可比性。大体来说，这是一个零和系统。若不考虑 K 的变化，则每次比赛彼涨此消，你得多少分你的对手就失多少分，所以平均分是不会变的，不会出现通货膨胀或者紧缩。不过，每个人的 K 值不同，而且会由大到小变化。因为初入江湖之人积分往往被低估，他们的实际胜率常高于按积分算出的胜率，所以一场比武之后，他们涨的分会高于对手丢的分，平均分就会略有上涨。”
黄药师听到这里，不由表示怀疑：“这样岂不会出现通货膨胀了？看来这个制度还是不完美。”
黄蓉笑道：“爹爹，江湖又不是只进不出，咱们还得看到有人功成名就退出江湖。他们高分退出，不再参加比赛，相当于剩下的人平均分降下来了。这两种因素角力，一个要通膨，一个要通缩，说不定就彼此抵消了。”
大家听到这里，都表示对这套方案的精妙之处不得不服。
眼看众人都认可新方案，金庸当即让小二备好笔墨纸砚，写下新的武林积分规则，各大门派签字画押，以示认同。
事毕，天色向晚，夕阳将雷峰塔披上万道金光。金庸朝群侠一抱双拳：“各位，今番良晤，豪兴不浅，他日江湖相逢，再当杯酒言欢。咱们就此别过！”群侠也一一拱手作别，那《笑傲江湖》的歌声，随着他们渐行渐远，直至不可辨识。
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后记：写这篇文章的起因是自己想搞清楚国际象棋比赛的积分规则。文章描述的体系叫 Elo 积分制度，最早由美籍匈牙利物理教授 Arpad Elo 发明，被国际棋联采用，美国国际象棋联合会用的积分机制略有不同，但也是基于 Elo 的。设计一套有公信力、稳定、实时、纵向（历史）可比和横向（人际）可比的积分规则是一个有趣的数学问题。这篇文章剖析了 Elo 系统的设计理念和精妙之处。写作时参考了美国国际象棋联合会的官方规则论文、wikipedia和数学家万精油的文章《漫谈积分制》，特此感谢。
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