切西瓜、切面团、切牛油果，背后有同一个数学问题

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撰文 | 马克思·施普林格（Max Springer）

翻译 | 董子晨曦

1986年，比利时数学家让·布尔甘（Jean Bourgain）抛出了一个问题，它看似简单，却在随后数十年间一直困扰着科研人员。问题是这样的：无论你如何改变一个凸形的形状——比如把一团粘土球捏成一个西瓜、一个足球，或是一根长面条的形状——是否总能将其切出一个横截面大于某一特定尺寸的切片呢？以色列雷霍沃特魏茨曼科学研究所的博阿兹·克拉塔格（Bo’az Klartag）和法国普瓦捷大学的约瑟夫·勒埃克（Joseph Lehec）撰写的一篇论文，最终对此给出了确定答案：能。该论文已在预印本文库arXiv上公开。

布尔甘切片问题讨论的是：n维空间中每个凸形是否都存在那么一个“切片”，使得这个切片的横截面积大于某个固定值？以三维物体为例，一个给定体积的牛油果，无论其形状如何，是不是总能被切成两半，且每一半所呈现出的横截面都具有一定的面积。布尔甘身为数学泰斗，据说在解决这个问题上花费的时间比其他任何问题都多。尽管二维或三维空间中，这个问题看似相当容易，但一旦考虑四维、五维空间，其难度便会急剧攀升。这种额外的复杂性，使在n维空间里确定任何问题都显得遥不可及。克拉塔格表示：“要是相信所谓的‘维度诅咒’，你可能就这么放弃了。好在，我和勒埃克属于不同的学派。”

这两人的突破建立在中国科学院数学家关庆扬（Qingyang Guan）在近期公布的研究进展上。关庆扬采用了基于物理学而非几何学的技术来解决这个问题。具体来说，关庆扬证实了通过对热量从凸形物体中扩散的过程进行建模，能够揭示出隐藏的几何结构。研究人员可以据此计算用温热气体填充任意凸形物体的情况，并依据物理学定律仔细观测热量耗散的过程。关庆扬的关键成果——对这一加热过程中热量散失速率变化的精确限定——恰恰是克拉塔格和勒埃克所需要的。加拿大阿尔伯塔大学（University of Alberta）的数学家比阿特丽斯-海伦·弗里西奥（Beatrice-Helen Vritsiou）表示：“关庆扬得出的界限将该问题中其他所有的关键事实都联系了起来。”

得益于这一成果，克拉塔格和勒埃克仅用几天就解决了这个问题。克拉塔格指出：“很幸运，因为我们知道关庆扬的结果正是我们所需的要素之一”，它将几个看似毫不相关的思路串联了起来。随着最后一块拼图的归位，高维凸体几何学如今已不再神秘——不过数学中每一块新的拼图都会带来更多有待探索的问题。

本文选自《环球科学》6月刊“前沿”栏目。

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