数学家始终找不到方法证明这一猜想，原来它是错的

图片来源：Unsplash

撰文 | 马克斯·斯普林格（Max Springe）

翻译 | 曾欣欣

在一场华丽的晚宴上，各色的人打着各式的领带，但其实每条领带都是数学里的复杂结构，只不过披了件时尚的外衣。数学中有一个完整的分支专门研究数学中的“结”：想象一下任意一根绳子，把它打成一个结，然后把它松散的两端粘在一起，就得到了一个“数学结”。这个结没有“自由端”（loose ends），是一个被封闭在三维空间中的闭合曲线。

数学家长期以来一直认为：把两个不同的“结”的末端重新连接起来，会得到一个更复杂的“结”，其复杂程度等于原始结复杂程度之和。但最新研究发现，有时候1+1会小于2。两个“结”结合后，新形成的“结”反而比预想的要简单。

纽结理论（knot theory）是拓扑学的一个分支，具有出人意料的实际应用，例如理解蛋白质如何缠绕DNA，以及分子结构如何保持稳定。该理论的核心问题是：我们如何区分哪些结是独一无二的，哪些结与其他结是相同的？数学家认为，如果一个结可以仅通过拉伸、挤压、变形而变得与另一个结完全一样，而不需要剪断，那么它们本质上就是相同的结。因为只有通过剪切和重新连接使两股线交叉，才能形成独立的结。

通过精妙的操作，数学家为每个纽结赋予了一个“解结数”——即将该纽结分解重组成简单环所需最少的剪断次数。举个例子，一个很复杂的结，需要剪断它3次并重新正确连接，才能把它变成一个简单的圈，那么这个结的解结数就是3。数字越大，说明这个结越复杂、越难解开。这种计算往往看似简单实则困难。

许多数学家曾认为：若将已知解结数的小型纽结组合成大型纽结，那么解开这个大结的最快方法就是简单地独立解开每个部分。这种“复合结的解结数等于各组成部分解结数之和”的观点，由希尔马·文特（Hilmar Wendt）在1937年的一篇论文中作为猜想首次提出，但悬置近一个世纪未能解决。直到最近，美国内布拉斯加大学林肯分校数学家马克·布里滕纳姆（Mark Brittenham）指出：“过去始终找不到明确方法证明这一猜想，如今我们明白了原因——因为它是错误的。”

在一篇发布于预印本文库arXiv的论文中，布里滕纳姆与其合作者——同在内布拉斯加大学林肯分校的数学家苏珊·赫米勒（Susan Hermiller），通过构造特殊纽结证实了这一现象——系两个结，当它们连接在一起时，解开所需的步骤数出乎意料地少。他们将一个解结数为3的纽结与其镜像结相连，形成了复合结。赫米勒表示，按传统猜想应需六次操作才能解开的这个“复杂混乱的结”，实际仅需五次操作即可解开（甚至可能更少）。

“这非常令人惊讶，”美国罗格斯大学的数学家克丽丝滕·亨德里克斯（Kristen Hendricks，未参与这项研究）说，“这个结果表明我们关于纽结复杂度的理解可能存在问题。”

所以，下次当你与领带或复杂的围巾“搏斗”时，可以稍感安慰：即使是最看似简单的结构，也可能隐藏着一个充满数学复杂性的世界。

本文选自《环球科学》2025年10月刊前沿栏目。

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